沪科版数学八年级下册19.正方形同步课件
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=180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .
随堂演练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( B ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( B ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分
第19章 四边形
19.3.3 正方形
知识回顾 问题1 平行四边形、矩形、菱形都各有哪些性质？
平行四边形
边: 对边平行且相等 角: 对角相等，邻角互补 对角线: 对角线互相平分
Байду номын сангаас
矩形
具有平行四边形所有性质
边：同上 角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等
菱形的性质 菱形的性质
具有平行四边形一切性质 边: 四条边相等
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM， 得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS）, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
D
直角三角形.
O
B
C
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
A
D
O
B
C
知识点二：正方形的判定 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,更是特殊
∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°， ∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.
6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点， 过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证： △BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是 正方形．
的平行四边形.所以有：
+
一个直角 对角线相等
先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方形
+
一组邻边相等 对角线垂直
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形 正方形
例题讲授 例2 如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝ ∠CFD＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是 BC边的中点，
∴BD＝CD，∴△BED≌△CFD.(2)∵DE⊥AB， DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A ＝90°，
∴四边形DFAE是矩形．∵△BED≌△CFD， ∴DE＝DF，∴矩形DFAE是正方形．
5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF. 求证：(1)△ABE≌△BCF；(2)AE⊥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC， ∠ABE＝∠C＝90°.
在△ABE和△BCF中，AB=BC,∠ABE＝∠C, BE=CF ∴△ABE≌△BCF.
(2)如图，设AE与BF交于点 O.∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE ＝∠CBF.∵∠ABE＝90°，
角：同上
互相垂直平分 对角线:
分别平分两组对角
问题2 你是如何判定是矩形、菱形？ 三个角是直角
定义 四边形 四个判定定理 平行四边形
四条边相等
矩形 菱形
情景导入 视察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，
在生活中无处不在.
你还能举出其 他的例子吗？
获取新知 知识点一：正方形的性质
矩形
邻边相等
正方形
3. 如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
且BP＝BC，则∠ACP的度数是( B )
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得 四边形ABCD是正方形，其中正确的是_①__③__或__①__②__或__④__②__或__④__③_ （只填写序号）．
性质：1.正方形的四个角都是直角； 2.四条边相等，对边平行； 3.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
例题讲授
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰 A
课堂小结 正方形的性质
两组对边分别平行 边
四条边都相等
正 方 形
两组对角分别相等，邻角分别互补 角
四个角都是直角
两条对角线互相平分
对角线 两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
对角线相等
正方形的判定
矩形
5种辨认 四边形 方法 平行四边形
一个角是直角且 一组邻边相等
正方形
菱形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
正方形既是矩形又是菱形．
平行四边形
矩形 菱形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形 平行四边形
正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,更是特殊 的平行四边形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
随堂演练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( B ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( B ) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分
第19章 四边形
19.3.3 正方形
知识回顾 问题1 平行四边形、矩形、菱形都各有哪些性质？
平行四边形
边: 对边平行且相等 角: 对角相等，邻角互补 对角线: 对角线互相平分
Байду номын сангаас
矩形
具有平行四边形所有性质
边：同上 角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等
菱形的性质 菱形的性质
具有平行四边形一切性质 边: 四条边相等
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM， 得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM（SAS）, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
D
直角三角形.
O
B
C
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
A
D
O
B
C
知识点二：正方形的判定 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,更是特殊
∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°， ∴∠BOE＝90°，即AE⊥BF.
6. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点， 过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证： △BED≌△CFD；(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是 正方形．
的平行四边形.所以有：
+
一个直角 对角线相等
先判定菱形 矩形条件(二选一)
正方形
+
一组邻边相等 对角线垂直
先判定矩形 菱形条件(二选一)
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形 正方形
例题讲授 例2 如图，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝ ∠CFD＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是 BC边的中点，
∴BD＝CD，∴△BED≌△CFD.(2)∵DE⊥AB， DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A ＝90°，
∴四边形DFAE是矩形．∵△BED≌△CFD， ∴DE＝DF，∴矩形DFAE是正方形．
5. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF. 求证：(1)△ABE≌△BCF；(2)AE⊥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC， ∠ABE＝∠C＝90°.
在△ABE和△BCF中，AB=BC,∠ABE＝∠C, BE=CF ∴△ABE≌△BCF.
(2)如图，设AE与BF交于点 O.∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE ＝∠CBF.∵∠ABE＝90°，
角：同上
互相垂直平分 对角线:
分别平分两组对角
问题2 你是如何判定是矩形、菱形？ 三个角是直角
定义 四边形 四个判定定理 平行四边形
四条边相等
矩形 菱形
情景导入 视察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，
在生活中无处不在.
你还能举出其 他的例子吗？
获取新知 知识点一：正方形的性质
矩形
邻边相等
正方形
3. 如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
且BP＝BC，则∠ACP的度数是( B )
A．45°
B．22.5°
C．67.5°
D．75°
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，
③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得 四边形ABCD是正方形，其中正确的是_①__③__或__①__②__或__④__②__或__④__③_ （只填写序号）．
性质：1.正方形的四个角都是直角； 2.四条边相等，对边平行； 3.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
例题讲授
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰 A
课堂小结 正方形的性质
两组对边分别平行 边
四条边都相等
正 方 形
两组对角分别相等，邻角分别互补 角
四个角都是直角
两条对角线互相平分
对角线 两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
对角线相等
正方形的判定
矩形
5种辨认 四边形 方法 平行四边形
一个角是直角且 一组邻边相等
正方形
菱形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
正方形既是矩形又是菱形．
平行四边形
矩形 菱形
正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
形 平行四边形
正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,更是特殊 的平行四边形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.