2019版高中全程复习数学(文)课时作业：第五章数列28含答案
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课时作业 28 数列的概念与简单表示法 一、选择题 1．(2018·济南二模)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) 1 1 1 A．1，，2，3，… 3 3 3 π 2π 3π 4π B．sin ，sin ，sin ，sin ，… 13 13 13 13 1 1 1 C．－1，－ ，－ ，－ ，… 2 3 4 D．1,2,3,4，…，30 1 1 1 解析：数列 1，，2，3，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列； 3 3 3 π 2π 3π 4π 数列 sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是 13 13 12 13 1 1 1 摆动数列； 数列－1， － ， － ， － ， …是无穷数列， 也是递增数列； 数列 1,2,3,4， …， 2 3 4 30 是递增数列，但不是无穷数列． 答案：C 2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－2n，则 a2＋a18＝( ) A．36 B．35 C．34 D．33 解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；当 n＝1 时，a1＝S1＝－1，满足上 式，所以 an＝2n－3(n∈N*)，所以 a2＋a18＝34. 答案：C 3 3．(2018·广东测试)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝ (an－1)(n∈N*)，则 2 an＝( ) A．3(3n－2n) B．3n＋2 C．3n D．3·2n－1 3 a1＝S1＝ a1－1， 2 a1＝3， 解析： 解得 代入选项逐一检验，只有 C 符 3 a2＝9， a1＋a2＝ a2－1， 2 合． 答案：C nπ 4．(2018·太原市模拟)已知数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n(2n－1)·cos ＋ 2 * 1(n∈N )，其前 n 项和为 Sn，则 S60＝( ) A．－30 B．－60
C．7 D．6 解析：a1＝S1＝－8，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝ 15 2n－10.由 5<ak<8，得 <k<9. 2 所以 k＝8.故选 B. 答案：B 9．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前 40 ) 项和 S40 等于( A．20 B．40 C．60 D．80 an 1 1 (n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得 a3＝3，a4＝1，a5＝ ，a6＝ ， 解析：由 an＋1＝ 3 3 an－1 26 a7＝1，a8＝3，…，这是一个周期为 6 的数列，一个周期内的 6 项之和为 ，又 3 26 40＝6×6＋4，所以 S40＝6× ＋1＋3＋3＋1＝60. 3 答案：C 10．(2018·洛阳月考)已知 a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项 公式是( ) n＋1 － A．an＝2n－1 B．an＝ n n 1 C．an＝n2 D．an＝n 解析：法一 由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1， an＋1 an 所以 ＝ . n＋1 n an a a 所以数列 n 是常数列，且 n＝ 1＝1. n 1 所以 an＝n. an n 法二 n≥2 时， ＝ ， an－1 n－1 an－1 n－1 ＝ ， an－2 n－2 … a3 3 ＝ ， a2 2 a2 2 ＝ ， a1 1 a 以上各式两边分别相乘，得 n＝n.又因为 a1＝1， a1 所以 an＝n，故选 D. 答案：D
C．90 D．120 解析：由题意可得，当 n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当 n＝4k－2(k∈N*) 时，an＝a4k－2＝6－8k；当 n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当 n＝4k(k∈N*)时， an＝a4k＝8k.所以 a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以 S60＝8×15＝120. 答案：D 3an 5．(2018·云南调研)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝ ，则 a4＝( ) an＋3 3 A. B．1 4 4 3 C. D. 3 2 1 1 an＋3 1 1 1 1 1 1 1 解析：依题意得 ＝ ＝ ＋ ， － ＝ ，数列 an 是以 ＝ 为首项、 a1 3 an＋1 3an an 3 an＋1 an 3 1 1 1 n－1 n 3 3 为公差的等差数列，则 ＝ ＋ ＝ ，an＝ ，a4＝ ，选 A. 3 an 3 3 n 4 3 答案：A 6 ． (2018· 福建福州八中质检 ) 已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ a 2 n － 2an ＋ * 1(n∈N )，则 a2 018＝( ) A．1 B．0 C．2 018 D．－2 018 解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，……， 可知数列{an}是以 2 为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0. 答案：B 7．(2018·洛阳模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列 5,9,14,20，…为 “梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2 014 项与 5 的差，即 a2 014－5 等于 ( ) A．2 018×2 012 B．2 020×2 013 C．1 009×2 012 D．1 010×2 013 解析：因为 an－an－1＝n＋2(n≥2)，a1＝5， 所以 a2 014 ＝ (a2 014 － a2 013) ＋ (a2 013 － a2 012) ＋ … ＋ (a2 － a1) ＋ a1 ＝ 2 016 ＋ 2 015 ＋…＋4＋5 2 016＋4×2 013 ＝ ＋5＝1 010×2 013＋5， 2 所以 a2 014－5＝1 010×2 013，பைடு நூலகம்选 D. 答案：D 8． (2018·玉林月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n， 第 k 项满足 5<ak<8， ) 则 k 等于( A．9 B．8
C．7 D．6 解析：a1＝S1＝－8，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝ 15 2n－10.由 5<ak<8，得 <k<9. 2 所以 k＝8.故选 B. 答案：B 9．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，则数列{an}的前 40 ) 项和 S40 等于( A．20 B．40 C．60 D．80 an 1 1 (n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得 a3＝3，a4＝1，a5＝ ，a6＝ ， 解析：由 an＋1＝ 3 3 an－1 26 a7＝1，a8＝3，…，这是一个周期为 6 的数列，一个周期内的 6 项之和为 ，又 3 26 40＝6×6＋4，所以 S40＝6× ＋1＋3＋3＋1＝60. 3 答案：C 10．(2018·洛阳月考)已知 a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项 公式是( ) n＋1 － A．an＝2n－1 B．an＝ n n 1 C．an＝n2 D．an＝n 解析：法一 由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1， an＋1 an 所以 ＝ . n＋1 n an a a 所以数列 n 是常数列，且 n＝ 1＝1. n 1 所以 an＝n. an n 法二 n≥2 时， ＝ ， an－1 n－1 an－1 n－1 ＝ ， an－2 n－2 … a3 3 ＝ ， a2 2 a2 2 ＝ ， a1 1 a 以上各式两边分别相乘，得 n＝n.又因为 a1＝1， a1 所以 an＝n，故选 D. 答案：D
C．90 D．120 解析：由题意可得，当 n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当 n＝4k－2(k∈N*) 时，an＝a4k－2＝6－8k；当 n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当 n＝4k(k∈N*)时， an＝a4k＝8k.所以 a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以 S60＝8×15＝120. 答案：D 3an 5．(2018·云南调研)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝ ，则 a4＝( ) an＋3 3 A. B．1 4 4 3 C. D. 3 2 1 1 an＋3 1 1 1 1 1 1 1 解析：依题意得 ＝ ＝ ＋ ， － ＝ ，数列 an 是以 ＝ 为首项、 a1 3 an＋1 3an an 3 an＋1 an 3 1 1 1 n－1 n 3 3 为公差的等差数列，则 ＝ ＋ ＝ ，an＝ ，a4＝ ，选 A. 3 an 3 3 n 4 3 答案：A 6 ． (2018· 福建福州八中质检 ) 已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ a 2 n － 2an ＋ * 1(n∈N )，则 a2 018＝( ) A．1 B．0 C．2 018 D．－2 018 解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，……， 可知数列{an}是以 2 为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0. 答案：B 7．(2018·洛阳模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列 5,9,14,20，…为 “梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2 014 项与 5 的差，即 a2 014－5 等于 ( ) A．2 018×2 012 B．2 020×2 013 C．1 009×2 012 D．1 010×2 013 解析：因为 an－an－1＝n＋2(n≥2)，a1＝5， 所以 a2 014 ＝ (a2 014 － a2 013) ＋ (a2 013 － a2 012) ＋ … ＋ (a2 － a1) ＋ a1 ＝ 2 016 ＋ 2 015 ＋…＋4＋5 2 016＋4×2 013 ＝ ＋5＝1 010×2 013＋5， 2 所以 a2 014－5＝1 010×2 013，பைடு நூலகம்选 D. 答案：D 8． (2018·玉林月考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－9n， 第 k 项满足 5<ak<8， ) 则 k 等于( A．9 B．8