高二数学第一学期期末模拟卷

开始
I ←2
S ←S+I 2
S ←0
输出S
结束
Y
N I ←I+2
第2题
高二数学第一学期期末模拟卷〔一〕
一．填空题：本大题共14小题,每题5分,共70分.
1.抛物线2
2y x =的焦点坐标是 ．
2．下面的流程图判断框中应填入 ,可以计算
222
2
246100+++
+．
3.命题“x x R x 21,2
≥+∈∀〞的否认是 ．
4.“a>2”是“方程x 2a+1 + y 2
2-a
=1 表示的曲线是双曲线〞
的 条件(填“充分不必要,.必要不充分,充要条件,既不充分也不必要〞).
5. 变量x 与变量y 之间的一组数据如表,那么y 与x 的线性回归方程y=b x +a 必过点 .
6.甲、乙两个总体各抽取一个样本,假设甲样本均值为15,乙样本均值为17,甲样本方差为3,乙样本方差为２,那么总体 (填写“甲〞或“乙〞)波动小．
7.如果质点A 的位移S 与时间t 满足方程3
2S t =(位移单位:米,时间单位:秒),那么质点在3t =时的瞬时速度为 米/秒.
8.从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和大于1的概率是 . 9. 设函数()1
x a f x x -=
-,集合M={|()0}x f x <,P='
{|()0}x f x >,假设M P,那么实数a 的取值范围是 .
10.一纸箱内装有某种矿泉水12瓶,其中有2瓶不合格,假设质检人员从该纸箱内随机抽出2瓶,那么检测到不合格产品的事件概率是 .
11.中央在原点,长轴长为8,准线方程为8x =±的椭圆标准方程为 ． 12．设点P 是曲线)0(ln 2
>-=x x x y 上的任意一点,那么点P 到直线2:-=x y l 距离的最小值是 .
x 0 1 2 3 y 1 3 5 7
13. P 是双曲线22x y 1916
－＝的右支上一点,M 、N 分别是圆〔x ＋5〕2＋y 2＝4和〔x －5〕2＋y 2
＝1
上的点,那么|PM|－|PN|的最大值为 . 14.有如下四个命题：
命题①：方程2
2
1(0)mx ny m n +=>>表示焦点在x 轴上的椭圆；
命题②：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=互相垂直的充要条件； 命题③：方程2
2
1(0)mx ny m n -=>>
的双曲线； 命题④：“全等三角形的面积相等〞的否命题.
其中真命题的序号是 .〔写出所有真命题的序号〕
二．解做题：本大题共6小题,每题15分,共90分.解容许写出文字说明、证实过程或演 算步骤.
15. 三点P 〔5,2〕、1F 〔－6,0〕、2F 〔6,0〕.
〔Ⅰ〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
〔Ⅱ〕设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.
16.先后抛掷一枚形状为正方体的骰子〔正方体的六个面上分别标以数字123456、、、、、〕,骰子向上的点数依次为,x y . (I ) 共有多少个根本领件？
(II ) 设“x y ≠〞为事件A ,求事件A 发生的概率； 〔Ⅲ〕设“6x y +=〞 为事件B ,求事件B 发生的概率.
17. p ：方程
22
12x y m m +=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,假设p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．
18．如图,等腰梯形ABCD 的三边,,AB BC CD 分别与函数
21
22
y x =-+,[]2,2x ∈-的图象切于点,,P Q R .求梯形ABCD 面
积的最小值.
x
19．为了研究某高校大学新生学生的视力情况,随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况,得到频率分布直方图,如图.前4组的频数从左到右依次是等比数列{}n a的前四项,后6组的频数从左到右依次是等差数列{}n b的前六项．
(Ⅰ)求等比数列{}n a的通项公式;
〔Ⅱ)求等差数列{}n b的通项公式；
(Ⅲ)假设规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率μ的大小.
20．设a≥0,f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x〔x>0〕.
〔Ⅰ〕令F〔x〕＝xf＇〔x〕,讨论F〔x〕在〔0.＋∞〕内的单调性并求极值；
〔Ⅱ〕求证：当x>1时,恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
高二数学试卷〔一〕参考答案
一．填空题：本大题共14小题,每题5分,共70分.
1. 1(0,)8
2. I<100
3. x x R x 21,2
<+∈∃ 4. 充分不必要条件 5.〔1.5,4〕 6. 乙 7. 54 8. 41π-
9. (1,+∞) 10. 722
11.
22
11612
x y += 12. 2 13. 9 14.②③ 二．解做题：本大题共6小题,每题15分,共90分.
15. 解: 〔I 〕由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122
=b
y )0(>>b a ,其半焦距6=c .
||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 936452
2
2
=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +
19
2
=y ； 〔II 〕点P 〔5,2〕、1F 〔－6,0〕、2F 〔6,0〕关于直线y ＝x 的对称点分别为：
)5,2(P '、'1F 〔0,-6〕、'2F 〔0,6〕
设所求双曲线的标准方程为
2
1
2a x -
12
1
2=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,
|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,
1620362
1
2
12
1=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -116
2
=x . 16. 解：(I ) 第一次抛掷骰子有6种结果,第二次抛掷骰子也有6种结果,于是一共有：
6636⨯=种不同结果,因此共有36个根本领件.
(II )A 的对立事件A :x y =,
共有1x y ==、2x y ==、3x y ==、4x y ==、5x y ==、6x y ==六种,
∴61
().366
P A =
= ∴15
()1()1.66
P A P A =-=-=
(或565
()666
P A ⨯=
=⨯). 答：事件A 发生的概率为5
6
.
〔Ⅲ〕满足“6x y +=〞数对(,)x y 共有(1,5)(2,4)(3,3)(4.2)(5,1)、
、、、五对, ∴55
()6636
P B =
=⨯ ,
答:事件B 发生的概率为
5
36
. 17.解:“方程
22
12x y m m
+=-表示椭圆〞是真命题,
∴0202m m m m >⎧⎪
->⎨⎪≠-⎩
021m m ∴<<≠且,
“抛物线y =2
21x mx ++与x 轴无公共点〞是假命题, ∴抛物线y =2
21x mx ++与x 轴有公共点,
2440m ∴∆=-≥ 11m m ∴≥≤-或,
由题意得,
021
11m m m m <<≠⎧⎨
≥≤-⎩
且或 12m ∴<<.
18.解：解：设梯形ABCD 的面积为s ,点P 的坐标为2
1(,2)(02)2
t t t -+<≤.由题意得,
点Q 的坐标为(0,2),直线BC 的方程为2y =.
21
2,2
y x =-+ y x '∴=- |x t y t ='∴=-
∴ 直线AB 的方程为2
1(2)(),2
y t t x t --+=--
即：2
122
y tx t =-++
令0y = 得,2244
,(,0).22t t x A t t
++=∴ 令2y = 得,11
(,2)22
x t B t =
∴ ∴
21142()222()222t S t t t t
+=⨯+
⨯⨯=+≥
当且仅当2
t t
=,即t =
时,取“=(]0,2
, ∴ t =
时,S 有最小值为.
∴梯形ABCD 的面积的最小值为
19．解：〔I 〕由题意知：10.10.11001a =⨯⨯=,
20.30.1100 3.a =⨯⨯=
∵数列{}n a 是等比数列, ∴公比2
1
3,a q a =
= ∴11
13n n n a a q --== .
(II) ∵123a a a ++=13, ∴126123100()87b b b a a a ++
+=-++=,
∵数列{}n b 是等差数列, ∴设数列{}n b 公差为d ,那么得,
1261615b b b b d +++=+
∴1615b d +＝87,
27
41==a b ,∴5-=d , ∴n b n 532-=
(III)μ=
1231234
0.91100a a a b b b b ++++++=,
(或μ=56
10.91100
b b +-=)
答:估计该校新生近视率为91%. 20.解: 〔Ⅰ〕根据求导法那么有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-
+>，, 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，, 于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，, 列表如下：
)
故知()F x 在(02)，
内2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．
〔Ⅱ〕证实：由0a ≥知,()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．
于是由上表知,对一切(0)x ∈+，
∞,恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时,恒有()0f x '>,故()f x 在(0)+，
∞内单调增加． 所以当1x >时,()(1)0f x f >=,即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时,恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．。