四年级下册数学思维训练：图形的计数(解析版)全国通用

备课说明：
1、本讲共6道例题，前4道例题（用时1小时）分别介绍了数线段、角、三角形、正方形和长方形的基本方法.其中数线段（例1）的方法及计数公式是基础，应重点讲解；接着例2与例3可尝试着让学生先思考，看看学生能否举一反三；例4学生做题是可能较多采用枚举法，因此先让学生做教师再进行讲解，学生能更好的体会到乘法原理的简便性.例5、例6（1小时）为图形计数提高题，例5图形较为复杂，这时怎么合理分类，再进行计数就显得至关重要，学生的分类方法可能多种多样，只要合理都应给予肯定，并给一些时间，鼓励学生根据自己的思路来解题；例6数含有五角星的正方形，仍可用乘法原理解决问题.
2、重点：熟练掌握线段、角的计数公式；能够根据图形特点，利用加法原理与乘法原理合
理分类计数.
难点：根据图形特点，合理分类计数.
数线段与数图形实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题.在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和.在用枚举法计数时，要对计数对象合理地进行分类，并要按次序地数，只有这样，才能保证计数时既不重复，又不遗漏.
把一条线段分成几段小线段，我们把这些小线段称为基本线段，线段计数都是由这些基本线段组成，即1)3()2()1(++-+-+-+ n n n n .数线段也可以按照点来计算，如果一条线段上有m 个点，根据这些点可以运用2)1(÷-⨯m m 进行计算.
要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：
✓ 弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；
✓ 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和
是多少；
✓ 有些图形被分成几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出包含图形的个数，
再求各部分的总和.
数一数，下面的图形中各有几条线段？
F E D C B A
解析：①对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数.
（1） 以A 为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，共5条；
（2） 以B 为左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 共4条；
（3） 以C 为左端点的线段有：CD 、CE 、CF 共3条；
（4） 以D 为左端点的线段有：DE 、DF 共2条；
（5） 以F 为左端点的线段只有：EF 共1条.
所以不同的线段共有：152
5)15(12345=⨯+=++++（条） ②每条线段上有62
313123=⨯+=++）（（条），共有5条这样的线段，所以不同的线段共有：3056=⨯（条）
小结：一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为：2
)1(21+=+++n n n 条. 在一线段上任取21个点（包括两端点），则一共有多少条线段？
解：方法一：21个点构成20条基本线段，因此一共有线段：
=++++1181920 210220120=÷⨯+）（（条）；
方法二：21个点共有线段：21022021=÷⨯（条）
数一数下图共有多少条线段.
解：
273123123=⨯++⨯++）（）（（条）.
某地区有66条航空线，每两个城市之间都有一条直达的航空线，这66条航空线共连接这个地区的________个城市.
解析：方法一：这是数线段，城市相当于点，而6611321=+++ ，所以有12个城市. 方法二：设这66条航线共连接这个地区的n 个城市，则662)1(=÷-⨯n n ，解得
12=n .
下图中有多少个小于︒90的角？ O G F E D C B
A
解析： 按照数线段的方法，有=
+++++123456212
661=⨯+）（（个） 小结：两条共端点的射线确定一个角（大于︒0、小于︒180），假设由某点引出n 个互不重
叠的角（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 个互不重叠的角可以确定的角（大于
︒0、小于︒180）的个数为2)1(+n n 个.
数一数，下面图形中一共有几个角？（不包括平角）
解：在
中有152515=⨯+）（（个）角， 在
中有2个角， 在中有1个角，
综上一共有2521242
515=⨯+⨯+⨯+）（（个）角. 下图中有多少个三角形？
C B A
D B A C C B A
解析：第一个图中所有三角形必须都含有顶点A ，且必有一条边在BC 上，所以三角形的个数应该等于BC 边上的线段数.
第二、三个图可以分为两步来计算个数.
第一步包含顶点A 的三角形；第二步不包含顶点A 的三角形，必然包含顶点B .
1）152
551=⨯+）（（个） 2）35522
515=+⨯⨯+）（（个） 3）（个））（（个），）（3052
3136042515=⨯⨯+=⨯⨯+，所以三角形共有903060=+（个） 下图中有多少个三角形？
解：1）3032
414=⨯⨯+）（（个） 2）21332
313=+⨯⨯+）（（个） 数一数，下列图形中有多少个正方形？
解析：上图中，边长是1个单位长度的正方形的个数有8×5=40，边长是2个单位长度的正方形的个数有7×4=28，边长是3个单位长度的正方形的个数有6×3=18，边长是4个单位长度的正方形的个数有5×2=10，边长是5个单位长度的正方形的个数有4×1=4. 综上，上述图形中含有正方形的个数为：
1001425364758=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）.
小结：一般地，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（m n ≥，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数量为：
.1)1()2)(2()1)(1(⨯+-++--+--+m n m n m n mn
数一数下面三个图中各有多少个长方形？
A B C D A B C D D C B A 解析：（1）在第一个图中，AB 边上有102
414=⨯+）（（条）线段，这10条线段中的每一条，都可与线段AD 对应，唯一确定一个长方形，所以第一个图中共有10110=⨯（个）长方形；
（2）与第一个图不同的是，在AD 上增加了一个分点，这样在AD 边上就有312=+（条）线段，这3条线段分别与AB 边上不同的线段构成长方形，所以第二个图中有30310=⨯（个）长方形；
（3）同上，AD 边上有62
313=⨯+）（（条）线段，所以共有60610=⨯（个）长方形. 小结：网格状图形中，长方形的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积.
下图是55⨯的方格纸，小方格为边长1厘米的正方形，图中共有______个正
方形，所有这些正方形的面积之和为_________平方厘米.
解：图中共有正方形 5514916251122334455=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）； 这些正方形的面积之和为
)(259)55(1)44(4)33(9)22(16)11(252cm =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.
数一数下图中有多少个长方形？
解：9025512331=⨯+⨯⨯+）（）（（个） 数一数，下图中有多少个正方形？
解：先算出长方形ABCD 中正方形的个数，再还原成原图，算出接上长方形DEFG 后新生出的正方形的个数，然后将两部分的正方形相加即可.
第一部分：90172839410=⨯+⨯+⨯+⨯（个）
第二部分：202222324=+⨯+⨯+⨯（个）
综上所述，共有1102090=+（个）.
数一数，下图中有多少个正方形？（中环杯，第五届决赛）
解析：设最小正方形的边长为1，则边长为1的正方形有 122224=⨯+⨯（个）
边长为2的正方形有 523=+（个）
综上，一共有正方形 17512=+（个）
数一数下图中有多少个正方形包含“☆”号，又有多少个长方形包含“☆”号？
解析：（1）我们把最短的一条线段看作基本线段，那么边长为1且包含“☆”号的正方形
有1个，边长为2且包含“☆”号的正方形有4个，边长为3且包含“☆”号的正方形有2个.
所以上述图形中包含 “☆”号的正方形有：7241=++（个）.
（2）方法一：
第1类：由1个小正方形组成的含有 “☆”号的长方形共有1个；
第2类：由2个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；
第3类：由3个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有3个；
第4类：由4个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有5个；
第5类：由6个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有6个；
第6类：由8个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个；
第7类：由9个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个； 第8类：由12个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有1个；
所以上述图形中包含“☆”号的长方形共有：
2412265341=+++++++（个）；
方法二：长方形有4条边，每一条边可以在不同边上选，所以包含“☆”号的长方形
共有 243222=⨯⨯⨯（个）.
【备用】
图2-1中有_______个角（不包括平角），_______个三角形；图2-2中有_______个三角形.
图2-1 图2-2
解：21个角；12个三角形；15个三角形.
下图中有______个正方形.
解：38516273=⨯+⨯+⨯（个）.
图4-1中有______个长方形；图4-2中有______个长方形（新知杯，第一届2试）.
图4-1 图4-2
（1）解：150)12345()1234(=++++⨯+++（个）
（2）解：如下图所示：
如图一所示，33⨯的正方形格子中有36)123)123=++⨯++（（（个）长方形； 如图二所示，分别包含A 、B 的长方形各有4个；
如图三所示，分别包含C 、D 的长方形各有5个，同时包含C 、D 的长方形有1个； 所以图中有 531554436=-++++（个）长方形.
下图中有很多长方形，其中有_________个长方形包含阴影部分.（一个或两个都算）
解：522222433322=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯（个）. 数一数，下面图形中一共有几个长方形？
解析：可以将原图形拆成两个图形（如下图所示）
分别数出上面两个图形的长方形个数，再将它还原成原图，数出新生出的长方形个数，（如图中的阴影部分）.
最后用拆分成的两个图形中的长方形的总数量减去重复数的长方形（如图中含有字母的部分），再加上新生出的长方形的个数.
12021231234=⨯++⨯+++）（）（（个）
重复数的长方形个数：321=+（个）
新生出的长方形个数：16222122=++⨯+⨯
）（）（（个） 综上所述，图中长方形的总个数是：133163120=+-（个）.
6、下图中包含“☆”号的长方形一共有几个？（有一个或有两个“☆”号都可以）
解析：方法一：分九类数，然后相加.
第1类：由1个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个；
第2类：由2个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有8个；
第3类：由3个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有8个；
第4类：由4个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有11个；
第5类：由6个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有12个；
第6类：由8个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有6个；
第7类：由9个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；
第8类：由12个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；
第9类：由16个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有1个.
所以上述图形中包含“☆”号的长方形一共有：
5614461211882=++++++++（个）.
方法二：先按照例6方法2算出分别包含一个“☆”的长方形数量，最后再减去重复的数. 56163636222233223322=-+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯（个）
7、a 、b 两条直线上分别有4个点和5个点(如图) 用这9个点作为顶点共可组成_____个不同的四边形，_____个不同的三角形.
（走美杯，第四届决赛）
解析：可以组成四边形 60)123()1234(=++⨯+++（个）；
可以组成三角形 705)123(4)1234(=⨯+++⨯+++（个）.。