江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(二十)

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)
数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 m n
1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，
曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z
的最小值．
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结
束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为12
，甲胜丙、乙胜丙的概率都为23
，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． (1) 求第3局甲当裁判的概率；
(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X ，求X 的概率分布与数学期望．
23. 记f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )(n≥2，n ∈N *
)．
(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2) 当n≥2，n ∈N *时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．
(二十)
21. A. 证明：连结AD ，∵ AB 是圆O 的直径，
∴ ∠ADB ＝90°，∴ ∠ADE ＝90°.(4分)
∵ EF ⊥FB ，∴ ∠AFE ＝90°，∴ A ，F ，E ，D 四点共圆，
∴ ∠DEA ＝∠DFA.(10分)
B. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，
则由⎩
⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分) 又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤01＝α1＋2α2，(6分) 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤42.(10分) C. 解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；
曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，它表示圆．(4分)
由圆心到直线l 的距离d ＝45＝45
5＜2，得直线l 与曲线C 相交．(10分) D. 解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z) ＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y 3z
(4分) ≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z
＋212z 2y ·18y 3z
＝36， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立 所以1x ＋2y ＋3z 的最小值为36.(10分) 22. 解：(1) 第2局中可能是乙当裁判，其概率为13，也可能是丙当裁判，其概率为23， 所以第3局甲当裁判的概率为13×13＋23×12＝49
.(4分) (2) X 可能的取值为0，1，2.(5分)
P(X ＝0)＝23×12×23＝29
；(6分) P(X ＝1)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23＋23×12＋23×12＋23×12×13＝1727
；(7分) P(X ＝2)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23×12＋13×13＝427
.(8分) 所以X 的数学期望E(X)＝0×29＋1×1727＋2×427＝2527
.(10分) 23. 解：(1) 因为f(n)＝(3n ＋2)(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2n )＝(3n ＋2)C 3n ＋1，
所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)
(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)
下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．
① 当n ＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分)
② 假设n ＝k 时，结论成立，即f(k)＝(3k ＋2)C 3k ＋1能被4整除，
则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝(3k ＋5)C 3k ＋2
＝(3k ＋2)C 3k ＋2＋3C 3k ＋2
＝(3k ＋2)(C 3k ＋1＋C 2k ＋1)＋(k ＋2)C 2k ＋1(7分)
＝(3k＋2)C3k＋1＋(3k＋2)C2k＋1＋(k＋2)C2k＋1
＝(3k＋2)C3k＋1＋4(k＋1)C2k＋1，
此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)。