2020-2021宁波市惠贞书院初二数学上期中第一次模拟试题及答案

2020-2021宁波市惠贞书院初二数学上期中第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，CD是斜边AB上的高，若AD=3cm，则斜边AB的长为（）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
2．已知一个等腰三角形一内角的度数为80o，则这个等腰三角形顶角的度数为() A．100o B．80o C．50o或80o D．20o或80o
3．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数（）
A．24°B．25°C．30°D．35°
4．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（）
A．90°B．120°C．150°D．180°
6．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）
A ．高
B ．角平分线
C ．中线
D ．不能确定 7．若分式11x x -+的值为零，则x 的值是( ) A ．1
B ．1-
C ．1±
D ．2 8．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A ．7
B ．8
C ．6
D ．5 9．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠C ＝80°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点
E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．70° 10．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ）
A ．80°
B ．80°或50°
C ．20°
D ．80°或20° 11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．（x+1）（x+2）=18
B ．x 2﹣3x+16=0
C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18
D ．x 2+3x+16=0
12．若实数x,y,z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ）
A ．x+y+z=0
B ．x+y-2z=0
C ．y+z-2x=0
D ．z+x-2y=0
二、填空题
13．分式212xy 和214x y
的最简公分母是_______． 14．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ______．
15．已知：a+b=32，ab=1，化简（a ﹣2）（b ﹣2）的结果是 ． 16．当x ＝_____时，分式22
x x -+的值为零． 17．若226m n -=-，且3m n -=-，则m n + =____．
18．如图△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有_____个
19．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG ∆和EFD ∆的面积分别为50和4.5，则AED ∆的面积为_________．
20．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．
三、解答题
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为()x n +，得
()()2x 4x m x 3x n -+=++
则()22
x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34
m 3n +=-∴=．
解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．
22．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=BE ，BD ，CE 交于点P ，CF ⊥BD ，垂足为点F ．
（1）求证：BD=CE ；
（2）若PF=3，求CP 的长．
23．先化简，再求值：222284()24a a a a a a
+-+÷--，其中a 满足方程2410a a ++=． 24．如图，已知A （3，0），B （0，﹣1），连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA ＝BC ，连接AC ．
（1）如图1，求C 点坐标；
（2）如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角△BPQ ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：P A ＝CQ ；
（3）在（2）的条件下若C 、P ，Q 三点共线，求此时∠APB 的度数及P 点坐标．
25．已知关于x 的方程233
x m x x -=--解为正数，求m 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求出∠ACD=∠B=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再求出AB即可．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º，
∴∠B=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），
∴AC=1
2
AB（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），
又∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90º，
∴∠ACD=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理），
∴AD=1
2
AC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），
∴AC=6，
又∴AC=1
2 AB，
∴12
AB=．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和有30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
【详解】
()1若等腰三角形一个底角为80o，顶角为180808020
o o o o
--=；
()2等腰三角形的顶角为80o．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为20o或80o．
故选D．
.解答此类题目的关键是要注意分类讨本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理
论，不要漏解．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得
∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：
∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=85°，
∴∠2=120°-85°=35°.
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重
合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此可知只有第三个图形不是轴对称图形．
【详解】
解：根据轴对称图形的定义：
第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．
第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
轴对称图形共有3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
5．D
解析：D
【分析】
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用△ABC各内角的度数表示出∠1，∠2，∠3，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．
【详解】
∵图中是三个等边三角形，
∴∠1=180°−60°−∠ABC=120°−∠ABC，∠2=180°−60°−∠ACB=120°−∠ACB，∠3=180°−60°−∠BAC=120°−∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°，
故选D．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．
解：设BC边上的高为h，
∵S△ABD=S△ADC，
∴，
故BD=CD，即AD是中线．故选C．
考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
7．A
解析：A
【解析】
试题解析：∵分式
1
1
x
x
-
+
的值为零，
∴|x|﹣1=0，x+1≠0，解得：x=1．
故选A．
8．B
解析：B
【分析】
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【详解】
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n-2）=3×360°
解得n=8．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理，得到∠ADE＝∠B=40°，由角平分线的性质，得∠DAE=30°，则∠ADC=70°，即可求出∠CDE的度数．
【详解】
解：∵△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠ADE＝∠B=40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CDE=70°-40°=30°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握内角和定理和角平分线的性质进行解题．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【详解】
∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，
当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.
故答案选：D.
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．
故选C ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
12．D
解析：D
【解析】
∵（x ﹣z ）2﹣4（x ﹣y ）（y ﹣z ）=0，∴x 2+z 2﹣2xz ﹣4xy+4xz+4y 2﹣4yz=0，
∴x 2+z 2+2xz ﹣4xy+4y 2﹣4yz=0，∴（x+z ）2﹣4y （x+z ）+4y 2=0，∴（x+z ﹣2y ）2=0， ∴z+x ﹣2y=0．故选D ．
二、填空题
13．4x2y2【解析】【分析】取分式和中分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；取分式和中各字母因式最高次幂的字母和次幂作为最简公分母的字母和次幂两者相乘即可得到最简公分母【详解】∵分式和中分母的系数 解析：4x 2y 2
【解析】
【分析】 取分式212xy 和214x y 中分母系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；取分式2
12xy 和214x y
中各字母因式最高次幂的字母和次幂，作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即可得到最简公分母．
【详解】 ∵分式212xy 和214x y
中，分母的系数分别为2和4， 又∵2和4得最小公倍数为4，
∴最简公分母的系数为4， ∵分式212xy 和214x y
中，x 的最高次幂项为2x ，y 的最高次幂项为2y ，
∴最简公分母的字母及指数为22x y ， ∴212xy 和214x y
的最简公分母是224x y ， 故答案为：224x y ．
【点睛】
本题考查求解最简公分母．解题方法是取各分式分母中系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，取各分式分母中各字母因式最高次幂的字母和次幂作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即得到最简公分母．
14．30°【解析】【分析】【详解】解：∵AB//CD∴∠BAC+∠ACD=180°即∠1+∠EAC+∠ACD=180°∵五边形是正五边形
∴∠EAC=108°∵∠ACD=42°∴∠1=180°-42°-1
解析：30°．
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵AB//CD ，∴∠BAC+∠ACD=180°，即∠1+∠EAC+∠ACD=180°，
∵五边形是正五边形，∴∠EAC=108°，
∵∠ACD=42°，∴∠1=180°-42°-108°=30° 故答案为：30°．
15．2【解析】【分析】根据多项式相乘的法则展开然后代入数据计算即可【详解】解：（a ﹣2）（b ﹣2）=ab ﹣2（a+b ）+4当a+b=ab=1时原式=1﹣2×+4=2故答案为2考点：整式的混合运算—化简求
解析：2
【解析】
【分析】
根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．
【详解】
解：（a ﹣2）（b ﹣2）
=ab ﹣2（a+b ）+4，
当a+b=32，ab=1时，原式=1﹣2×32
+4=2． 故答案为2．
考点：整式的混合运算—化简求值．
16．2【解析】由题意得：解得：x=2故答案为2
解析：2
【解析】
由题意得：20
{20x x -=+≠ ，解得：x=2. 故答案为2
17．2【解析】【分析】将利用平方差公式变形将m-
n=3代入计算即可求出m+n 的值【详解】解：∵m2-n2=（m+n ）（m-n ）=6且m-n=3∴m+n=2【点睛】此题考查了利用平方差公式因式分解熟练掌握
解析：2
【解析】
【分析】
将22m n -利用平方差公式变形，将m-n=3代入计算即可求出m+n 的值。

【详解】
解：∵m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）=6，且m-n=3，
∴m+n=2
【点睛】
此题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
18．3【解析】根据条件求出各个角的度数由此确定哪个三角形是等腰三角形解答：∵在△ABC 中AB=BC∠A=36°∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD 平分
∠ABC∴∠ABD=∠CBD=36°∴∠ABD=∠A=
解析：3
【解析】
根据条件求出各个角的度数，由此确定哪个三角形是等腰三角形
解答：∵在△ABC 中，AB =BC ，∠A =36°，
∴∠ABC =∠ACB =72°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD =∠CBD =36°，
∴∠ABD =∠A =36°，∠BDC =72°
=∠C ， ∴△ABD 和△BDC 都是等腰三角形.
故有三个等腰三角形 故有三个.
点睛：本题主要考查了等腰三角形的判定.利用已知条件求出等角是判断等腰三角形的关键. 19．41【解析】【分析】作垂足为M 可得出由此推出从而得出【详解】解：作垂足为M ∵是的角平分线∴∴∴故答案为：41【点睛】本题考查的知识点是与角平分线有关的计算根据角平分线的性质得出是解此题的关键
解析：41
【解析】
【分析】
作DM AC ⊥，垂足为M ，可得出,ADF ADM DFE DMG ≅≅V V V V ，由此推出50 4.545.5ADM ADF ADG EFD S S S S ==-=-=V V V V ，从而得出
45.5 4.541AED ADF EFD S S S
=-=-=V V V ． 【详解】
解：作DM AC ⊥，垂足为M ，
∵AD 是ABC ∆的角平分线，DF AB ⊥，
∴,ADF ADM DFE DMG ≅≅V V V V ，
∴50 4.545.5ADM ADF ADG EFD S S S S ==-=-=V V V V ，
∴45.5 4.541AED ADF EFD S S S
=-=-=V V V ．
故答案为：41．
【点睛】
本题考查的知识点是与角平分线有关的计算，根据角平分线的性质得出
,ADF ADM DFE DMG ≅≅V V V V 是解此题的关键．
20．10【解析】【分析】设正多边形的边数为n 然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可【详解】解：设正多边形的边数为n 由题意得=144°解得n=10故答案为10【点睛】本题考查了多边形的内角与外角熟记公式
解析：10
【解析】
【分析】
设正多边形的边数为n ，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【详解】
解：设正多边形的边数为n ，
由题意得，()2180n n
-︒g =144°， 解得n=10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．
三、解答题
21．()4,x +
【解析】
【分析】
根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为()x a +，得
()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+
则()22
2x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 53
5a k -=∴-=-
解得：a 4=，k 20=
故另一个因式为()x 4+，k 的值为20
【点睛】
正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
22．（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC ，∠BAC=∠ABC ，且AD=BE 则可得出△ABD ≌△BCE ，再利用全等三角形的性质即可得到答案；
(2)根据（1）可知∠ABC=60º，△ABD ≌△BCE 得到∠FPC 的度数，再根据有一个角是30°的直角三角形的性质即可得到答案；
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴ AB=BC ，∠BAC=∠ABC=60º，
又∵AD=BE ，
在△ABD 和△BCE 中， AB BC BAC ABC AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△BCE （SAS ），
∴BD=CE
（2）由（1）可知∠ABC=60º，△ABD ≌△BCE ，
∴∠ABD=∠BCE ，
∴∠ABD+∠CBD =∠ABC=60º，
∴∠BCE+∠CBD =60º，
∴∠BPC =180º-60º=120º（三角形内角和定理），
∴∠FPC =180º-120º=60º，
∵CF ⊥BD ，
∴△CPF 为直角三角形，
∴∠FCP =30º，
∴CP=2PF ，
∵PF=3，∴CP=6
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、有一个角是30°的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
23．
211443
a a =++． 【解析】 试题分析：把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a 满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．
试题解析：原式=28[](2)(2)(2)(2)(2)
a a a a a a a a +-⨯--++- =2(2)8(2)(2)(2)(2)
a a a a a a a a +-⨯-++- =2(2)(2)(2)(2)(2)
a a a a a a a -⨯-++- =2211(2)44
a a a =+++ ∵2410a a ++=，∴241a a +=-， ∴原式=
11143=-+． 考点：分式的化简求值．
24．（1）C （1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P （1，0）．
【解析】
【分析】
（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；
（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；
（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．
【详解】
（1）作CH ⊥y 轴于H ，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB ⊥BC ，
∴∠A BO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH ，
在△ABO 和△BCH 中，
ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABO ≌△BCH ，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C 点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，
在△PBA 和△QBC 中，
BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PBA ≌△QBC ，
∴PA=CQ ；
（3）∵△BPQ 是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．m＜6且m≠3
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】
去分母，得x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x＞0，
∴6﹣m＞0，
∴m＜6，且x≠3，
∴m≠3．
∴m＜6且m≠3．
【点睛】
解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x﹣3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．。