ch4-2自由度

m1 x1 ( k 1 k 2 )x1 k 2 x 2 0 m2 x 2 k 2 x1 k 2 x 2 0
m1 x1 k 1 x1 k 2 ( x 2 x1 ) m2 x 2 k 2 ( x 2 x1 )
自由振动微分方程
代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组
K
2 n
M A 0
( K n M ) A 0
2
Elements of Mechanical Vibrations
k11 n 2 m11 k 21
A1 0 2 k 22 n m22 A2 0 k12
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第4章 两自由度系统的振动
4.1 两自由度系统的自由振动
Elements of Mechanical Vibrations
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.1 运动微分方程
两自由度的弹簧质量系统。 两物体均作直线平移，略去 摩擦力及其它阻尼。 取两物体为研究对象，物 体离开其平衡位置的位移用 x1、x2表示。在水平方向的 受力如图示，由牛顿第二定 律得
A1(1) , A1( 2) , 1 , 2 由运动的初始条件确定。
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4.1 两自由度系统的自由振动
例题
例4-5 试求图示两个自由度 系统振动的固有频率和主振 型。已知各弹簧的弹簧常量 k1＝k2＝k3＝k，物体的质量 m1＝m，m2＝2m。 解：（1）建立运动微分方程式
k11 n m11
2
k12 k 22 n m22
2
k12
0
这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程
characteristic equation
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.2 频率方程
它的展式为
2 2
k 22 n 2 m22 2k n 2 m A1( 2 ) 1 2 ( 2) A2 k12 k 2.732
2 2
主振型为
A(1) A1(1) 1 (1) A2 0.732
节点
A
( 2)
A1( 2) 1 ( 2) A2 2.732
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4.1 两自由度系统的自由振动
例题
例4-6 在上题所示系统中，已知m1= m2=m , k1= k3=k, k2= 4k， 求 该 系 统 对 以 下 两 组 初 始 条 件 的 响 应 ： （ 1 ） t ＝ 0 ， x10 ＝ 1cm，x 20 x10 x 20 0 x20 1cm, x10 10＝1cm， ;（2） t＝0，x x20 0 。 解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为
4.1.3 主振型
根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解， 是它的两个主振动的线性组合，即
x1 (t ) x1(1) x1( 2) A1(1) sin(n1t 1 ) A1( 2) sin(n 2t 2 ) ( ( ( ( x2 (t ) x21) x22) A21) sin(n1t 1 ) A22) sin(n 2t 2 )
2 A11 - k12 k 22 M 22n1 振幅比 第一主振型 1 1 2 A2 - k12 k11 M11n1 2 A12 k12 k 22 M 22n2 第二主振型 2 A2 2 - k12 k11 M11n 2 2
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4.1 两自由度系统的自由振动
例题
m 0 0 2m
质量矩阵
x 1 2k x 2 k
k 2k
x1 0 x 2 0
2k K k k 2k
m 0 M 0 2m
x1 A1 sin(n t 0 ) x2 A2 sin(n t 0 )
这组解可写成以下的矩阵形式
x1 A1 sin n t 0 x2 A2 x Asinn t 0
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.3 主振型
将第一固有频率ωn1代入
x1 A1 sin(n t 0 ) x2 A2 sin(n t 0 )
normal mode 第一主振动
第二主振动 the ratio of the amplitudes
x11 A11 sin(n1t 1 ) 1 1 x2 A2 sin(n1t 1 ) x12 A12 sin(n 2t 2 ) 2 2 x2 A2 sin(n 2t 2 )
将ωn1、ωn2之值代入，得
2 a d m 22 1 ad 2 bc 0 m11 b 2 2
2 m 22 1 a d ad 1 bc 0 m11 b 2 2
2 n1, 2
ad ad ad ad bc ( ad bc) 2 2 2 2
2
2
正值
这就是特征方程的两组特征根。
2 n1 n 2 是两个大于零的不相等的正实根 特征根 2
ad 小于 2
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m 0 M , 0 m k1 k 2 K k2 k 2 5k k 2 k 3 4k 4k 5k
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.3 主振型
系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即
x1(1) 1, (1) x2 x1( 2 ) 2 ( 2) x2
这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.2 频率方程
2 n1, 2
2 ad ad ad ad ( ad bc) bc 2 2 2 2
2
正值 这就是特征方程的两组特征根。
ad 小于 2
特征根n1 n 2是两个大于零的不相等的正实根
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第4章 两自由度系统的振动
机械振动基础
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第4章 两自由度系统的振动
目录
4.1 两自由度系统的自由振动 4.2 拍振 4.3 坐标的耦联
4.4 两自由度系统的受迫振动
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刚度矩阵
（2）解频率方程，求ωni 将M和K代入频率方程，得
系统的第一阶和第二阶固有频率为

2 n1
0.634 k n1 0.796 k 2k 2n m m 2 2 2.366 k . (2k n m)( 2k 2n m) k 2 0 n 2 1.538 m
k3 x2
分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡 位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
m1 1 2kx1 kx 2 0 x 2m2 kx1 2kx 2 0 x
Elements of Mechanical Vibrations
这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在 第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动 时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有 频率对应的主振型作简谐振动。
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4.1 两自由度系统的自由振动
写成矩阵形式
x1 A1(1) (1) x2 A2
A1( 2 ) sin(n1t 1 ) ( A22 ) sin(n 2t 2 )
A1( 2 ) x1 A1(1) (1) sin(n1t 1 ) ( 2 ) sin(n 2t 2 ) x2 A2 A2
坐标列阵
x 1 x x2
加速度列阵
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.2 频率方程
x M K x 0
根据微分方程的理论，设方程的解为 passing simultaneously through the equilibrium position.
k 2 x1 0 x 0 k 2 2
刚度矩阵质量Leabharlann 阵m11 M m 21
m12 m22
mij 质量影响系数
k ij 刚度影响系数
M x K x 0
x1 x x 2
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.2 频率方程
k11 n 2 m11 k 21
A1 0 2 k 22 n m22 A2 0 k12
系数行列式等于零 determinant is zero
K n 2 M 0
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4.1 两自由度系统的自由振动
4.1.1 运动微分方程
m1 0
0 1 k 1 k 2 x k m2 x 2 2
k 11 K k 21 k 12 k 22
2
Elements of Mechanical Vibrations
2k n m
2
k
k k 2 n 2 2.366 0.634 m m
k m k m
0
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4.1 两自由度系统的自由振动
例题
（3）求主振型
2 n1、n 2 分别代入，得 将 2
k n1 m22 2k n1 m A1(1) 1 1 (1) 22 A2 k12 k 0.732
2 2
ωn1、ωn2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率
ωn1称为第一阶固有频率；较高的频率ωn2称为第二阶固有频率。
由式看出，固有频率ωn1、ωn2与运动的初始条件无关，仅与振 动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度 有关。
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2 n m11m22n m11k22 m22k11 n k11k22 k12 0 2 4 2

引入记号
k 11 k 12 k 21 k 22 a , b , c , d m11 m11 m22 m22
则特征方程可改写为 n 4 (a d )n 2 ad bc 0