高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》专项训练解析附答案

【最新】《不等式》专题解析
一、选择题
1．抛物线
的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足
23
AFB π
∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）
A 3
B 3
C 3
D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M
是AB 中点，所以111
()2
MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中
222
AB AF BF =+22cos
3
AF BF π-22
AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2
AF BF +-2
3()4AF BF =+，所以
2
2
()43AF BF AB
+≤
，即233AF BF AB +≤，所以3
3
MN AB ≤，故选B ．
考点：抛物线的性质． 【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
2．若33
log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
3
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由33
log (2)1log
a b ab +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝
⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为33
log (2)1log
a b ab +=+，即()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333
a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
3．在平面直角坐标系中，不等式组20
{200
x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）
A ．42
B ．4
C ．22
D ．2
【答案】B 【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为
．故选B ．
考点：求不等式组表示的平面区域的面积．
4．若,x y 满足约束条件360601
x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则122y
x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )
A．
1 16
B．
1
8
C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件
360
60
1
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
所表示的可行域，如图所示，
其中可得(3,1)
A-，(5,1)
B，(3,3)
C，
因为
1
22
2
y
x x y
-
⎛⎫
⋅=
⎪
⎝⎭
，令z x y
=-，当直线y x z
=-经过A时，z取得最小值，
所以z的最小值为min314
z=--=-，
则
1
22
2
y
x x y
-
⎛⎫
⋅=
⎪
⎝⎭
的最小值为4
1
2
16
-=.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
5．已知点()
4,3
A，点B为不等式组
260
y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（）
A．5B
45
C5D25
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得AB最小时点
B的位置，利用两点间的距离公式可求得AB的最小值.
【详解】
作出不等式组
260
y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立
260
x y
x y
-=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
由图知AB的最小值即为()
4,3
A、()
2,2
B两点间的距离，
所以AB()()
22
42325
-+-=
故选：C．
【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
6．已知x、y满足约束条件
1
22
326
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
，若22
z x y
=+，则实数z的最小值为（）A．
2
2
B．25C．
1
2
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22
x y+的最小值，进而可得
出实数z 的最小值. 【详解】
作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的可行域如下图所示，
22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，
原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()
2
22
min
21
22x y
⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭
. 由于22
z x y =+，所以，min 12
z =
. 因此，实数z 的最小值为12
. 故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．若,x y 满足4,
20,24,
x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪+≥⎩
则4y x -的最大值为（ ）
A ．72
-
B ．52
-
C ．32
-
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】
该不等式组表示的平面区域，如下图所示
4
y x
-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.
不妨取84(,)33
B 时，4y x -取最大值
44
3183
-=- 故选：D 【点睛】
本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.
8．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.
【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】 【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
10．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心，则
11m n
+的最小值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】
圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，
由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，
则
1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n m
m n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab +≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
12．已知实数,x y满足线性约束条件
1
20
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪-+≥
⎩
，则
1
y
x
+
的取值范围为（）
A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]
【答案】B
【解析】
【分析】
作出可行域，
1
y
x
+
表示可行域内点(,)
P x y与定点(0,1)
Q-连线斜率，观察可行域可得最
小值．
【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），
1
y
x
+
表示可行域内点(,)
P x y与定点(0,1)
Q-连线斜率，(1,3)
A，
3(1)
4
10
QA
k
--
==
-
，过Q与直线0
x y
+=平行的直线斜率为－1，∴
14
PQ
k
-<≤．
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题
1
y
x
+
表
示动点(,)
P x y与定点(0,1)
Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
13．已知ABC V 外接圆的半径2R =
，且2
sin 2
A
A =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A
． B
．(4, C
．4+
D
．(4+
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
sin 2
A A =及倍角公式可得23A π=
，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】
由题意，2
2cos 112A A -=-
，即cos 1A A =-，可化为
33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23
A π
=
，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，
c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），
所
以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为2
2
2
12()b c bc b c bc =++=+-，所以
2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤
，则4a b c ++≤+b c a +>，所以
2a b c a ++>=
4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为
4+.
故选：C 【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
14．若变量x ，y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以
22max ()10x y +=，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
15．已知函数1()cos 2(2)sin 2
f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()
g m ，则()g m 的最小值为（ ）
A ．14-
B ．1
C ．3-
D 31
【答案】D
【解析】
【分析】
2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+
，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+
，结合12m ≤≤可得()2211
22(2)31144t m m m g m y m m m =-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+
，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222
m t m m -==-∈，所以 ()2211
22(2)31311131444t m m m g m y m m m m m
=-+-===+-≥⨯=，当且仅当
3
m =时，等号成立. 故选：D
【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞
； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；
故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
17．若两个正实数x ，y 满足
142x y +=，且不等式2m 4y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．(1,2)-
B ．(,2)(1,)-∞-+∞U
C ．()2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 【答案】D
【解析】
【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.
【详解】 若不等式24y x m m +<-有解，即2()4
min y m m x ->+即可， 142x y +=Q ，1212x y
∴+=， 则
121221112121124422482
y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当
28x y y x =，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y x +=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，
得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
18．已知正数x ，y 满足
144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9
B ．6
C ．94
D ．52
【答案】C
【解析】
【分析】 先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】
Q 正数x ，y 满足144x y
+=，
1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
19．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
20．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ） A ．{}
13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<< 【答案】C
【解析】
【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð.
【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.。