导数及其应用运算单调性极值与定积分考前冲刺专题练习(一)含答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《导数及其应用-运算单调性极值与定积分》单元
过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ．
2．由曲线y=2
x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ）112
(B)
14
(C)
13
(D)
7
12
（2020山东理7) 3．
函
数
y=
12
x
2
-
㏑x 的单调递减区间为
（
）
A ．(-1,1]
B ．(0,1]
C ．[1,+∞)
D ．(0,+∞) （2020
辽宁文）
4．由曲线y x =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A.
103 B.4 C.163
D.6（2020全国理9）
5．设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 答案 D
6．如下图，已知()3
2
()0,f x ax bx cx d a =+++≠记()
243,b ac ∆=-则当
00()a f x ∆≤>且时，的大致图象为（ ）.
答案 C
7．函数y =2x 3-3x 2
-12x +5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是 （ ）w.
A . 5,-15
B . 5,-4
C . -4,-15
D . 5,-16 答案 A
8．下列图像中有一个是函数1)1(31)(223
+-++=
x a ax x x f
)0,(≠∈a R a 的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f
（ ）
A
y
o
x D
y
o
x
y o
x
C
y o
x
B
A .3
1
B .3
1
-
C .
3
7
D .31-
或35
答案
B
9．设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为
21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
- 答案 A
解析 由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A 力。

10．已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是
（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+
（2020安徽卷理）[解析]：由2
()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，
即2
2()(2)44f x f x x x --=+-，∴2
()f x x =∴/
()2f x x =，∴切线方程为
12(1)y x -=-，即210x y --=选A
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．已知函数f(x)＝mx 2＋l nx －2x 在定义域内单调递增，则实数m 的取值范围
是 ▲ .
12．设函数()2
ln f x x x =+，若曲线()y f x =在点()()1,1f
处的切线方程为
y a x b =+，则a b += ．
13．已知函数⎩⎨⎧<≥-=0
,0
,)(2x x x x x f ，则=-))3((f f _____________________．
14．设函数22
3
()cos 4sin 3()2
x
f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t <，将()f x 的最小值记为(),()
g t g t 则函数的单调递增区间为 ______ .
15．对函数()sin f x x x =，现有下列命题： ①函数()f x 是偶函数
②函数()f x 的最小正周期是2π
③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中学； ④函数()f x 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

其中是真命题的是 （写出所有真命题的序号）。

16．已知函数x x x f 3)(3-=，过点)6,2(-P 作曲线)(x f y =的切线的方
程 ． 评卷人
得分
三、解答题
17．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c x ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值． [解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .
∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有
又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，
此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－3
2x .
∴f ′(x )＝32x 2－3
2
.
令f ′(x )＝0，得x ＝±1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x )
＋
0 －
0 ＋
f (x )
极大
值1
极小 值－1
由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值1；当x ＝1时，函数有极小值－1
18．已知217
()ln ,()(0)22
f x x
g x x mx m ==
++<，直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；
（Ⅱ）若()(1)'()('()()h x f x g x g x g x =+-其中是的导函数），求函数()h x 的最大
值；
（Ⅲ）当0b a <<时，比较：2()a af a b ++与2(2)b af a +的大小，
19．已知函数1()ln(1),0
1x
f x ax x x
-=++
≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求
()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

解（Ⅰ）222
22
'(),1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2
'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a =
（Ⅱ）22
2
'(),(1)(1)
ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>
①当2a ≥时，在区间(0,)
'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞
②当02a <<时，
由22'()0,'()0,a a
f x x f x x a a
-->>
<<解得由解得 ∴()),a a
f x a a
+∞2-2-的单调减区间为（0，
单调增区间为（，）. （Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为
当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在2a
x a
-=
处取得最小值2(
)(0)1,
a
f f a
-<= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ 20．设函数2
()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．
(Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； (Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；
(Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式2
2
(cos )(cos )
f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（天津文 本小题满分14分）
关键字；多项式函数；含参函数；求一点处的切线方程；求函数的极值；恒成立
问题；分类讨论；能因式分解
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． (Ⅰ）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1． 10x y -+= 2．A
解析：A 由题意得:所求封闭图形的面积为123
0x -x )dx=
⎰（111
1-1=3412
⨯⨯,故选A 。

3．B
【解析】211
ln ,,00,02y x x y x y x x x x
''=
-∴=->∴<由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 4．C 5． 6．C
解析：2
()32f x x bx c '=++，由0,0a ∆≤>可知选C 。

7． 8． 9． 10．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11． 12
m ≥ 12． 13．
14．（处闭为错，处闭也对） 15． 16．或 评卷人
得分
三、解答题
17．
18．（I ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点（1，0）处的切线，故其斜率
1
(1)11
k f ===所以直线l 的方程为1y x =-
又因为直线l 与()g x 的图像相切 所以由
221
19(1)017
2222
y x x m x y x mx =-⎧⎪
⇒+-+=⎨=++⎪⎩ 得2
(1)902(4m m m ∆=--=>==不合题意，舍去）
（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2(1)
h x f x g x x x x =+-=+-+>-所以1'()111
x h x x x -=
-=
++ 当10x -<<时，'()0;h x > 当0x >时， '()0h x < 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减。

因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =
（Ⅲ）当0b a <<时，102b a
a
--<<，由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<因此，有()(2)ln ln(1)
222a b b a b a
f a b f a a a a
+--+-==+<即2()2(2)a af a b b af a ++<+
19．
20．当1a =时，2
3
2
()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且
2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．
所以，曲线2
(1)y x x =--在点(2
2)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得 580x y +-=．
(Ⅱ）2
3
2
2
()()2f x x x a x ax a x =--=-+-
22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．
令()0f x '=，解得3
a
x =
或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
(1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
x
3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，
3a
3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， a ()a +，∞
()f x '
- 0 +
0 -
因此，函数()f x 在3a x =
处取得极小值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且
34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且
()0f a =．
(2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
x
()a -∞，
a
3a a ⎛⎫
⎪⎝⎭， 3a 3a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，∞ ()f x '
-
0 +
0 -
因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且
()0f a =；
函数()f x 在3a x =
处取得极大值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且 34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
(Ⅲ）证明：由3a >，得
13
a
>，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．
由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使2
2
(cos )(cos )f k x f k x --≥，
x ∈R
只要2
2
cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即
22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①
设2
211()cos cos cos 24g x x x x ⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须2
2k k -≥，即2k ≥或1k -≤．
所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得2
2
(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的
x ∈R 恒成立．。