山东省济南市高三数学教学质量调研(一模)理

7 8 99
4 4 6 4 7
3
高三教学质量调研(2011.02)数学（理工类）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共8页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：
如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ); 如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )²P (B ).
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k
次的概率:).,,2,1,0()1()(n L k p p C k •
P k n k
k n n =-=- 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1. 复数
21i
=+ A. 1i -
B. 1i +
C. i -
D. i
2. 若集合{}
R x x x A ∈≤-=,32，{}
2
|1,B y y x y R ==-∈，则A ∩B =
A. [0,1]
B. [0,+∞）
C. [-1,1]
D. ∅
3. 下列命题中是假命题的是
A . ⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∀2,
0πx ,x x sin > B ．∈∃0x R ,2cos sin 00=+x x C ．∈∀x R ,03>x
D ．∈∃0x R ,0lg 0=x
4. 右图是2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生
打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均数和方差分别为
A. 84,4.84
B. 84,1.6
C. 85,1.6
D. 85,4
5. 已知{}n a 为等差数列，若9843=++a a a ，则9S = A. 24 B. 27 C. 15
D. 54
6. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是
A. (80+162) cm 2
B. 84 cm
2
C. (96+162) cm 2
D. 96 cm 2
7. 由直线2+=x y 上的点向圆(x -4)2
+(y +2)2
=1引切线， 则切线长的最小值为 A ．30 B ．31 C ．24
D ．33
8. 若22cos 4sin -=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-α
πα，则ααcos sin +的值为
A ．27-
B ．－12
C ．1
2 D ．2
7
9. 位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向
向左或向右，并且向左移动的概率为31
，向右移动的概率为3
2，则质点P 移动五次后位
于点(1,0)的概率是 A ．
4243 B ．8243 C ．40243 D ．80
243
10. 已知点F 1，F 2分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x
轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范
围是 A ．)3,1(
B ．)22,3(
C ．),21(+∞+
D ．)21,1(+
11. 函数)(x f 在定义域R 上不是常数函数，且)(x f 满足条件：对任意∈x R ， 都有)()1(),2()2(x f x f x f x f -=+-=+,则)(x f 是 A. 奇函数但非偶函数 B. 偶函数但非奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
12. 若实数x 、y 满足11
2244+++=+y x y
x
，则y x t 22+=的取值范围是
A ．20≤<t
B ．40≤<t
C ．42≤<t
D ．4≥t
绝密★启用前
第6题图
高三教学质量调研(2011.02)
数学（理工类）试题
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中.
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，
共16分.将答案填在题中横线上.
13. 二项式3
5
2
1()x x -
的展开式中的常数项为_______. 14. 给出下面的程序框图，则输出的结果为_________.
15. 已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为_________. 16. 如图，在△ABC 中， =3
1
NC ,P 是BN 上的一点， 若AP =m AB +
11
2
AC ，则实数m 的值为___________. 三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知()1f x a b =⋅-
，其中向量)cos ,3(),cos 2,2(sin x b x x a ==,(∈x R ).
（1） 求()f x 的最小正周期和最小值；
（2） 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若34=⎪⎭
⎫
⎝⎛A f ，a=213，8b =，求边长c 的值.
第15题图
第14题图
18. （本小题满分12分）
三棱锥ABC P -中，
90=∠BAC ，22=====AB BC PC PB PA ,
（1） 求证：面⊥PBC 面ABC
（2） 求二面角C AP B --的余弦值．
第18题图
19. （本小题满分12分）
中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q ≤80时，为酒后驾车；当Q ＞80时，为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q ＜140人数之内）
.
（1） 求此次拦查中醉酒驾车的人数； （2） 从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x 的分布列和期望.
第19题图
20. （本小题满分12分）
已知}{n a 为等比数列，256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =. （1） 求}{n a 和}{n b 的通项公式； （2） 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .
21. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，离心率2
2
=e ，椭圆C 上的点到F
的距离的最大值为12+，直线l 过点F 与椭圆C 交于不同的两点A 、B . （1） 求椭圆C 的方程； （2） 若2
2
3||=AB ，求直线l 的方程.
22. （本小题满分14分）
已知函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈ (1) 当1a =时，求函数()f x 的最值； (2) 求函数()f x 的单调区间；
(3) 试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5
ln 28
y =+无公共点.
高三数学（理工类）参考答案(2011.02)
一、选择题：1. A 2. C 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. C 9. D 10. D 11. B 12. C 二、填空题： 13. 10- 14. 5
4 15. 2 16. 113
三、解答题：
17. 解：(1) f (x )=a ²b -1=(sin2x ,2cos x )²
x )-1
x +2cos2 x
x +cos2x =2sin （2x ＋
6
π
）……………………………4分
∴f (x )的最小正周期为π，最小值为-2.……………………………………………………6分 (2) f (
4A )=2sin （2A ＋6
π
）
∴sin （
2A ＋6π
8分 ∴
2A ＋6π＝3π∴ A ＝3
π或π=A （舍去）………………………………………………10分 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
52＝64＋c 2
-8c 即c 2
-8c +12=0
从而c =2或c =6……………………………………………………………………………12分 18. （1） 证明：取BC 中点O ，连接AO ，PO ，由已知△BAC 为直角三角形， 所以可得OA =OB =OC ，又知P A =PB =PC ，
则△POA ≌△POB ≌△POC ………………………………2分
∴∠POA =∠POB =∠POC =90°，∴PO ⊥OB ,PO ⊥OA ,OB ∩OA =O
所以PO ⊥面BCD ，…………………………………………………………………… 4分 ⊂PO 面ABC ，∴面PBC ⊥面ABC ………………………5分 （2） 解：过O 作OD 与BC 垂直，交AC 于D 点， 如图建立坐标系O —xyz 则)0,21
,23(
-A ，)0,1,0(-B ，)0,1,0(C ，)3,0,0(P ， )3,1,0(),0,2
1
,23(
==…………………7分 设面P AB 的法向量为n 1=(x,y,z )，由n 1² =0，n 1²BP =0,可知n 1=(1,-3,1)
同理可求得面P AC 的法向量为n 1=(3,3,1)………………………………………………10分
第18题答案图
cos(n 1, n 2)=
2
121··n n n n =6565
……………………………………………………………………12分
19. 解：（1） (0.032+0.043+0.050)³20=0.25,0.25³60=15,
所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．……………………………………………………4分 （2） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x 的所有可能取值为0,1,2；
P(x =0)=383
6
C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=3
8
2216C C C =283
…………………………………………………………………………………………………10分
4
32832281511450)(=⨯+⨯+⨯
=X E .……………………………………………………12分 20. 解：（1） 设{a n }的公比为q ，由a 5=a 1q 4得q =4
所以a n =4n-1.……………………………………………………………………………………4分 设{ b n }的公差为d ，由5S 5=2 S 8得5(5 b 1+10d )=2(8 b 1+28d )，
322
3
231=⨯==
a d , 所以
b n =b 1+(n -1)d =3n -1.…………………………………………………………………………8分
（2） T n =1²2+4²5+42²8+…+4n -1
(3n -1),①
4T n =4²2+42²5+43²8+ (4)
(3n -1),②
②-①得：3T n =-2-3(4+42+…+4n )+4n
(3n -1)…………………………………………………10分 = -2+4(1-4n -1)+4n (3n -1) =2+(3n -2)·4n ……………………………………………………………………………………12分 ∴T n =（n -
32）4n +3
2
21. （1） 由题意知，
122
2
+=+=c a a c ，,所以1,2==c a ，从而1=b ， 故椭圆C 的方程为1222
=+y x ………………………………………………………………5分 （2） 容易验证直线l 的斜率不为0,故可设直线l 的方程为1+=my x ,代入12
22
=+y x 中， 得.012)2(2
2
=-++my y m …………………………………………………………………7分
设),(),,(2211y x B y x A 则由根与系数的关系，得2
2
221+-=+m m y y .2
1221+-=m y y ………………………………………………………………9分 2121221224)(11y y y y m y y m AB -++=-+=
2
232)1(2224)2(412222222=++=++++=m m m m m m , 解得m =±2 …………………………………………………………………11分 所以，直线l 的方程为12+±=y x ，即012=-+y x 或012=--y x ………12分
22. 解：（1） 函数f (x )=x 2-ax -a ln (x -1)(a ∈R )的定义域是(1,+∞)……………………1分
当a =1时，'32()12()2111
x x f x x x x -=--=--，所以f (x )在3(1,)2为减函数 ………………3分 在3(,)2+∞为增函数，所以函数f (x )的最小值为3()2f =3ln 24
+.………………………5分 (2) '22()2()2,11
a x x a f x x a x x +-=--=--………………………………………………6分 若a ≤0时，则21,2a +≤f (x )22()21
a x x x +-=-0>在(1,+∞)恒成立，所以f (x )的增区间为(1,
+∞).…………………………………………………………………………8分
若a ＞0，则
21,2a +>故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，'()f x 22()21
a x x x +-=-0≤，……………… 9分 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，f (x ) 22()21
a x x x +-=-0≥, 所以a ＞0时f (x )的减区间为21,
2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，f (x )的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.…………………10分
(3) a ≥1时，由（1）知f (x )在(1,+∞)的最小值为22()1ln 242
a a a f a +=-+-，…………………
…………………………………………………………………………………………………………11分 令2()()2a g a f +=21ln 42
a a a =-+-在 [1,+∞)上单调递减， 所以max 3()(1)ln 2,4g a g ==
+则max 51()(ln 2)88
g a -+=>0，…………………………12分 因此存在实数a (a ≥1)使f (x )的最小值大于5ln 28
+， 故存在实数a (a ≥1)使y =f (x )的图象与5ln 28y =+无公共点.……………………………14分。