新北师大选修2-1高中数学 距离的计算

∴ AP＝(－1,0,1)， AB＝(0,1,0)， AC ＝(－1,1,0)，
设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)，
∴nn··AABP＝＝00，， 即－ y＝x0＋，z＝0，
令 x＝1，则 z＝1，∴n＝(1,0,1)．
∴d＝|
A|Cn|·n|＝|－21|＝
2 2.
答案：C
＝
|
A1
B
|2－

A1 B ·BC1 | BC1 |
2
＝
2a2－12a2＝
6 2 a.
答案：A
2．正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，E，F 分别是 C1C，D1A1 的中点， 求点 A 到 EF 的距离． 解：以 D 点为原点，DA，DC，DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．
∴点D到平面PFB的距离
―→
d＝|
F|Dn|·n|＝
2＝ 6
6 3.
∴点E到平面PFB的距离为
6 3.
1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、 线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要， 其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距 离．
2．空间一点 A 到直线 l 的距离的算法：
问题 1：点 A 到平面 π 的距离 d 与线段 AA′的长度有何关 系？
提示：相等．
问题 2：n0 是 n 的单位向量，则向量 PA在向量 n 上的投影大 小是什么？与|AA′|相等吗？
提示：| PA·n0|，相等．
点到平面的距离 设 n 为过点 P 的平面的一个法向量，A 是该平面外一定点，向 量 PA在 n 上的投影的大小为 | PA·n0| ，则点 A 到该平面的距离 d ＝ | PA·n0| .
§ 6
第 二
距 离
章的
计
算
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把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二
§6
距离的计算
点到直线的距离
如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线， A 是直线 l 外一定点．如图，作 AA′⊥l，垂足 为 A′.
问题 1：点 A 到直线 l 的距离与线段 AA′的长度有何关系？ 提示：相等．
[精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标 系，则 N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，
∴ NS ＝(0，－2,2)， SD ＝(－1,4，－2)．设 平面 SND 的法向量为 n＝(x，y,1)．
∴n·NS ＝0，n·SD＝0，
∴－－2xy＋＋42y＝－02，＝0. ∴xy＝＝12，
[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点 B 到直线 A′C 的 距离 d.
[精解详析] 因为 AB＝2，BC＝3，AA′＝4，
所以 B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．
CA ＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)．
CB＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．
∴n＝(2,1,1)．∵ AS ＝(0,0,2)．
∴A
到平面
SND
的距离为|n·|nA|S
|＝
2＝ 6
6 3.
[一点通] 用向量法求平面 π 外一点 A 到平面的距离的步骤： (1)计算平面 π 的法向量 n 及 n0； (2)在平面 π 上找一点 P，计算 PA； (3)由公式计算 d＝| PA·n0|. 利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出 垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．
提示：d＝|AA′|＝ | PA|2－| PA·s0|2.
点到直线的距离 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点， 向量 PA在 s 上的投影的大小为 | PA·s0| ，则点 A 到直线 l 的距离 d＝ | PA|2－| PA·s0|2 .
点到平面的距离
如图，设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的 平面，A 是平面 π 外一定点．作 AA′⊥π， 垂足为 A′.
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1，0,2)，
则 EF ＝(1，－2,1)，FA＝(1,0，－2)， | EF |＝ 12＋－22＋12＝ 6，
FA·EF ＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
FA在
EF
上的投影长＝|
FA·EF | EF |
|＝
16.
∴点A到EF的距离＝
设平面 A1BC 的法向量 n＝(x，y，z)，
则n·A1 B ＝0， n·A1C ＝0，
即x＝ 33y， z＝2y，
令 y＝3，则
n＝( 3，3,6)，n0＝14， 43， 23.
又
AA1
＝(0,0,1)，∴d＝|
AA1
·n0|＝
3 2.
答案：
3 2
5.四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，
3．已知 PD⊥正方形 ABCD 所在平面，PD＝AD＝1，则 C 到平
面 PAB 的距离 d＝
()
A．1
B. 2
2 C. 2
3 D. 2
解析：以 D 为原点，以 DA，DC，DP 所在
直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系．
则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
问题 2：若 s0 为 s 的单位向量，你能得出 PA在 s 上的投影长 吗？
提示：向量 PA在 s 上的投影长为| PA||cos〈 PA，s〉|＝ | PA|·||PPAA|·|ss||＝| P|As|·s|＝| PA·|ss||＝| PA·s0|.
问题 3：设点 A 到直线 l 的距离为 d，你能根据问题 2 的答案 写出 d 的表达式吗？
PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离
解：(1)证明：以D为原点， 建立如图所示的空 间直角坐标系， 则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)． ―F→P ＝(－1，0,2)，―F→B ＝(1,2,0)， ―D→E ＝(0,1,1)， ∴―D→E ＝12―F→P ＋12―F→B ，∴―D→E ∥平面PFB. 又∵DE⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.
＝
32－
9292＝6
145 29 .
[一点通] 1．用向量法求直线外一点 A 到直线 l 的距离的步骤 (1)确定直线 l 的方向向量 s 及 s0； (2)在 l 上找一点 P，计算 PA的长度； (3)计算 PA·s0 的值； (4)由公式 d＝ | PA|2－| PA·s0|2求解． 2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法 求距离的难点(即过 A1 点作 l 的垂线，难在垂足的位置的确定)．
所以CB 在CA 上的投影：
CB
·CA |CA
＝(0，－3,0)· |
－2，－3，4 －22＋－32＋42
＝(0，－3,0)· －229，
－3 ， 29
4

29
＝0× －229＋(－3)× －239＋0×
4＝ 29
9； 29
所以点 B 到直线 A′C 的距离为
d＝ |CB|2－|CB·CA |2 |CA |
4．在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 AB＝2，AA1＝1，则点 A 到 平面 A1BC 的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系． A(0,0,0)，B( 3，1,0)，C(0,2,0)， A1(0,0,1)，∴ A1B ＝( 3，1，－1)， A1C ＝ (0,2，－1)．
(2)∵DE∥平面PFB， ∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则nn··――FF→→BP ＝＝00，
⇒x－＋x2＋y＝2z＝0，0，
令x＝2，得y＝－1，z＝1. Nhomakorabea∴n＝(2，－1,1)，又∵―F→D ＝(－1,0,0)，
1．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，则点 A1 与对角
线 BC1 所在的直线间的距离为
()
6 A. 2 a
B．a
C. 2a
D.a2
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则
A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)． ∴ A1B＝(0，a，－a)， BC1 ＝(－a,0，a)． ∴| A1B|＝ 2a，|BC1 |＝ 2a. ∴点 A1 到 BC1 的距离 d
|FA|2－ 162＝
269＝
174 6.
求点到平面的距离 [例 2] 如图，已知△ABC 是以∠ABC 为直 角的直角三角形，SA⊥平面 ABC，SA＝BC＝2， AB＝4，M，N，D 分别是 SC，AB，BC 的中 点，求 A 到平面 SND 的距离．
[思路点拨] 建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离．
1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况 灵活选择，原则是便于计算，s0 是 s 的单位向量， s0＝|ss|.
2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和 平面的斜线段的方向向量．
点到直线的距离 [例 1] 如图，在空间直角坐标系中， 有长方体 ABCD－A′B′C′D′，AB＝2， BC＝3，AA′＝4，求点 B 到直线 A′C 的 距离．
3．空间一点 A 到平面 π 的距离的算法：
应用创新演练见课时跟踪训练(十三)