高三数学下学期第五次调研考试试题文试题

一中2021届高三数学下学期第五次调研考试试题 文
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
考试时间是是：120分钟；
考前须知：
在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息,请将答案正确填写上在答题卡上
第I 卷〔选择题〕
一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕
1.假设集合[1,2]A =，2
{|320}B x x x =-+=，那么A
B =〔 〕
A ．{1,2}
B ．[1,2]
C ．(1,2)
D ．φ 2.i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，那么z 的虚部是〔 〕 A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i
3.函数4()log f x x =的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.假设向量,a b 的夹角为3
π
，且||2a =，||1b =，那么向量2a b +与向量a 的夹角为〔 〕 A ． 6π B ．3π C. 23π D ．56
π
5.0a >，0b >，假设不等式313m
a b a b
+≥+恒成立，那么m 的最大值为〔 〕
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
6.1tan()42πα+=，且02
πα-<<，那么2
sin 22sin αα+等于〔 〕
A ．
B ．25-
C ．25
D
7.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，假设该三棱柱的所有顶
点都在同一球面上，那么该球的外表积为〔 〕 A ．48π B ．32π C ．12π D ．8π
8.设点P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左
右焦点，O 为中心，22
12||||||3PF PF OP b +=，那么此椭圆的离心率为〔 〕
A ．
12
B ．32 C. 22 D ．24
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔 〕
A ．
43 B ．83 C ．2
3
D ．4
10.()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．假设()12f =，那么
()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=〔 〕
A ．－50
B ． 0
C ．2
D ．50
11.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设45
cos ,cos ,13513
A C a =
==，那么b =〔 〕
A ．12
B ．42
C ．21
D ．63
12.设双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F 。

假设点P 在双曲线右支上，且12F PF ∆为锐角三角形，那么12||||PF PF +的取值范围〔 〕 A ．(3,8) B ．(3,8] C ．(27,8] D ．(27,8)
第II 卷〔非选择题〕
二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕
13.假设实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
那么2z x y =+的最大值是 ．
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均一样的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，假设红球有21个，那么黑球有___ ． 15.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ： 224x y +=相切的直线方程 ．
16.函数2()|log |1||f x x =-，()2f x =的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234k x x x x =+++，那么(1)f k += ．
三、解答题〔此题一共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分〕
17.假设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，22n n n S a a =+()n N *∈． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设0()n a n N *>∈，令1(+2)
n
n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． 〔Ⅰ〕求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
〔Ⅱ〕假设PB=2，求三棱锥P ACE -的体积．
19. 某医疗科研工程组对5只实验小白鼠体内的A ，B 两项指标数据进展搜集和分析、得到的数据如下表：
指标
1号
2号
3号
4号
5号
〔1〕假设通过数据分析，得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上
表，求B 项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； 〔2〕现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B 项指标数据高于3的概率
参考公式：1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑
ˆˆ=.a
y bx - 20.O 为坐标原点，点P 在抛物线2
:4C y x =上〔P 在第一象限〕，且P 到y 轴的间隔 是P
到抛物线焦点间隔 的
1
2。

〔1〕求点P 到x 轴的间隔 ；
〔2〕过点(0,1)的直线与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N ，且, QM QO QN QO λμ==。

求证：1
1
λ
μ
+
为定值。

21.〔本小题满分是12分〕
设函数()2x
f x e ax =--. 〔1〕求()f x 的单调区间;
〔2〕假设1a =，k 为整数，且当0x >时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3,
4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有一样的长度单位，曲线C
的极坐标方程为4sin ρθ=．
〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，且M 点的坐标为(3,4)，求||||MA MB ⋅的值． 23. 选修4-5：不等式选讲 函数()|1||2|f x x x =-+-. 〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；
〔2〕假设存在实数x 满足2
()7f x a a ≤-++，务实数a 的最大值.
一中第五次调研考试数学〔文〕试卷答案
第I 卷〔选择题〕
一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕
1.假设集合[1,2]A =，2
{|320}B x x x =-+=，那么A
B =〔 A 〕
A ．{1,2}
B ．[1,2]
C ．(1,2)
D ．φ 2.i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，那么z 的虚部是〔 A 〕 A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i
3.函数4()log f x x =的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( B ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.假设向量,a b 的夹角为3
π
，且||2a =，||1b =，那么向量2a b +与向量a 的夹角为〔 A 〕
A ． 6π
B ．3π C. 23π D ．56
π 5.0a >，0b >，假设不等式313m
a b a b
+≥+恒成立，那么m 的最大值为〔 B 〕
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
6.1tan()4
2
πα+=，且02
πα-<<，那么2sin 22sin αα+等于〔 B 〕
A ．
B ．25-
C ．25
D
7.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，假设该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为〔 C 〕 A ．48π B ．32π C ．12π D ．8π
8.设点P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左
右焦点，O 为中心，22
12||||||3PF PF OP b +=，那么此椭圆的离心率为〔 C 〕
A ．
1
2
B ．2 C. 2 D ．4
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔 C 〕
A ．
43 B ．83 C ．2
3
D ．4
10. ()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．假设()12f =，那么 ()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=〔 C 〕
A. －50
B. 0
C. 2
D. 50
11. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设45
cos ,cos ,13513
A C a =
==，那么b =〔 C 〕
A ．12
B ．42
C ．21
D ．63
12.设双曲线2
2
13
y x -=的左、
右焦点分别为1F 、2F 。

假设点P 在双曲线右支上，且12F PF 为锐角三角形，那么12||||PF PF +的取值范围〔 D 〕 A ．(3,8) B ．(3,8] C ．(27,8] D ．(27,8)
第II 卷〔非选择题〕
二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕
13.假设实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
那么2z x y =+的最大值是 2 ．
14. 口袋内装有一些除颜色不同之外其他均一样的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，假设红球有21个，那么黑球有 15 ． 15.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ：224x y +=相切的直线方程
或者
16.函数2()|log |1||f x x =-，()2f x =的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234k x x x x =+++，那么(1)f k += 2 ．
三、解答题〔此题一共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分〕
17.假设数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *
∈．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设0()n a n N *>∈，令1
(+2)
n
n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n
T ．
解：〔1〕1
(1)n n a -=-或者n a n =；〔2〕323
42(1)(2)
n n T n n +=
-
++． 解析：〔1〕当1n =时，2
1112S a a =+，那么11
a =
当2n ≥时，2211122
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-
， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或者11n n a a -=+
1(1)n n a -∴=-或者n a n
=
〔2〕由0n a >，n a n ∴=，1111()
(2)22
n b n n n n =
=-++
1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-
+++
18.如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2．E 是PB 的中点． 〔Ⅰ〕求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
〔Ⅱ〕假设PB=2，求三棱锥P ACE -的体积．
解：〔1〕
222PC ,ABCD AC PC AB=2AD=CD=1AC=2,,,,,ABCD AC BC AC BC AB AC BC BC PC C AC PBC AC EAC ⊥⊂∴⊥∴=∴+=∴⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥平面平面，，，，又平面平面平面EAC 平面PBC
〔2〕
11112222=
22326
P ACE P ACB V V --==⨯⨯
19. 某医疗科研工程组对5只实验小白鼠体内的A ，B 两项指标数据进展搜集和分析、得到的数据如下表： 指标 1号 小白鼠 2号 小白鼠 3号 小白鼠 4号 小白鼠 5号 小白鼠 A 5 7 6 9 8 B
2
2
3
4
4
〔1〕假设通过数据分析，得知A 项指标数据与B 项指标数据具有线性相关关系，试根据上
表，求B 项指标数据y 关于A 项指标数据x 的线性回归方程ˆˆy bx
a =+； 〔2〕现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B 项指标数据高于3的概率
参考公式：12
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑ ˆˆ=.a y bx - 解：〔1〕根据题意，计算1(57698)75x -
=⨯++++= 1(22344)35
y -=⨯++++=，
1122211()()51ˆ102
()n n
i i i i
i i n n i
i i i x x y y x y nxy b x x x x ====---====--∑∑∑∑ 1ˆˆˆ=2a y bx -=-，所以线性回归方程为11ˆ22y x =-。

〔2〕从这5只小白鼠中随机抽取三只，根本领件数为223,224,225,234,235,245，……，345
一共10种不同的取法，其中至少有一只B 项指标数据高于3的根本领件一共9种取法， 所以所求概率为910
p = 20.O 为坐标原点，点P 在抛物线2:4C y x =上〔P 在第一象限〕，且P 到y 轴的间隔 是P
到抛物线焦点间隔 的12。

〔1〕求点P 到x 轴的间隔 ；
〔2〕过点(0,1)的直线与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N ，且, QM QO QN QO λμ==。

求证：1
1
λμ+为定值。

解：〔Ⅰ〕因为抛物线y 2
=2px 经过点P 〔1，2〕，
所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．
由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，
设直线l 的方程为y =kx +1〔k ≠0〕．
由241
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或者0<k<1．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点〔1，-2〕．从而k ≠-3．
所以直线l 斜率的取值范围是〔-∞，-3〕∪〔-3，0〕∪〔0，1〕．
〔Ⅱ〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕．
由〔I 〕知12224k x x k
-+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=
+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121
N kx y x -+=+-． 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．
2212121212122
224112()111111=2111(1)(1)11
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以
11λμ+为定值．
21.〔本小题满分是12分〕
设函数()2x
f x e ax =--.
〔1〕求()f x 的单调区间;
〔2〕假设1a =，k 为整数，且当0x >时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值. 解：
〔Ⅰ〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞，'()x f x e a =-。

假设0a ≤，那么'()0f x >，所以()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；假设0a >，那么当(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <，当(ln ,)x a ∈+∞
时，'()0f x >，所以，()f x 在(,ln )a -∞内单调递减，在(ln ,)a +∞内单调递增。

(5)
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有一样的长度单位，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
〔2〕设曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，且M 点的坐标为(3,4)，求||||MA MB ⋅的值． 〔1〕解：l ：10x y -+=，C ：24sin ρρθ=，即224x y y +=
所以C 的普通方程是22(2)4x y +-=
〔2〕解：将直线方程化为参数方程l ：3()42x t y ==⎧⎪⎨⎪⎩为参数
带入C
的普通方程得：290t ++=，设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，那么129t t =，所以9MA MB ⋅=
23.函数()|1||2|f x x x =-+-.
〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；
〔2〕假设存在实数x 满足2()7f x a a ≤-++，务实数a 的最大值.
解：〔1〕()()()()2311+21
12232x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=--=<<⎨⎪-≥⎩
当1x ≤时，由233x -+≥，得0x ≤
当12x <<时，由13≥，得x ∈∅
当2x ≥时，由233x -≥，得3x ≥
所以不等式()3f x ≥的解集为{}03x x x ≤≥或
〔2〕()()1+2121x x x x --≥---=
∴依题意有271a a -++≥，即260a a --≤
解得23a -≤≤
故a 的最大值为3
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。