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于都五中八年级数学知识点总结
第十六章 分式
16.1 分式
1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且分母中含有字母，那么式子B
A
叫做分式。

2. 分式有意义的条件：分母不为零。

3. 分式值为零的条件：○1分子为零 ○2分母不为零
4. 分数的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个非零的整式，分式的值不变。

用式子表示为： （0≠C ）
5. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。

约分化简方法：○1分子分母同时分解因式 ○2约去公因式
6. 通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分方法：○1把各个分式的分母进行因式分解
○2找出最简公分母 ○3用分式的性质把各个分式化为同分母分式
找最简公分母的方法：○1取各分式分母中系数（系数都取正数）的最小公倍数 ○2各分式分母中所有字母或因式都要取到 ○3相同字母或因式取指数最大的 ○4所得的系数的最小公倍数与各字母或因式的最高次幂的积，为最简公分母。

16.2 分式的运算
1. 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为分母。

表达式：
b d bd
a c ac
•=
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。

2. 分式除法法则：分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒式，再将所得结果约分。

表达式：
b c b d bd
a d a c ac
÷=•=
3. 乘除与乘方的混合运算顺序：先做乘方，再做乘除。

4. 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

表达式：同分母加减法则:
()0b c b c a a a a
±±=≠ C B C A B A ⋅⋅=C B
C
A B A ÷÷=
异分母加减法则:
()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac
±±=±=≠≠ 5. 负整数指数幂：n
a -=n
a
1
（a ≠0，n 是正整数）
6. 整数指数幂性质：同正整数指数幂运算性质 （1）同底数的幂的乘法：n m n m
a a a +=⋅；
（2）幂的乘方：mn n
m a a
=)(;
（3）积的乘方：
n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m
a a a
-=÷( a ≠0)；
（5）商的乘方：n n
n b
a b a =)(；(b ≠0)
7. 科学计数法：将一个数字表示成 （a×10的n 次幂的形式），其中1≤|a|<10，n 表示整数，这种记
数方法叫科学记数法。

16.3 分式方程
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。

2. 解分式方程：
○
1实质：将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

○
2步骤：(1) 能化简的先化简 (2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程 (3) 解整式方程 (4) 验根（原因是：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根）。

3. 增根：○1其值应使最简公分母为0 ○2其值应是去分母后所的整式方程的根。

4. 列方程应用题的步骤：○1审 ○2设 ○3列 ○4解 ○5答
5. 应用题基本类型：
○
1行程问题：路程=速度×时间 顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水-v 水
○2工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
第十七章 反比例函数
1. 反比例函数：一般地，函数y =
x
k
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1
-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2. 反比例函数图象及其性质：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。

对称中心是：原点
x
y 0
1 2
y = — k
x
y=x
y=-x
反比例函数 )0(≠=
k x
k
y k 的符号
K > 0 K < 0
图像
y
O
x
y
O x
性质
①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。

在每个象限内， y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。

在每个象限内， y 随x 的增大而增大。

3. |k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点，向两坐标轴所作的x 轴与y 轴 围成的矩形的面积。

如图：S 四边形OAPB = |k|
第十八章勾股定理
18.1 勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.定理：经过证明被确认正确的命题。

3. 勾股定理的证明方法：
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.
方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

18.2 勾股定理的逆定理
1.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 原命题、逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。

如果把其中的一个叫原命题，那么另一个就是它的逆命题。

第十九章四边形
19.1 平行四边形
1.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2. 平行四边形的性质：○1平行四边形的对边相等；○2平行四边形的对角相等；
○3平行四边形的对角线互相平分。

（归纳：看性质从边、角、对角线三方面来看）
3. 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（定义）
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4. 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

19.2 特殊的平行四边形
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形。

2. 矩形的性质：○1矩形的四个角都是直角；○2矩形的对角线互相平分。

3. 直角三角形性质：
○1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么30°角所对的直角边是斜边的一半。

○2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4. 矩形的判定：○1有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（定义）
○2对角线相等的平行四边形是矩形。

○3有三个角是直角的四边形是矩形。

5. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
6. 菱形的性质：○1菱形的四边都相等；
○2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

7. 菱形的判定：○1一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（定义）
○2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

○3四条边相等的四边形是菱形。

8. 正方形：四条边相等，四个角相等。

9. 正方形的性质：正方形既是矩形，又是菱形。

所以它具有矩形的性质，又具有菱形的性质。

10. 正方形的判定：○1对角线相等的菱形是正方形。

○2有一个角为直角的菱形是正方形。

○3对角线互相垂直的矩形是正方形。

○4一组邻边相等的矩形是正方形。

○5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

○6对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

○7对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

○8一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

19.3 梯形
1.梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2. 等腰梯形：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：○1等腰梯形同一底边上的两个角相等；
○2等腰梯形两条对角线相等。

等腰梯形的判定：同一底边上的两个角的梯形是等腰梯形。

3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形。

4. 解梯形问题常用的辅助线：
19.4 重心
1.重心：简单说就是物体的平衡点。

2. 线段的重心：线段的中点。

3. 平行四边形的重心：对角线的交点。

4. 三角形的重心：三条中线的交点。

三角形重心的性质：○1三角形的重心把三角形的中线分成1:2。

如图G为重心，则GD：AG = GE：BG = 1:2
○2重心和三角形顶点的连线把三角形分成面积相等的三个三角形（各为总面积
的
13
）。

如图G 为重心，则ABG BCG CAG ABC 1S =S =S =S 3
∆∆∆∆
5. 黄金矩形：宽和长的比是
2
1
-5（约为0.618）的矩形。

6. 中点四边形：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形。

中点四边形性质：○1中点四边形的形状始终是平行四边形。

○2中点四边形的面积为原四边形面积的一半。

第二十章 数据的分析
20.1 数据的代表
1. 加权平均数：若n 个数n 21x x x ，．．．，，的权分别是n 21w w w ，．．．，，， 则
n
21n
n 2211w w w w x w x w x ++++++．．．．．．叫做这ｎ个数的加权平均数。

2．中位数：将一组数据按照从大到小（或者从小到大）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中
间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数的平均数就是这组数据的中位数。

3．众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

20.2 数据的波动
1. 极差：一组数据中的最大数据和最小数据的差叫做这组数据的极差。

可以反映数据的波动范围，但受极端值的影响较大。

2. 方差：若n 个数据n 21x x x ，．．．，，，各数据与平均数的差的平方分别是2
1x -x ）（，
B
C
D
2
2x -x ）（，…23x -x ）
（,我们用它们的平均数，即用2
S =n
x -x x -x x -x 2
n 2221）（．．．）（）（+++来衡量这
组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记做2S 。

方差的性质：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

3. 统计分析数据步骤：○1收集数据 ○2整理数据 ○3描述数据 ○4分析数据 ○5撰写调查报告 ○6交流。