苏版教材高考复习：等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和
一、选择题
1.(2016·天津高考理科·T5)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q<0”是“对任意的正整数n ,a 2n-1+2n a <0”的 ( ) A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】利用等比数列的定义将a 2n-1+a 2n <0转化为a 1q 2n-2(1+q )<0,得出q 的范围,然后比较前后两个q 的取值范围即可.
【解析】选C.设数列的首项为a 1,则a 2n-1+a 2n =a 1q 2n-2+a 1q 2n-1=a 1q 2n-2(1+q )<0,即q<-1, 故q<0是q<-1的必要不充分条件. 二、填空题
2.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 .
【解析】由于{a n }是等比数列,设a n =a 11n q -,其中a 1是首项,q 是公比.
所以1324a a 10,a a 5,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩⇔2
113
11a a q 10,a q a q 5,
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得:1a 8,1q .2
⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故a n =n 4
12-⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
所以a 1·a 2·…·a n =()()()
32n 412-+-+⋯+-⎛⎫
⎪
⎝⎭
=()1
n n 72
12
-⎛⎫
⎪⎝⎭
=2
1749n 22412
⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎛⎫
⎪⎝⎭
.
当n=3或4时,
2
1
749n 2
24⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
取到最小值-6,
此时21749n 22412
⎡⎤⎛⎫⎢⎥
-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎛⎫
⎪
⎝⎭
取到最大值26.
所以a 1·a 2·…·a n 的最大值为64. 答案:64 三、解答题
3.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T17)(本小题满分12分) 已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式. (2)若S 5=
31
32
,求λ. 【解析】(1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故a 1=
1
1λ
-, 由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,所以
n 1n a λ
=a λ1
+-, 因此数列{}n a 是以a 1=11λ-为首项,以λλ1
-为公比的等比数列,a n =n 1
1λ1λλ1-⎛⎫
⎪
--⎝⎭.
(2)由(1)得S n =1-n
λλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭
,又因为S 5=31
32, 所以3132=1-5
λλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭,即5
λλ1⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
=132,解得λ=-1. 4.(2016·四川高考理科·T19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.
(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式.
(2)设双曲线x 2
-22n y a =1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >n n
n 143 3
--.
【解题指南】(1)在S n+1=qS n +1中,用n-1代替n ,将两式相减判断出数列{a n }为等比数列,再结合等差中项求出公比,从而求出{a n }的通项公式.(2)先求出数列的通项公式,从而求出数列{e n }的通项公式,进而证明不等式.
【解析】(1)由题S n+1=qS n +1①可知
当n ≥2时,S n =qS n-1+1②,两式相减可得a n+1=qa n ,即{a n }从第二项开始为公比是q 的等比数列,当n=1时,代入可得a 1+a 2=qa 1+1,所以a 2=q ,即{a n }为公比是q 的等比数列. 根据2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,由等差数列性质可得2a 2+a 2+2=3a 2+2=2a 3,即2q 2-3q-2=0,求解可得q=2或q=-1 2
,由题q>0可知,q=2,所以a n =2n-1,n ∈N *. (2)证明:由双曲线的性质可知,e n
=
=
由(1)可得, {a n }是首项为1,公比
为q 的等比数列,故e 2
=5
3
==,即q=43,所以{a n }为首项为1,公比为43的
等比数列,通项公式为a n =n 1
43-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(n ∈N *
),所以e n
=n 1
43-⎛⎫>
= ⎪⎝⎭
,
e 1+e 2+…+e n >1+n
2
n 1
n n n 1
413444434333313
--++=
⎛⎫
- ⎪
⎛⎫
⎛⎫-⎝⎭+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-
,原式得证.
5.(2016·四川高考文科·T19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.
(1)若a 2,a 3,a 2+ a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式.
(2)设双曲线x 2
-22n
y a =1的离心率为e n ,且e 2=2,求2
22
12e e e n
+++ . 【解题指南】(1)利用a n =S n -S n-1,两式相减,得出数列为等比数列,利用数列的通项公式得出结论.(2)先利用双曲线的离心率得到e n 的表达式,再解出q 的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.
【解析】(1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立. 所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.
由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3,所以a 3=2a 2,,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1.
所以双曲线x 2
-2
2n
y a =1的离心率e n
=
=
由
e 2=
解得q=所以,
()()
()2n 122
1222 e e e 111q 1q n -⎡⎤++++++⎦
=+⋯++⎣ =()
2n
2n 12
2q 1n 1q q
n q 1
--⎡⎤+++⋯+=+⎣
⎦-
=()
n
1n 31.2
+
- 6.(2016·江苏高考T20)(本题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *
)和U 的子集T ,
若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =12k t t t a a a +++ ,例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66,
现设{a n }(n ∈N *
)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30.
(1)求数列{a n }的通项公式.
(2)对任意正整数k (1≤k ≤100),若T ⊆{1,2,…,k },求证:S T <a k+1. (3)设C ⊆U ,D ⊆U ,S C ≥S D ,求证:S C +S C ∩D ≥2S D .
【解题指南】(1)根据等比数列的公比及前n 项和公式求出首项. (2)由S T ≤a 1+a 2+…+a k 求和,然后适当放缩证明.
(3)根据集合的有关运算性质构造A ∩B=⌀,将问题转化为证明S A ≥2S B . 【解析】(1)当T={2,4}时,S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30⇒a 2=3⇒a 1=23
a =1,所以a n =3n-1
.
(2)S T ≤a 1+a 2+…+k
a =1+3+32
+…+3k-1
=313
k -<3k
=a k+1.
(3)设A=C C (C ∩D ),B=D C (C ∩D ),则A ∩B=⌀, S C =S A +S C ∩D ,S D =S B +S C ∩D ,S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ,
因此原题就等价于证明S A ≥2S B ,由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B .
①若B=⌀,则S B =0,所以S A ≥2S B .
②若B ≠⌀,由S A ≥S B 可知A ≠⌀,设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m , 若m ≥l+1,则由第(2)小题,S A <a l+1≤a m ≤S B 矛盾. 因为A ∩B=⌀,所以l ≠m ,所以l ≥m+1,
S B ≤a 1+a 2+…+a m =1+3+32
+…+3m-1
=1131
2222
m m A a a S +-<≤≤,即S A >2S B .
综上所述,S A ≥2S B ,因此S C +S C ∩D ≥2S D .。