山东省济宁市中考数学专项复习 圆和抛物线2

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y x
E
Q P
C B O
A
圆和抛物线
1如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2
+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ，c 的值；
（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：
①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．
例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.
(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).
(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.
练习1、已知抛物线2
y ax bx c =++经过53(33)02P E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，，及原点(00)O ，．
（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为2253
33
y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于
A 点，交直线PC 于
B 点，直线QA 与直线P
C 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否
存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，
，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。

已知折叠55CE =，且3tan 4
EDA ∠=。

（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标； （3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

练习3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与
x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）
求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为2
23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，
（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
练习4 (广东湛江市) 如图所示，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相
似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，
，(10)C ，，3tan 4
BAC ∠=
．（1）求过点A B ，的直线的函数表达式；点(30)A -，，(10)C ，，B (13)，
，39
44y x =+ （2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使
得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．
1如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，AE 切⊙O 于点A ，交BC 的延长线于点E ，连接AC ． （1）若∠B ＝30°，AB ＝2，求CD 的长； （2）求证：AE 2
＝EB ·EC ．
26．(12分)如图，直线y ＝kx －1与抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 交于点A (－3，2)、B (0，－1)，抛物线的顶点为C (－1，－2)，
对称轴交直线AB 于点D ，连接OC ． C
D •
A
B
O
M E
H M N
G P
O
A
B
图1
x
y
O
x
y 练习2图
C
B E
D
A y
C
l
x B A 1
x =练习3图
2 / 2
O
D C A B x y A
B D
E
C
P A O M B
N C P
x
y
l A
P
O B
E
C x
y (1)求k 的值及抛物线的解析式；
(2)若P 为抛物线上的点，且以P 、A 、D 三点构成的三角形是以线段AD 为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P 的坐标；
(3)在(2)的条件下所得到三角形是否与△COD 相似？请你直接写出判断结果(不必写出证明过程)．
23．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上的一点，且CE ＝BD ，连接DE 交BC 于点P ．
(1)求证：PD ＝PE ；
(2)若CE ∶CA ＝1∶5，BC ＝10，求BP 的长．
24．(13分)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 经过B 、
C 两点，并与x 轴交于另一点A ． (1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)设P (x ，y )是(1)所得抛物线上的一个动点，过点P 作直线l ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点N ．
①若点P 在第一象限内．试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC 为底边的等腰△BPC 的面积．
28．（青海，28, 11分） 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.
（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ．
25．（贵州铜仁，25，14分）如图所示，矩形OABC 位于平面直角坐标系中，AB ＝2，OA ＝3，点P 是OA 上的任意一点，P B 平分∠APD，PE 平分∠OPF，且PD 、PF 重合．
(1)设OP ＝x ，OE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并求x 为何值时，y 的最大值； (2)当PD⊥OA 时，求经过E 、P 、B 三点的抛物线的解析式；
26．(14分)如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x
2
－2x －8＝0的两个根．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符
合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理。