人教版数学a版高一必修1(45分钟课时作业与单元测试卷)：模块综合检测

模块综合检测
时间：120分钟
分值：150分
一、选择题：本大题共12题，每
题
5分，共60分．在以下各题的四个选项中，只有一个选项
是切合
题目要求的．
1．已知会合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于()
A．(0,1)B．(0,2]
C．(1,2)D．(1,2]
答案：D
分析：A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝
{x|x≤2}
所以A∩B＝{x|1<x≤2}
2．假如幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，3)，则f(8)的值等于()
3
2A.2B.4
3C.4D.2
答案：B
311
2
α
＝82＝
分析：由3＝得α＝－，故f(8)
4.
32
3．函数y＝lgx＋1的定义域是() x－1
．(－1，＋∞)
．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)答案：C
x＋1>0
解得x>－1且x≠1.
分析：要使函数存心义，需
x－1≠1，
∴函数定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
2e x－1，x＜2，
4．设f(x)＝
log3x2－1，x≥2，
)则f[f(2)]的值为()
A．0 B．1
C．2D．3
答案：C
分析：f[f(2)]＝f(1)＝2，应选C.
5．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是()
A．[0,12]B．[－1，12]
4
C．[－1，12]D．[3，12]
24
答案：B
分析：画出函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的图象，由图象得值
域是[－1，12]，应选B.
4
6．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，
)
的全部零点之和为(
lgx－1，x＞0
A．7B．5
C．4D．3
答案：A
分析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令lgx－1＝0解得x＝10，所以已知函数全部零点之和为－3＋10＝7.
7．三个数20.3,2，log2的大小次序是( )
．log2＜2＜2
．2＜2＜log2
．log2＞2＞2
．2＞2＞log2
答案：D
分析：∵2＞20＝1,0＜2＜1，log2＜log2＜log1＝0，∴2＞2＞log2.
2＋a)是奇函数，则实数a等于()
8．函数f(x)＝lg(1－x
A．－3B．－1
C．1D．－1或1
答案：B
2
∴分析：(法一)f(－x)＝lg( ＋a)＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，即lg[(2＋a)(2＋a)]＝0，
1＋x1－x
a＝－1.
(法二)由f(0)＝0得a＝－1.
9．某种生物的生殖数
目y(只)与时间x(年)之间的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这类生物第一年
有100只，
则第7年它们发展到()
A．300只B．400只
C．500只D．600只
答案：A
分析：由题意得100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，∴第7年时，y＝100log2(7＋1)＝300. 10．函数f(x)＝x(x2－1)的大概图象是( )
答案：A
分析：∵f(－x)＝(－x)[(－x)2－1]＝－x(x2－1)＝－f(x) y＝x(x2－1)为奇函数，清除C、D.又0<x<1时，y<0.应选A.
11．已知f(x)是R上的偶函数，且知足
f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x＋1，则f(3)等于()
A．2B．－2
C．1D．－1
答案：A
分析：由条件知f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)．又由于f(－1)＝f(1)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x＋1，所以f(1)＝2.
所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2.
a x x＜1，知足对随意x12fx1－fx2＜0建立，则a的取值范围是
12．函数f(x)＝≠x，都有12
a－3x＋4ax≥1x－x
()
33
A．(0，4)B．(0，4]
C．(0,1)D．[3，＋∞)
答案：B
分析：由题意知f(x)在R上是减函数，∴
33 0＜a＜1，又a－3＋4a≤a,4a≤3，a≤，∴0＜a≤.
44
二、填空题：本大题
共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线
上．
13．已知函数f(x)对随意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)等于________．
答案：－2
分析：由题意得f(0)＝f(0)＋f(0)
f(0)＝0.
f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0
∴f(x)为奇函数．
f(2)＝f(1)＋f(1)＝4
f(1)＝2，则f(－1)＝－2.
14．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值是________．
答案：2
分析：∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2，又函数f(x)值域[0,1]，∴a>1，∴f(1)＝loga(1＋1)＝1，∴a＝2.
a，a≤b
15．关于随意实数a、b，定义min{a，b}＝.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝
log2x，则函数h(x)b，a＞b
min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
答案：1
log2x0＜x≤2
分析：依题意，h(x)＝，联合图象，易知h(x)的最大值为1.
－x＋3x＞2
16．已知y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝lg32＋log416＋6lg1＋lg1，若g(x)＝f(x)＋1，则g(－2)＝
________.
25
答案：6
分析：f(2)＝lg32＋log416＋6lg 11
＋2－6lg2－lg5＝2－(lg2＋lg5)＝2－1＝1，2
＋lg＝5lg2
5
由于y＝f(x)＋x是偶函数，所
以f(－x)－x＝f(x)＋x，所以f(－x)＝f(x)＋2x，
所以g(－2)＝f(－2)＋1＝f(2)＋2×2
＋1＝6.
三、解答题：本大题共6小题，
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)求以下各式的
值：
1
3×－70＋8×42＋(32×3)6－；
6
(2)2l og 32－
log
32
8－5
2l
og3
.
3
9
＋
log35
2
11111
2
21
解：(1)原式
＝3×1＋(23)4×24＋(23)6×(32)6－[3]2
13
11
3
2 33＋(23×2)4＋22×33－2
3
3
2＋4×27＝110.
(2)原式＝2log32－(log325－log332)＋log323－5log59
2log32－5log32＋2log33＋3log32－9
2－9＝－7.
18．(12分)已知会合A＝{x|x2＋ax－6＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－2,3}，A∩B ＝{－
2}，求a，b，c的值．
解：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，
将－2代入方程：x2＋ax－6＝0中，得a＝－1，进而A＝{－2,3}．
将－2代入方程x2＋bx＋c＝0，得2b－c＝4.
A∪B＝{－2,3}，∴A∪B＝A，∴B?A.
A≠B，∴B＝{－2}．
∴方程x2＋bx＋c＝0的鉴别式＝b2－4c＝0，
2b－c＝4，①
∴
b2－4c＝0，②
由①得c＝2b－4，代入②整理得：(b－4)2＝0，
∴b＝4，c＝4.
19．(12分)函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最大值．
解：要使函数y＝lg(3－4x＋x2)存心义，需
3－4x＋x2＞0，解得x＜1或x＞3.设t＝2x，则0＜t＜2或t
＞8，f(x)＝g(t)＝4t－3t2(0＜t＜2或t＞8)．而g(t)
＝4t－3t2＝－3(t－2)2＋4，所以当0＜t＜2，t＝2时，g(t)取
333
最大
值4.当t＞8时，g(t)是减函数，所
以
g(t)＜g(8)＝－160.总之，t
＝
2时，g(t)最大
为4，即f(x)＝2x＋2－3×4x
333
的最大值
为4
3.
20．(12分)某商铺将进货价每个 10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个．商铺经理到市场
上做了一番检查后发现，若将这类商品的售价(在每个18元的基础上)每提升1元，则日销售量就减少5个；
若将这类商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售就增添10个．为了每天获取最大收益，
此商品的售价应定为每个多少元？
解：设此商品每个售价为 x元时，每天收益为y元．
18≤x<30时，有y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500.
即在商品抬价时，当x＝20时，每天收益y最大，最大收益
是500元．
10<x<18时，有y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，
即在商品降价时，当x＝17时，每天收益y最大，最大收益
是490元．
由于500>490，所以此商品的售价应定为每
个20元．
1
21．(12分)已知函数f(x)＝alog2x－blog3x，此中常数a，b知足ab≠0.
(1)若a＞0，b＞0，证明函数f(x)在定义域内为增函数；
(2)若a＝ln(m2＋2m＋3)，b＝ln10，解不等式f(3x－1)≤f(x＋3)．
1
解：f(x)＝alog2x－blog
3x＝alog2x＋blog3x，其定义域为(0，＋∞)．
(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝alog2x1＋blog3x1－(alog2x2＋blog3x2)＝a(log2x1－log2x2)＋b(log3x1－log3x2)． 0＜x1＜x2且y ＝log2x 和y ＝log3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 2x1＜log2x2，log3x1＜log3x2， 当a ＞0，b ＞0时，a(log2x1－log2x2)＜0，b(log3x1－log3x2)＜0， ∴f(x 1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数． (2)∵a＝ln(m 2
＋2m ＋3)＝ln[(m ＋1)2
＋2]≥ln2＞ln1＝0，b ＝ln10＞ln1＝0， ∴由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
3x －1＞0，
∴1
＜x≤2，
∴f(3x－1)≤f(x＋3)?
x ＋3＞0，
3x －1≤x＋3，
3
∴原不等式的解集为 {x|1
＜x≤2}．
3
22．(12分)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时知足以下三个条件： ①对随意的 x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
f(1)＝1；
③当x1，x2∈[0,1]，且x1＋x2∈[0,1]
时，f(x1
＋x2)≥f(x 1)＋f(x2)建立．
称这样的函数为“友情函数”． 请解答以下各题：
(1
) 已知f(x)为“友情函数”，求f(0)的值；
(2)
函数g(x)＝2x
－1在区间[0,1]上能否为“友情函数”？请给出原因；
(3) 已知f(x)为“友情函数”，假定存在
x0∈ [0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：
f(x0)＝x0.
则 解：(1)令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0,1]． 则 由③，得 f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0. 则 又由①，得
f(0)≥0，所以f(0)＝0.
则 (2)g(x)＝2x
－1是友情函数．
则
任取x1，x2∈[0,1]，x1＋x2∈[0,1]，有2x1≥1,2x 2≥1. 则
(2x1－1)(2x2－1)≥0.
g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)．又g(1)＝1，
故g(x)在[0,1]上为友情函数．
(3)证明：取0≤x1<x2≤1，则0<x2－x1≤1.所以，f(x2)≥f(x1)＋f(x2－x1)≥f(x1)．假定f(x0)≠x0，
f(x0)>x0，则f[f(x0)]≥f(x0)>x0.
f(x0)<x0，则f[f(x0)]≤f(x0)<x0.
都与题设矛盾，所以f(x0)＝x0.。