2019年【浙江】高考数学(文)二轮：压轴大题突破练函数与导数(2)(含答案)

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2019.5
压轴大题突破练——函数与导数(二)
1． 设函数f (x )＝a e x ＋1a e x ＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32
x ，求a ，b 的值． 解 (1)f ′(x )＝a e x －1a e x ， 当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；
当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．
①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在[0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)内的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；
②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞) 内的最小值为f (0)
＝a ＋1a
＋b . (2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32
， 解得a e 2＝2或a e 2＝－12
(舍去)． 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12
. 故a ＝2e 2，b ＝12
. 2． 已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.
(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1e
，e]上的最大值； (2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32
]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．
解 (1)由题知，f (x )＝2ln x －12
x 2， f ′(x )＝2x －x ＝2－x 2x
， 当1e
≤x ≤e 时， 令f ′(x )>0得1e
≤x <2； 令f ′(x )<0，得2<x ≤e ，
∴f (x )在[1e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.
(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32
]，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32
]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，32
]，x ∈(1，e 2]都成立， 令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .
∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0，
∴h (a )在[0，32
]上单调递增， ∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，
∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立．
∵1<x ≤e 2，∴－e 2≤－x <－1，
∴m ≤(－x )min ＝－e 2.
3． 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1，g (x )＝ln x .
(1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值；
(2)是否存在实常数k 和m ，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．
解 (1)由F (x )＝x 3
－2x ＋1－ln x (x >0)，得F ′(x )＝3x 3－2x －1x (x >0)， 令F ′(x )＝0得x ＝1，易知F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )的极小值为F (1)＝0.
(2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0)，而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下
面只需验证⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )≥x －1
g (x )≤x －1都成立即可． 设
h (x )＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x >0)，
则h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x >0)．
易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )的最小值为h (1)＝0，所以f (x )≥x －1恒成立．
设k (x )＝ln x －(x －1)，则k ′(x )＝1－x x
(x >0)． 易知k (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以k (x )的最大值为k (1)＝0，所以g (x )≤x －1恒成立．
故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m .
4． 已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12
x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线 y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a 表示b ，并求b 的最大值；
(2)求证：f (x )≥g (x )．
(1)解 f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x
， 由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，
即⎩⎨⎧
12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a 2
x 0
. 由x 0＋2a ＝3a 2
x 0
，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)． 即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52
a 2－3a 2ln a . 令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)， 则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．
于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <e 13
时，h ′(t )>0； 当t (1－3ln t )<0，即t >e 13
时，h ′(t )<0. 故h (t )在(0，e 13)上为增函数，在(e 13
，＋∞)上为减函数， 于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 13)＝32e 23，即b 的最大值为32e 23
. (2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12
x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)， 则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a )x
(x >0)． 故F ′(x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0，
即当x >0时，f (x )≥g (x )．。