最新苏教版九年级数学上册 压轴解答题综合测试卷(word含答案)

最新苏教版九年级数学上册 压轴解答题综合测试卷（word 含答案）
一、压轴题
1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；
(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.
2．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；
（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
3．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
4．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝3
4
，OB＝8．
（1）求OA、AB的长；
（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜
t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．
①当t为何值时，点Q与点D重合？
②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
5．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于
点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3
4
，CF=8
3
．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）求图中两阴影部分面积的和．
7．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA
，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.
（1）①依题意补全图形.
②求证：∠OFC=∠ODC．
（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.
8．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
9．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．
（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；
②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值． 10．如图，一次函数1
22
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取
何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
11．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
12．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．
(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2)求⊙P 的半径；
(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；
(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．
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一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是3
2
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解； （3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解． 【详解】
解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ， ∴OA ＝OC ＝5，
∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）， ∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1）， ∴5＝
()()
22
0+10a a -+-，
∴a ＝3， ∴点B （3，4）， ∴点C （﹣3，﹣4）；
（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0）， ∴BC ＝10，AB ＝45 ，AC ＝25， ∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100， ∴BC 2＝AB 2+AC 2， ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ； （3）过定点， 理由如下：
∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ， ∴CO ＝DO ， 又∵CO ＝BO ， ∴DO ＝BO ＝CO ， ∴△BCD 是直角三角形， ∴∠BDC ＝90°，
如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，
∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°，
∴∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ， ∴CH ＝BH ，∠BHC ＝90°， ∵BC ＝10，
∴BH ＝CH ＝52，OH ＝OB ＝OC ＝5， 设点H （x ，y ）， ∵点H 在第四象限， ∴x ＜0，y ＞0，
∴x 2+y 2＝25，（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝50， ∴x ＝4，y ＝3， ∴点H （4，﹣3），
∴∠BDC 的角平分线DE 过定点H （4，3）． 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．(1)证明见解析；(2)213；(3) 23a 【解析】 【分析】
(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明； (2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到
AF BG
EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知
AF BG
EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积． 【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=
11
322
BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==， ∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ，
∴AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2，
∴BE=
2
3
BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5， 在Rt △AEG 中，()
2
22
2335213AE AG EG =
+=
+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知AF BG
EF EB =，CG=BG=1122
AC a =， ∴
3=2
AF BG EF EB =， ∴2211
3323
EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=1114
2233
a a a a ++=，
∴EM=
1
2EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=211
333
a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ，
∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+，
∵2AG a ==
，
∴25BF ==， ∴△OFB
的面积＝
211223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
4．（1）OA ＝6，AB ＝10；（2）
3011；（3）0<t≤1813或3011
<t≤5． 【解析】
【分析】 （1）在Rt △AOB 中，tan B ＝
34
，OB ＝8，即可求解； （2）利用△ACD ∽△ABO 、AD +OQ ＝OA ，即可求解； （3）分QC 与圆P 相切、QC ⊥OA 两种情况，求解即可．
【详解】
解：（1）在Rt △AOB 中，tan B ＝
34，OB ＝8， ∴34
OA OB = ，∴OA ＝6，则AB ＝10； （2）OP ＝AP ﹣t ，AC ＝2t ，
∵AC 是圆直径，∴∠CDA ＝90°，∴CD ∥OB ，
∴△ACD ∽△ABO ，∴
AC AD AB AO = ，即： 2,106t AD = ∴AD ＝65
t ， 当Q 与D 重合时，AD +OQ ＝OA ， ∴66,5t t += 30.11
t ∴= （3）当QC 与圆P 相切时，∠QAC ＝90°，
∵OQ ＝AP ＝t ，∴AQ ＝6﹣t ，AC ＝2t ，
∵∠A ＝∠A ，∠QCA ＝∠ABO ，
∴△AQC ∽△ABO ，∴,AQ AC AB AO = 即：62106t t -= ，18.13
t ∴= ∴当18013
t <≤时，圆P 与QC 只有一个交点， 当QC ⊥OA 时，D 、Q 重合，由（1）知： 30.11t =
∴30511
t <≤时，圆P 与线段QC 只有一个交点， 故：当圆P 与线段只有一个交点，t 的取值范围为：18013t <≤
或30511t <≤. 【点睛】
本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点，（3）是本题的难点，要注意分析QC 和圆及线段的位置关系分类求解．
5．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH 的长为3﹣1或3+1．
【解析】
【分析】
（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.
（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明.
（3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.
【详解】
解：（1）如图2，
在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，
∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ，
在△FAG 和△FBC 中，
,
FA FB
FAG FBC
AG BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FAG≌△FBC（SAS），
∴FG＝FC，
∵FE⊥AC，
∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；
（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，
∴FA＝FB，FA FB
=,
∴∠FCG＝∠FCB，
在△FCG和△FCB中，
,
CG CB
FCG FCB
FC FC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FCG≌△FCB（SAS），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，
∴
1
223
2
BC AB AC
===
，，
当点P在弦AB上方时，如图4，
在CA 上截取CG ＝CB ，连接PA ，PB ，PG ，
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴∠APB ＝90°，
∵∠PAB ＝45°，
∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，
∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，
在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PCG ≌△PCB （SAS ），
∴PG ＝PB ，
∴PA ＝PG ，
∵PH ⊥AC ，
∴AH ＝GH ，
∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ， ∴2322AH =+，
∴31AH =，
当点P 在弦AB 下方时，如图5， 在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG
∵∠ACB ＝90°，
∴AB 为⊙O 的直径，
∴∠APB ＝90°，
∵∠PAB ＝45°，
∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，
∴PA ＝PB ，
在△PAG 和△PBC 中，
,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PAG ≌△PBC （SAS ），
∴PG ＝PC ， ∵PH ⊥AC ，
∴CH ＝GH ，
∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ， ∴2322CH ，
=+ ∴31CH =-，
∴()
233131AH AC CH =-=--=+， 即：当∠PAB ＝45°时，AH 的长为31- 或3 1.+
【点睛】
考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
6．（1）OD=4, （2）证明过程见详解
（3）
5043
π- 【解析】
【分析】 （1）根据AB 与圆O 相切,在Rt △OBD 中运用tan ∠BOD=34
,即可求出OD 的长, （2）作辅助线证明四边形ADOG 是矩形,得DO ∥AC,sin ∠OCG=
35,在Rt△OCG 中,求出OG 的长等于半径即可解题,
（3）利用S 阴影=S Rt △BAC -S 正方形ADOG -
14S 圆O ,求出AC 长度即可解题. 【详解】
解：（1）∵AB 与圆O 相切,
∴OD ⊥AB,
在R t △OBD 中,BD=3,tan ∠BOD=
BD OD =34
, ∴OD=4,
（2）过点O 作OG 垂直AC 于点G ,
∵∠A=90°，AB与圆O相切,∴四边形ADOG是矩形,
∴DO∥AC,
∴∠BOD=∠OCG,
∵tan∠BOD=BD
OD
=
3
4
,
∴sin∠OCG=3 5 ,
∵CF=8
3
,OF=4,
∴OG=OGsin∠OCG=4=r,
∴AC是⊙O的切线
（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,
在R t△ABC中,tan∠C=3
4
,AB=4+3=7,
∴AC=
AB
tan C
∠
=
7
3
4
=
28
3
,
∴S
阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1
4
S圆O=2
1281
7444
234
π
⨯⨯-⨯-=
50
4
3
π
-
【点睛】
本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.
7．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=21
【解析】
【分析】
（1）①根据题意，补全图形即可；
②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC
=，利用等量代换可得AD CE
=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得
∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；
（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=1
2
OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC
的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，
OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.
【详解】
（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，
②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，
∴AD AC
=，
∵CE CA
=，
∴AD CE
=，
∴∠EOC=∠AOD，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴∠OFC+∠FOC=90°，
∴∠OFC=∠ODC.
（2）连接BF，作BG⊥l于G，
∵B是OA的中点，⊙O半径为4，
∴OB=1
2
OA=
1
2
OC=2，
∵OA⊥CD，
∴∠OCD=30°，22
OC OB
-22
42
-3∴CD=2BC=43
由（1）可知∠OFC=∠ODC，
∴FC=CD=3
∵BG⊥l，OC⊥l，
∴OC//BG，
∴∠CBG=∠OCD=30°，
∴CG=1
2
322
BC CG
-，
∴FG=FC+CG=53，
∴22
FG BG
+21
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
8．（1）10；（2）1056+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；
（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可；
②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110
y x =，若要击杀则有(215610010
a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．
【详解】
（1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；
（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．
由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，
可设2(10)6y m x =-+，
将（0，2）代入，可得：125m =-
， ∴21(10)625
y x =--+， 当0y =，得5610x =±(负值舍去)，
∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为1056+米；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(1056+，0)代入
(256
y a x k =-+，得100k a =-；
②不存在．
∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122
=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点， ∴扣杀路线在直线110
y x =上，
令(2110010a x a x --=，
整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
， 当0=时符合条件， 221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝
⎭，
解得1a =，2a =． 开口向下，0a ＜，
∴1a ，2a 都可以，
将1a ，2a 分别代入(2110010
a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
9．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2
【解析】
【分析】
（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；
②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】
解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，
用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，
11x ∴=-，23x =，
1m ∴=-，3n =，
(1,0)A ∴-，(0,3)B ，
把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，
解得11x =-，23x =，
∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，
1OA ∴=，3OC =，
∴对称轴为1312
x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，
∴
BC = BD ==DC ==
222CD DB CB =+，
BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，
∴112322
S BCD BD BC ==⨯⨯=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），
①在0≤x ≤3范围内，
当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；
②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，
令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．
2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，
21t = )；
或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =
4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，
令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．
综上，1t =-或2t =．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，
抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题． 10．(1) A （0，2），B(4，0)，2
722
y x x =-++；(2)当t=2时，MN 有最大值4；(3) D 点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
【解析】
【分析】 (1)首先求得A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)本问要点是求得线段MN 的表达式，这个表达式是关于t 的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN 的最大值；
(3)本问要点是明确D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，其中D 1、D 2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D 3点在第一象限是直线D 1N 和D 2M 的交点，利用直线解析式求得交点坐标即可．
【详解】
解：(1)∵122
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点， ∴A 、B 点的坐标为：A （0，2），B(4，0)， 将x=0，y=2代入2y x bx c =-++得c=2，
将x=4，y=0,代入2y x bx c =-++得b=
72， ∴抛物线解析式为：2722
y x x =-++； (2)如答图1所示，设MN 交x 轴于点E ，则E(t ，0)，则M(t ，122t -
)，
又N 点在抛物线上，且x N =t ，
∴2722
N y t t =-++， ∴()22271224=2422N M MN y y t t t t t t ⎛⎫=-=-++--=-+--+ ⎪⎝
⎭， ∴当t=2时，MN 有最大值4．
(3)由(2)可知A （0，2）、M(2，1)、N(2，5)，
以A 、M 、N 、D 为顶点做平行四边形，D 点的可能位置有三种情况，如答图2所示，
当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a-2|=4，解得a1=6，a2=-2，
从而D点坐标为（0，6）或D（0，-2），
当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
分别求出D1N的解析式为：
1
6
2
y x
=-+，
D2M的解析式为：
3
2
2
y x
=-，
联立两个方程得：D3（4，4），
故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222
-或222
x
<<.
【解析】
【分析】
()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
()2通过画图分析可得，当190
∠=时，符合()1中条件的点C有2个，当160
∠=时，符合()1中条件的点C有2个；
()3分三种情形讨论求解即可．
【详解】
解：()1如图1中，点1C，2C，3C，4C即为所求．
()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，
当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：
故答案为2，2． ()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．
②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，
1OP N 是等腰直角三角形，
1ON 2NP 22∴==，
OM ON MN 222∴=-=，此时有3个P 点．
③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，
如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，
如图35
-中，当M与OB相切时，只有2个P点．
此时OM22
=，
综上所述，当2x22
<<3个P点．
∴满足条件的x的值为0或222或2x22
<<
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．(1)点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)；抛物线的对称
轴为直线x＝1；(2)⊙P5；(3)1＜y＜2；(4)3﹣32
2
．
【解析】
【分析】
(1)分别代入y＝0、x＝0求出与之对应的x、y的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；
(2)连接CP、BP，在Rt△BOC中利用勾股定理可求出BC的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP的值即可；(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，利用勾股定理可求出y值，进而可得出：当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；
(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，根据旋转的性质可找出点C′的坐标及∠AC′O′＝45°，进而可找出线段C′O′所在直线的解析式，由点E在CO上可得出点F在C′O′上，过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F 为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF
的长即可.
【详解】
(1)当y＝0时，﹣(x+1)(x﹣3)＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为(﹣1，0)，点A的坐标为(3，0)；
当x＝0时，y＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，
∴点C的坐标为(0，3)；
∵抛物线与x轴交于点(﹣1，0)、(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
(2)连接CP、BP，如图1所示，
在Rt△BOC中，BC=
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，
∴CP＝BP
∴⊙P
(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，
∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，
整理，得：y2﹣3y+2＝0，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；
(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．
∵AC=ACO＝45°，
∴点C′的坐标为(3﹣，0)，∠AC′O′＝45°，
∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣
∵点E在线段CO上，
∴点F在线段C′O′上．
过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，
∵△OC′F为等腰直角三角形，
∴OF OC′3)＝3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 、C 的坐标；(2)利用圆周角定理找出∠BPC ＝90°；(3)利用极限值法求出点D 纵坐标；(4)利用点到直线之间垂直线段最短确定点F 的位置．。