第12章 机械波习题解答

第12章 机 械 波
12-1 一平面余弦波表达式为()bt ax A y -cos =，式中a 为正常数，b 为负常数。

试求（1）波的频率、波长和波速，并指出波的传播方向；（2）0x x =点的振动表达式；（3）0t t =的波形表达式。

解 （1）表达式可写成 ()cos y A b t ax =+
与标准形式cos x y A t u ω⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2πx A vt λ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2πt x A T λ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦比较得 2πb ν= 2π
2π
b b ν=
=-
2π
2πa
a λλ
=
=
a
b
v u -==λ 波沿Ox 轴负方向传播。

注意 为与波动表达式标准形式比较，时间t 前的系数应化为正，同时表达式中波速u 恒为正值，不要误以为波沿x 轴负方向传播则u 为负。

（2） ()0cos ax bt A y xo
x +-==
（3） ()ax bt A y
o t t +-==cos 0
12-2 一平面余弦波以0.4m/s =u 的速度沿一弦线行进，在x =0.1m 处弦线上质点的位移随时间的变化为()-25010cos 4.0π-1.0m y t =⨯。

求此波的频率、波长和弦线上的波动表达式。

解 4πω= , 2H z ν= , 0.40.2(m )2
u v λ=
==
方法1 波线（x ）轴上任一点x 的振动状态在位相上落后原点处4π0.4
x x u
ω=⨯
，对0.1m
x =为0.14ππ0.4
⨯
=, 得 0π-1φ=
[]0.50cos 4ππ 1.0m O y t =+-
波动表达式 0.5cos 4ππ 1.0m 0.4x y t ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥
⎝
⎭
⎣
⎦
方法2 波线（x ）轴上任一点x 的振动状态在位相上落后0x 点处0
04π0.4
x x x x u
ω
--=⨯
，对
0.1m x =为0.14π0.4
x -⨯
, 于是
0.10.5cos 4π 1.0m =0.5cos 4ππ 1.0m 0.40.4x x y t t ⎡-⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
方法1先求得原点振动初相,写出原点质点振动表达式,从而写出波动表达式,这是基本的方法,必须掌握。

方法2比较简捷，实际上相当于平移坐标原点。

12-3 一列平面余弦波以速度400m/s u =
习题12-3图
/m x
沿着OAB 传播，已知A 点的振动表达式为
-3
π310cos 400π-m 2A y t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝
⎭，
OA ＝3.0m ，AB =1.5m 。

求（1）该波的波长； （2）B 点的振动表达式；
（3）以O 为坐标原点的波动表达式。

解 （1）由A 点的振动表达式与400m/s u =得
-3
310
m A =⨯，400πrad/s ω=， 0.005s T =，由uT =λ得 4000.0052(m)λ=⨯=
（2）波沿x 轴正方向传播，且 1.5m AB =，所以 B 点的振动相位落后A 点
400π 1.5
1.5π400
x u φω
∆⨯∆==
=（或2π
1.5πA B x
φφφλ
∆∆=-==）
B 点的振动表达式为 -3-3π310cos(400πt--1.5π)m =310cos(400πt-2π)m 2
B
y =⨯⨯ （3）O 点的振动相位超前A 点400π33π400
x u
φω
∆⨯∆==
=
O 点的振动初相位0π5π2π2
2
φ=-+= ,波动表达式
3
5π310
cos[400π()]m 400
2
A x y t -=⨯-
+
12-4 已知沿x 轴正方向传播的平面余弦波的周期T =0.5s ，波长1m,λ=振幅0.1m,A =且0t =时,
原点质点位于平衡位置向y 轴正方向运动，求（1）波动表达式；（2）距波源为2
λ
处的质点的振动表达式；
（3）120.40m 0.60m x x ==和处的两质点的振动相位差。

解 （1）设波动表达式为 0cos m x y A t u ωφ⎡⎤⎛⎫=-+
⎪⎢⎥⎝
⎭
⎣⎦
由题意 0.5s T = ，1m λ= , 2m /s u T
λ
=
= , 4πω=
由0,0,0t y υ==> 得 0
π2
φ=-
π0.1cos 4πm 22x y t ⎡⎤⎛
⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
（2） 10.5m
2
1π0.1cos 4πm 42x y t λ=
=⎡⎤⎛
⎫=-
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π0.1cos 4π-m 2t ⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
10.5m
2
1π0.1cos 4πm 42x y
t λ=-
=-⎡⎤⎛
⎫=+
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦π0.1cos 4πm 2t ⎡
⎤=+⎢⎥⎣⎦
（3） 0.60.4
4π
0.4π2
x
u φω
∆-∆===，10.4m x =处质点振动超前。

12-5 一列平面余弦波沿x 轴正方向传播，振幅0.1m,A =频率10H ,z ν=当t =1.0s 时，x =0.1m 处的质点a 的振动状态为d 0,0;d a a a
y y t
υ==
< 此时x =0.2m 处的质点b 的振动状态为0.05m,0,b b
y υ=>求（1）波长；（2）波的表达式（设0.1m )λ>。

解 设 0cos 2π10x y A t φλ⎡⎤⎛
⎫=-
+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
由题意0.1=t 时π2
a φ=，于是 0π
2π
2π10 1.00.12φλ
=⨯⨯-
⨯+ （1） π3b φ=-
，于是 0π2π
2π10 1.00.23φλ
-=⨯⨯-⨯+ （2）
且 2π
2π
ππ50.1π
326b a x φφφλλ
-∆=-=
∆=-
⨯=-
-=-
(3)
(1)由式(3) m 24.0=λ (2)将m 24.0=λ代入（1） 或（2）得 0
2π3
φ=-
20.1cos 2π10πm
0.243x y t ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 12-6 一平面余弦波振幅为A , 圆频率为ω，沿x 轴正方向传播，设波速为u ，t =0时波形如图，求（1）以p 为原点写出波动表达式；（2）以B 为原点写出波动表达式。

解 设波动表达式为 0cos m x y A t u ωφ⎡⎤⎛⎫=-+
⎪⎢⎥⎝
⎭
⎣⎦
（1） 由图可知，0t =时，p 处质点处于平衡位置且向上运动，
π2
po ϕ=-
，于是以p 为原点的 波动表达式为
πcos m
2x y A t u ω
⎡
⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦ （2）由图可知0t =时，B 处质点位移为A -，0πB φ=，于是以B 为原点的波动表达式为
cos πm
x y A t u ω
⎡⎤⎛
⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
12-7 已知一沿x 轴正方向传播的平面余弦波的周期
2s =T ，且在s t 3
1=
时的波形如图所示。

（1）写出O 点和P
点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式。

解 由图示可得 0.1m ,0.4m ,A λ==已知
2s T =，πω=，0.2m u λ==
（1）设O 点处质点的振动表达式为
()0cos πcm o y A t φ=+
1s 3
t =
时，O 点的振动状态为 1
s 1
3
s 30.05m ,0o
o
t t y υ===-<
振动相位为 1
3
2π3
o
t s φ==
习题12-6图
/m
y /m
x
习题12-7图
/m
x 0.1
/m y 0.05-0.1
-0.2
得 103
12ππ3
3
o
t s φ
φ==⨯
+=
， 1π3
o φ=
所以，O 点处质点的振动表达式为 π0.1cos πm 3O y t ⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
P 点处质点的振动表达式为 ()cos πm p po y A t φ=+
s 3
1=
t 时，P 点处质点的振动状态为 1s 1
3
s 30,0p
p
t t y υ===>
P 点处质点的振动相位为 1
3
1π2
p
t s φ==-
1
3
1ππ3
2
p
po t s φφ==⨯
+=-
，得 5π6
po φ=-
P 点处质点的振动表达式为 5
0.1cos ππm 6p y t ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（2）已知O 点的振动表达式和波的传播方向（沿x 轴正向），可得波动表达式为
10.1cos ππm
0.23x y t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
12-8 一列沿x 轴正方向传播的平面余弦波，已知t 1=0和t 2=0.25s 时的波形如图（设周期T >0.25s ）。

试求（1）p 点的振动表达式；（2）该波的波动表达式。

解 从波形图可得0.2m A =，由相距0.45m 两质点的相位差3π/2φ∆=，可得波长
2π0.6m x λφ
=
∆=∆
由波形平移4/λ的时间间隔0.25s t ∆=，可得
1s t T x
λ∆=
=∆，12π,1H z v T
ω==
=，由v u λ=得
0.6m /s u =。

（1） 设P 点的振动表达式为
()0.2cos 2πm p po y t φ=+
0=t 时，P 点的振动状态为()()00,00p p y υ=>，
π2
po φ=-。

所以 π0.2cos 2πm 2p y t ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
（2）设波动表达式为 0.2cos 2πm 0.6o x y t φ⎛⎫⎛
⎫
=-
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
0=t 时，O 点的振动状态为()()0000,00y υ=<，得 π2
o φ=
习题12-8图
O 点的振动表达式为 π0.2cos 2πm 2o y t ⎛⎫=+ ⎪
⎝
⎭
波动表达式为 π0.2cos 2πm 0.62x y t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥
⎝
⎭
⎣
⎦
12-9 一弹性波在介质中以速度3
10m/s u =传播，振幅-41.010m A =⨯,频率310H z ν=。

若该介质的密
度为3800kg/m 。

求（1）该波的能流密度；（2）1分钟内垂直通过-42410m s =⨯的总能量。

解 （1）波的平均能流密度为
22
8
3
2
3
5
2
1180010
(2π10)10 1.5810(W /m )2
2
I A u ρω-=
=
⨯⨯⨯⨯⨯=⨯
（2）1 min 内垂直通过面积42410m S -=⨯的总能量为
5
4
3
1.5810410
60 3.7910(J)W IS t -=∆=⨯⨯⨯⨯=⨯
12-10 如图所示，从远处声源发出的声波，波长为λ，垂直入射到墙上，墙上有两个小孔A 和B ,彼此相距3a λ=,将一个探测器沿与墙垂直的AP 直线移动，遇到两次极大，它们的位置Q 1、Q 2已定性地在图中画出，试求Q 1、Q 2与A 的距离。

解 因为声波是从远处传来的，所以可将声波看成平面简谐波。

当 21r r k λ-=，(1,2,)k =⋅⋅⋅，干 涉加强，出现极大值。

1r k λ=
得 2
192k r k
λλ-=
当1=k 时，λ41=r ；当2=k 时，λ4
51=
r
若3k ≥,无解(13,0k r ==,为小孔A 点,不合题意)。

1Q 与A 的距离为
λ4
5，2Q 与A 的距离为λ4。

讨论 从该题的求解可得更加一般的结论, 当A B n λ=时,可得1n -个极大。

12-11 设S 1和S 2为两相干波源，相距λ41
，S 1的相位比S 2的相位超前π
2
，若两波在S 1、S 2连线方向
上的强度相同均为I 0, 且不随距离变化，问在S 1、S 2连线上（1）在S 1外侧各点的合成波的强度如何？（2）在S 2外侧各点的强度如何？
解 （1）如解图1， P 点在S 1的左侧，
()2010212π
π2π
π2
4
r r λ
φφφλ
λ
∆=--
-=-
-
⨯
=-
则P 点的合振幅为 0＝合A
S 1左侧各点波的强度都为零。

（2）如图2，P 点在S 1的右侧，
习题12-10图
习题12-11解用图
1
习题12-11解用图 2
习题12-10解用图
1
r 2
r
()2010212π
π2π
()02
4
r r λ
φφφλ
λ
∆=--
-=-
-
⨯-
=
则P 点的合振幅为A A 2＝合
4)2(22
==A
A I I
04I I =，即S 1右侧各点波的强度都为原来的4倍。

12-12 设入射波为1cos2πt x y A T
λ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，在x =0处反射，反射点为一自由端。

求（1）反射波的表达
式；（2）合成的驻波的表达式，并说明哪里是波腹？哪里是波节？
解 （1） 1cos2πt x y A T
λ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
入射波在x =0的振动表达式 10
cos2π
t y
A T
=
由于无半波损失，所以反射波在x =0的振动表达式为 20
cos2π
t y A T
= 反射波的表达式
2cos 2π(
)
t x y A T
λ
=-
（2）合成驻波
122π
2π2cos
cos
y y y A x t T
λ
=+=
由题意可知，入射波和反射波的叠加区域为0x ≥，所以 波腹位置 (0,1,2,)
2
x k k λ
==
波节位置 (21)(0,1,2,3,)4
x k k λ
=+=
12-13 如图，位于0=x 处的波源O 做简谐运动，产生振幅为A 、周期为T 、波长为λ的平面简谐波。

波沿x 轴负向传播，在波密介质表面B 处反射。

若0
=t 时波源位移为正最大，且L
OB
=，求（1）入射波
的波表达式；（2）反射波的波表达式；（3）设43λ=L
，
证明BO 间形成驻波，并给出因干涉而静止的点的位置。

解 解题时需注意题目已把坐标取定，
B 点的坐标L x B
-=。

（1）波源的初相由下式给出
0cos o y A A φ== 得 00=φ 所以以O 为原点，沿x 轴负向传播的入射波波表达式为
1cos 2πt
x y A T
λ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭ （2） B 点坐标L x B -=，
入射波在B 点激发的简谐振动表达式为 cos 2πL t
L y
A T
λ--⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭入
在B 点反射的反射波有半波损失，反射波源B 点的振动表达式为
-cos 2π2ππL t L y A T λ⎡⎤=-+⎢⎥
⎣⎦
反
反射波沿x 轴正向传播，所以反射波的表达式为
()2cos 2π2ππx L t L y A T λλ⎡⎤--⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
cos 2π4ππt
x L A T λλ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦ （3） 因4
3λ=L ，反射波的表达式为
234cos 2π4ππt x y A T λλλ⎡⎤
⎢⎥⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦
cos[2π2π]t
x A T λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
BO 间两波叠加，合成波为
122π2πcos(
π)cos(
π)x
y y y A t T
λ
=+=+-
为驻波。

因干涉静止点的位置满足
cos(2π
π)0x
λ
+=， ()π2π
π=212
x
k λ
+±+
()
21,
0,1,2,2
4
x k k λ
λ
=-
±+=
3,0,4x λ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
取0k =，可得BO 间因干涉而静止的点为14
x λ
=-
与34
x
λ
=-
（反射点）处。

12-14 一警报器发射频率为1000Hz 的声波，离观察者向一固定目的物运动，其速度为100m/s 。

试问（1）观察者直接听到从警报器传来的声音频率为多少?（2）观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少?（3） 听到的拍频是多少?(空气中的声速330m/s)。

解 1000Hz,100m/s 330m/s s s u νυ===， （1）警报器（波源）远离观察者而去
1
3301000767.4(Hz)330100
s s
u u ννυ=
=
⨯=++
（2）观察者听到的从目的物反射回来的声音频率即目的物接收到的声音频率，警报器（波源）是接近目的物 2
33010001434.8H z 330100
s s
u u ννυ=
=
⨯=--
（3）听到的拍频 21667.4H z ννν=-=拍。