含参数导数问题分类讨论

含参数导数的解题策略
导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。

而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出
()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转
化为函数求最值．
例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围.
二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略
求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．
例2.已知a 是实数，函数))(2
a x x
x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值．
三、导函数为0是否存在，分类讨论策略
求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．
例3、已知函数2
()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性．
四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略
求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．
例4、已知0>m ，讨论函数x
e m x m mx x
f 6
3)1(3)(2++++=的单调性．
练习
求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的
实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根
也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

三、
1．08广东（理） 设k R ∈
，函数1
,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ⎧<⎪
-==-∈⎨⎪≥⎩
，
试讨论函数()F x 的单调性。

2． (08浙江理)已知a 是实数，函数(
))f x x a =-
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。

（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。

3（07天津理）已知函数()()22
211
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

4（07高考山东理改编）设函数()()2
ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值
点。

含参数导数的解题策略
例1、解：（Ⅰ）略． （Ⅱ）∵ 对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ， ∴ 对所有1≥x 都有1ln -≥ax x x ，即.1
ln x
x a +≤ 记),0(,1
ln )(>+
=x x x x g 只需 .)(min x g a ≤ 令,01
1)('2=-=x x x g 解得.1=x
.100)(',10)('<<⇔<>⇔>x x g x x g
∴ 当1=x 时，)(x g 取最小值.1)1(=g ∴ .1≤a 即a 的取值范围是{}
.1≤a a 例2. 解：（I ）略．
（II ）令'()0f x =，解得1220,3
a
x x ==． 当
203a
≤，即0≤a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223
a ≥时，即3≥a 时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==．
当2023a <
<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，从而 max
84,0 2.
0,2 3.
a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 综上所述，max
84, 2.0, 2.
a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 例3、 解：由已知得22()21,(0)a x x a
f x x x x x
-+'=-+=
>， （1）当180a ∆=-≤，1
8a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上为增函数． （2）当180a ∆=->，1
8
a <时，
1)1
08
a <<
时，
11022->>，()f x
在11[22+
上为减函数，()f x 在)+∞上为增函数，
2）当0a <0<，故()f x 在1[0,
2
上为减函数，
()f x 在，＋∞）上为增函数． 综上，当1
8
a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上为增函数．
当1
08
a <<
时，()f x 在上为减函数，
()f x 在11(0,],[)22
-++∞上为增函数，
当0<a 时，()f x 在（0，
上为减函数，()f x 在[， ＋∞）上为增函数．
例4、解：x
e
x m mx x f 3)3()(2-+--='，设3)3()(2-+--=x m mx x g ，令0)(=x g ，得m
x 3
1-
=，12-=x ． 1)当30<<m 时，21x x <，在区间)3
,(m
--∞，),1(+∞-上0)(<x g ，即0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)3
,(m
-
-∞，),1(+∞-上是减函数； 在区间)13(--
，m ，0)(>x g ，即0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)13
(--，m
上是增函数；
2）当3=m 时，21x x =,在区间)1,(--∞，),1(+∞-上0)(<x g ，即0)(<'x f ，又)(x f 在1=x 处连续，所以)(x f 在区间),(+∞-∞上是减函数；
3）当3>m 时，21x x >,在区间)1,(--∞，)3
(∞+-，m
上0)(<x g ，即0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)1,(--∞，)3(∞+-
，m
上是减函数； 在区间)31(m --，上，0)(>x g ，即0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)31(m
--，上是增函数．
练习
1．
解：()(
)2
2
11,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ⎧--<⎪⎧-<-⎪⎪-=-==⎨⎨⎪⎪≥⎩>⎪⎩。

考虑导函数'()0F x =是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。

（一）若1x <，则()
()
2
2
11'()1k x F x x --=
-。

由于当0k ≤时，'()0F x =无实根，
而当0k >时，'()0F x =有实根，
因此，对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。

（1） 当0k ≤时，'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立，所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函
数；
（2） 当0k >时，()
()
2
2
11'()11k x F x x x --=
=--。

由'()0F x =，
得121,1x x ⎛⎛
== ⎝
⎝
，因为0k >，所以121x x <<。

由'()0F x >
，得11x <<；由'()0F x <
，得1x <- 因此，当0k >时，函数()F x
在(,1-∞
上为减函数，在(1上为增函数。

（二）若1x >
，则'()F x =0k ≥时，'()0F x =无实根，而
当0k <时，'()0F x =有实根，因此，对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。

（1） 当0k ≥时，'()0F x <在[)1,+∞上恒成立，所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数；
（2） 当0k <
时，1'()k F x ⎫-⎪
==。

由'()0F x >，得2114x k >+
；由'()0F x <，得21114x k
<<+。

因此，当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡
⎫+
⎪⎢⎣
⎭上为减函数，在211,4k ⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
上为增函数。

综上所述：
（1） 当0k >时，函数()F x
在(,1-∞上为减函数，
在(1上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。

（2） 当0k =时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在[)1,+∞上为减函数。

（3） 当0k <时，函数()F x 在(,1)-∞上为增函数，在211,14k ⎡
⎫
+
⎪⎢⎣⎭
上为减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭
上为增函数。

2
．
解
：（
Ⅰ
）
函
数
的
定
义
域
为
[)
0,+∞，
(
))'30a x f x x ⎛
⎫- ⎪
===>，由'()0f x =得3a x =。

考虑
3
a 是否落在导函数'
()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。

（1） 当0a ≤时，则'
()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为
[)0,+∞。

（2） 当0a >时，由'
()0f x >，得3a x >
；由'
()0f x <，得03
a x <<。

因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3
a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，()f x 的单调递增区间为
,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

（Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知：
（1） 当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，
所以()()00g a f ==。

（2） 当0a >时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，所以：
① 当
()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
所以(
)3a g a f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
932a a -=。

② 当
[)2,3
a
∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()(
))22g a f a =-。

综上所述，(
))0,06
2,~6a g a a a a ⎧≤⎪
⎪=<<⎨-≥
（ii ）令()62g a -≤≤-。

①若0a ≤，无解； ②若06a <<
，由62-≤≤-解得36a ≤<； ③ 若6a ≥
，由)622a -≤-≤-
解得62a ≤≤+ 综上所述，a
的取值范围为32a ≤≤+
3、解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程为
032256=-+y x 。

（Ⅱ）由于0a ≠，所以()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛
⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。

由()'0f x =，得121
,x x a a
=-
=。

这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1） 当0a >时，则12x x <。

易得()f x 在区间1,a ⎛⎫
-∞-
⎪⎝⎭
，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫-
⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()
f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

（2） 当0a <时，则12x x >。

易得()f x 在区间),(a -∞，),1
(+∞-a
内为增函数，在区间)1,(a
a -为减函数。

故函数()f x 在11x a =-
处取得极小值2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

4、解：由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，()2'
22211
b x x b
f x x x x ++=+=++，()'f x 的分母1x +在定义域()1,-+∞
上恒为正，方程2
220x x b ++=是否有实根，需要对参数b 的取值进行讨论。

（1）当480b ∆=-≤，即12b ≥时，方程2
220x x b ++=无实根或只有唯一根12
x =-，所以()2
220g x x x b =++≥
在()1,-+∞上恒成立，则()'
0f
x ≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上单
调递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

（2）当480b ∆=->，即12
b <
时，方程2220x x b ++=，即()'
0f x =有两个不相等的
实根：121122
x x --+=
=。

这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论：
（ⅰ）当0b <时，12111,122
x x ---=
<-=>-，所以
()()121,,1,x x ∉-+∞∈-+∞。

此时，()'f x 与()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：当0b <时，()f x 有唯一极小值点212
x -+=。

（ⅱ）当1
02
b <<
时，12111,122x x ---+=
>-=>-，所以()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。

此时，()'
f
x 与()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：当1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点1x =和一个极小值点
212
x -=。

综上所述：
（1） 当0b <时，()f x 有唯一极小值点x =
；
（2） 当1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点x =和一个极小值点
12
x -=
；
（3） 当1
2
b ≥时，()f x 无极值点。