控制工程基础课件第二章

➢ 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。
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第二章 数学模型
➢ 线性化的提出
线性系统是有条件存在的，只在一定的工作 范围内具有线性特性；
非线性系统的分析和综合是非常复杂的；
对于实际系统而言，在一定条件下，采用线 性化模型近似代替非线性模型进行处理，能 够满足实际需要。
J TC(t)
柔性轴 齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
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第二章 数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
o (t)
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第二章 数学模型
✓ 液体系统
节流阀
设液体不可压缩，
通过节流阀的液流
qi(t)
是湍流。
A
dH (t) dt
qi (t)
qo (t)
qo (t) H (t)
A：箱体截面积；
H(t)
节流阀
液位系统
qo(t)
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第二章 数学模型
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
R
dt
即：
RC
duo (t) dt
ui
(t)
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第二章 数学模型
➢ 小结
✓ 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。
✓ 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础；
➢ 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程；
➢ 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程；
➢ 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排
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第二章 数学模型
控制系统微分方程的列写 ➢ 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
真实特性
饱和非线性 out
out
0
in
死区非线性 out
0
in
0
in
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间隙非线性
Ko (t)
Ki
(t)
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第二章 数学模型
➢ 电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
✓ 电阻
i(t)
R
u(t) u(t) Ri(t)
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第二章 数学模型
✓ 电容
i(t)
C
u(t)
✓ 电感 i(t) L
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u(t)
u(t)
1 C
i(t)dt
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第二章 数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
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1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
dH dH
(H H0
H
0
)
1 2!
d2 dH
H
2
(H H0
H0)2
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第二章 数学模型
则：
H
由于：
H0
d H dH
(H H0
H0)
H0
2
1 H0
H
A
d dt
(H0
H
)
H0
2
1 H0
H qi0 qi
注意到：
d dt
(H0
H )
d dt
H
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第二章 数学模型
uo
(t)
uo
(t)
ui
(t)
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微 分方程。
若L=0，则系统简化为：
R
C
d dt
uo
(t
)
uo
(t
)
ui
(t
)
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第二章 数学模型
有源电网络 i2(t)
ui(t) i1(t)
C
a
uo(t)
R
+
iu1a(t()t
)0 i2 (t
)
ui (t) C duo (t)
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第二章 数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
第二章 数学模型
第二章 数学模型
○、数学模型的基本概念 一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化
三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数 五、系统方框图和信号流图 六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
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第二章 数学模型
○、数学模型的基本概念
数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
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第二章 数学模型 弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
K
C
弹簧-阻尼系统
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fi (t) fC (t) fK (t)
C
d dt
xo (t)
Kxo (t)
fi (t)
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
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第二章 数学模型 机械旋转系统
i(t) 0
o(t) 0
TK(t)
K
fi(t)
fi(t)
m
m
fm(t) 静止（平衡）工作点作为
0
0
零点，以消除重力的影响
xo(t)
xo(t)
d2
K
C
fK(t) fC(t)
fi (t) fC (t) fK (t) fK (t) Kxo (t)
m
dt 2
xo (t)
机械平移系统及其力学模型
fC
(t)
C
d dt
xo
(t)
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消除中间变量，得到以增量表示的线性化微 分方程；
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第二章 数学模型
➢ 实例：液位系统的线性化
A d H (t)
dt
H (t) qi (t)
节流阀
解：稳态时：
qi(t)
qi0 qo0, H0 qi0
非线性项 H(t) 的泰勒展开为：
H(t)
节流阀
液位系统 qo(t)
H
H0
✓ 齐次性： f ( x) f (x)
或： f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
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第二章 数学模型
非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。
实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性 系统简化为线性系统处理。
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
x(t)
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第二章 数学模型
✓ 弹簧
x1(t)
x2(t)
v1(t)
v2(t)
fK(t)
K
fK(t)
fK (t) Kx1(t) x2 (t) Kx(t)
K
t
v1
(t
)
v2
(t
)dt
A d H (t)
dt
H (t) qi (t)
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
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第二章 数学模型
线性系统微分方程的一般形式
dn dt n
xo (t) a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
b0
dm dt m
所以：
d H (t)
dt
A2
1 H0
H (t)
1 A
qi
(t
)
实际使用中，常略去增量符号而写成：
d H (t)
dt
A2
1 H0
H (t)
1 A
qi
(t
)
此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。
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第二章 数学模型 线性化处理的注意事项 ➢ 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关；
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第二章 数学模型
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时
应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
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第二章 数学模型
数学模型的形式 ➢ 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差
分方程、状态方程 ➢ 复数域：传递函数、结构图 ➢ 频率域：频率特性
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第二章 数学模型 一、控制系统的运动微分方程
建立数学模型的一般步骤
➢ 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量；
➢ 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围；
➢ 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不
能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对
系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作
为非线性问题处理。
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第二章 数学模型
近似特 out 性曲线
0
in
x1 x10 x2 x20
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第二章 数学模型
➢ 滑动线性化——切线法
线性化增量增量方 程为：
y y' =xtg
切线法是泰勒级数 法的特例。
y=f(x)
y0
A
x
y y’
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0
x0
x
非线性关系线性化
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第二章 数学模型
系统线性化微分方程的建立 ➢ 步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在19
第二章 数学模型
✓ 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。
✓ 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。
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第二章 数学模型
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移 到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统 就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点， 这时，系统所有的初始条件均为零。
对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程。
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第二章 数学模型
xi
(t)
b1
d m1 dt m1
xi (t)
bm1
d dt
xi (t) bm xi (t)
式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm为由 系统结构参数决定的实常数，m≤n。
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第二章 数学模型
二、非线性数学模型的线性化
线性化问题的提出 ➢ 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。
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第二章 数学模型
d2
d
m dt2 xo (t) C dt xo (t) Kxo (t) fi (t)
式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数， 而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、 弹簧）的数量。
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x
x0
(
x
x0
)3
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第二章 数学模型
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中： K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量
方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
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u(t) L di(t) dt
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第二章 数学模型
R-L-C无源电路网络
L
R
ui(t)
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
ui
(t)
Ri
(t)
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
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第二章 数学模型
LC
d2 dt 2
uo (t)
RC
d dt
f
f
y
f (x10, x20 ) x1
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2
x1 x10 x2 x20
x20 )
增量方程： y y0 y K1x1 K2x2 静态方程： y0 f (x10 , x20 )
其中：
f
K , 1
x1
x1 x10 x2 x20
f
K 2
x2
t
K v(t)dt
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第二章 数学模型
✓ 阻尼
v1(t)
v2(t)
x1(t)
x2(t)