二次函数中三角形面积问题

典例分析
例题：如图二次函数
y 1 x2 4 x 4 33
与x轴交于点C，与y轴交于
点A，过点A作一条直线与x轴平行，与抛物线交于点B.
(1)求直线AC的解析式；
(2)连接BC，求ΔABC的面积.
SABC

1 2
AB • CD

1 2
44

8
典例分析
变式1： 若抛物线的顶点为B，求ΔABC的面积.
交y轴于点B。
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ； （是3否）存设在点一P点是y P抛，物使线S（△P在AB第＝一89标象S；△限C若A内B不）存，上在若的，存一请在个说，动明求点理出，由P点。的坐
C
B
D 1
A
铅垂高
h
C
O1 图1
Ax
B 水平宽 a 图2
巩固练习
A
(-1,0)
O
B (5,0) x
若不存在，请说明理由。
C
(0,-5)
. N1
.
D (2,-9)
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5).
点D(2,-9)是抛物线的顶点。
y
（2）在BC上方抛物线上是否存
.P
在一点P，使得S△PBC=6，若存在， A 求出点P的坐标，若不存在，说明 (-1,0) O
A O
(3,0)
B
2
x
（2）S△ PBC=__3_____
y
(1,4)
S S S △PBC= △PCM+ △PBM
1
1
2 PM • h1 2 PM • h2
E4 P
(0,3) C 3 h1
y=－x2+2x+3 G

1 2
PM
•
h1

h2

2
M
1 PM • OB 3 PM
2
2
(-1,0)
二次函数中 三角形面积问题
数学家眼里的二次函数： 数 ，图像
诗人眼里的二次函数： 优美而舒张的抛物线，犹如人生 的轨迹，年少时的努力攀升，力 争到达人生的巅峰，但岁月无情 的流逝，转而向下
难 同学们眼里的二次函数：
学习目标：
1、求二次函数几个特殊点的坐标； 2、在二次函数背景下，探究三角形面积
的求法。
解：
（1）设y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0)，
把B (5，﹣6)代入a(5+1)(5﹣6)=﹣6，a=1，
图1，过P向x轴作垂线 交AB与点D，交X轴于M 设P（m，m2﹣5m﹣6），有A （-1，0），B （5，﹣6）， 得YAB=-x-1 则D（m，﹣m﹣1） ∴PD= ﹣m﹣1- （ m2﹣5m﹣6）=-m2 +4m+5
巩固练习
D
∴S△ABP=（（ -m2 +4m+5 ）X6 = -3m2 +12m+15 ∴当m=2时S△ABP最大 当m=2时，S四边形PACB有最大值为48，这时 m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12， ∴P（2，﹣12），
巩固练习
S

水
平
宽 2
铅
锤
高
如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
B
x
y=－x+3
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5).
点D(2,-9)是抛物线的顶点。
y
（1）求△BCD的面积
SΔBCD = 15
A (-1,0) O
B (5,0) x
C
(0,-5)
.
D (2,-9)
巩固练习
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
SABC SOAB SOBC SOAC
典例分析
变式2
若点B是线段AC下方的抛物线上的动点，那么，ΔABC
的面积有最大值吗？如果有，请求出最大面积和此时
点B的坐标.
SABC SABD SCBD
F
C
1 BD • AE 1 BD • CF
2
2
1 BD(AE CF) 2
与y轴交于C点，顶点为P，
S = △ AOC ______________
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
S△ BOC=_______
2
1
(-1,0)
A O
B(3,0)
2
S△ COP=_______ S△ PAB=_______
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
S△ PCB=_______
B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5).
点D(2,-9)是抛物线的顶点。
y
（2）设M（a，b）（其中0<a<5）
是抛物线上的一个动点，试求 △BCM面积的最大值，
A
B
(-1,0) O N (5,0) x
及此时点M的坐标。
△BCM面积的最大值为 125 8
C
.M
(0,-5)
.
M（ 5 2
，-
35） 4
B
x
2
探究
y
（3）H为直线BC 上方在抛物线上的 动点(设点H的横坐
4
(0,3) C 3
H (m,－m2+2m+3)
标为m)，求
y=－x2+2x+3
△BCH面积的最大
2
值
SVBCH

1 2
HM • OB
= 3 HM 2
(-1,0)
A
1
(m,-m+3) M
O
2
ΔBCH面积的最大值为27 8
(3,0)
已知二次函数 y=x2-4x-5与x轴交于A（-1,0）、
B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,-5).
点D(2,-9)是抛物线的顶点。
y
（1）在抛物线上（除点C外） .N2
.N3
是否存1在动点N，使得
S =S S △△△NNNAAABBB==2 S△△A△BAABDBDC， 若存在，求出点N的坐标，
例题:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴
交于C点，顶点为P.
y
(1,4)
（1）求出点A、B、C、P的坐标 4 P
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
x
例 1: 已 知 抛 物 线 y= － x2+2x+3 与 x 轴 交
于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，
(1,4) D E4E P (0,3) C
3
2
S△ ACP=_______ 1
(-1,0)
A
FF
O
(3,0)
B
2
规律总结
1、观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积
交点三角形 顶点三角形
选择坐标轴上的边作为底边
规律总结
观察下列图形，指出如何求出阴影部分的面积
三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解
A
F
1
O h1
(3,0)
B
x
h22
（2）S△ PBC=__3_____
y
(1,4)
S S S △PBC= △PCM+ △PBM

1 2
PM
•
h1

1 2
PM
•
h2
4
P
(0,3) C 3

1 2
PM
•
h1

h2

2
M
1 PM • OB 3 PM
1
2
2
(-1,0)
A
O
y=－x2+2x+3
(3,0)
D
铅垂高
A
E
B
SABC

1 铅垂高 • 水平宽= 2
1 2
ah
水平宽a
例题:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于
A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴
交于C点，顶点为P.
y
(1,4)
（1）求出点A、B、C、P的坐标 4 P
(0,3) C 3
（2） S△ PBC=_______
2
1
(-1,0)
D (2,-9)
巩固练习
如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点 A(﹣1，0)，B(5，﹣6)，C(6，0)．
（1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线AB下方的抛物 线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
巩固练习
BQ (5,0) x
理由。
C
P1(- 1,0)、P2(6,7)
(0,-5)
.
D (2,-9)
学后反思
函数中动点 图形与面积
静态
以 静 代 动
动态
规则：用公式
转
化
（
割
补
不规则
法
）
规则 不规则
关 用含x的代数式表示 键 相关线段的长度