四川省成都市经济技术开发区2017届高三数学4月月考试题 文

四川省成都市经济技术开发区2017届高三数学4月月考试题 文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，满分60分）
注意事项:
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0。

5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}
320A x R x =∈+>，{}
(1)(3)0B x R x x =∈+->,则A
B =
A ．(,1)-∞-
B ．2
(1,)3
--
C ．2(,3)3
-
D ．(3,)
+∞
2．已知复数z 满足
i z
i
21211+=+（i 为虚数单位）,则z 的虚部为 A ．4
B ．i 4
C ．4-
D ．i 4-
3。

已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是
A ．(,0)-∞
B ．1
(0,)2
C ．(0,1)
D ．(0,)+∞
4.已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤-+≥>0
620y x x y x ，则x y x 22++的最小值为
A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
5．已知向量(,3),(1,4),(2,1),a k b c ===且(32)a b c -⊥，则实数k ＝
A ．－错误!
B ．0
C ．3
D 。

错误!
6。

下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
{}1:n p a 数列是递增数列；
{}2:n p na 数列是递增数列；
3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；
其中的真命题为
（A ）12,p p （B)34,p p (C ）23,p p （D)14,p p
7。

△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =,则cos B = A.错误! B 。

错误! C.错误!
D 。

错误!
8.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围",q 是 “乙降落在指定范围"，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A ．()p ⌝∨()q ⌝
B ．p ∨()q ⌝
C ．()p ⌝∧()q ⌝
D ．p ∨q
9.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为mod N n m ,例如102mod4。

下面程序框图
的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的i 等于
A ．32
B ．16 C.8 D ．4 10.已知()sin cos ,f x a x b x =-若,44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则直线0ax by c -+=的倾斜 角为 A 。

4π B.3π C. 23π D. 34
π
11. 已知函数()2
1=
cos 4
f x x x +,()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是
12．设R m ∈,实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥.0623,0632,y x y x m y ,若182≤+y x 恒成立,则实数m 的取值范围是
A ．33m -≤≤
B ．66m -≤≤
C ．36m -≤≤
D ．60m -≤≤
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。

二、填空题（每小题5分，共20分） 13。

设a + b = 2， b >0， 则
1||
2||a a b
+
的最小值为 。

14。

已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ＝错误!（AB ＋AC ),则AB 与AC 的夹角为________． 15．小明忘记了微信登陆密码的后两位，只记得最后一位是字母,,,A a B b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是 ．
16. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数1,()0,R x Q f x x Q
∈⎧=⎨
∈⎩被 称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题：
①函数()f x 是偶函数；②(())0f f x =；③任取一个不为零的有理数,()()T f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立；④不存在三个点11(,()),A x f x 2233(,()),(,())B x f x C x f x .使得ABC ∆为等边三角形。

其中为真命题的是 .
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17.（本小题满分12分）
已知{}n a 是递增的等差数列，24,a a 4是方程2
560x x -+=的根．
(1）求{}n a 的通项公式； (2)求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
18．(本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，23c =，且sin sin ()sin a A c C a b B -=-.
(1）求角C 的值；
（2）若cos (4cos cos )c b A a A B +=+，求ABC ∆的面积。

19。

（本小题满分12分）
某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品。

现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
(Ⅰ） 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； (Ⅱ） 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
（1） 用产品编号列出所有可能的结果;
（2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4”， 求事件B 发生的概率。

20. （本小题满分12分)
如图,平面五边形ABCDE 中,AB ∥CE ，且
7,60,2===∠=ED CD AEC AE ,7
5
cos =
∠EDC 。

将CDE ∆沿CE 折起，使点D 到P 的位置,且3=AP ，得到四棱锥ABCE P -。

（1）求证:⊥AP 平面ABCE ；
（2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l .
21.（本小题满分12分）
设函数2
()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠． (Ⅰ）当1
2
b >
时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (Ⅱ）求函数()f x 的极值点。

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
(2016·陕西模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：错误!（t 为参数，t ≠0）,其中0≤α〈π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3:ρ＝2错误!cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ,求｜AB ｜的最大值.
23。

（本题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知关于x 的不等式｜x ＋a ｜＜b 的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝. (1)求实数a ，b 的值； (2)求错误!＋错误!的最大值.
数学（文史类）参考答案
1-5 DCBCC 6-10 BAABD 11—12 AC 13.
34 14。

90° 15.112
16。

①、③
由题意得a 2＝2，a 4＝3.
设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，
故d ＝错误!，从而a 1＝错误!. 所以｛a n ｝的通项公式为a n ＝错误!n ＋1. （2）设错误!的前n 项和为S n ,由(1）知错误!＝错误!,则
S n ＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，错误!S n ＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!.
两式相减得：错误!S n ＝错误!＋错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!错误!－错误!。

所以S n ＝2－错误!.
18．解析：（Ⅰ）由正弦定理及sin sin ()sin a A c C a b B -=-可得222a b c ab +=+， 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得1cos 2C =
，所以3
C π
=; （Ⅱ）由正弦定理及cos (4cos cos )c b A a A B +=+可得sin sin cos 4sin cos sin cos C B A A A A B +=+，从而有sin cos 2sin cos B A A A =， 当2
A π
=
时,2b =，23ABC S =△,当2
A π
≠
时，有2b a =,2,4a b ==。

1
sin 232
ABC S ab C =
=△。

综上，ABC △的面积是23. 19.解:（Ⅰ）
20.解:(1)在CDE ∆中，∵7=
=ED CD ，7
5
cos =
∠EDC ，由余弦定理得2=CE 。

连接AC ，∵2,60,2=∴=∠=AC AEC AE。

又∵3=
AP ，∴在PAE ∆中,222PE AE PA =+，即AE AP ⊥。

同理,AC AP ⊥，⊂AE AC ,平面ABCE ,A AE AC = ,故⊥AP 平面ABCE 。

(2）∵AB ∥CE ,且⊂CE 平面PCE ，⊄AB 平面PCE , ∴AB ∥平面PCE ，又平面 PAB 平面PCE l =,∴AB ∥l 。

21．解：（Ⅰ）由题意知,()f x 的定义域为(1
)-+∞，,222()211b x x b
f x x x x ++'=+
=++
设2
()22g x x x b =++,其图象的对称轴为1
(1)2
x =-
∈-+∞，， ∴min 11()22g x g b
⎛⎫
=-=-+ ⎪⎝⎭
当12b >
时，min 1
()02
g x b =-+>, 即2
()230g x x x b =+->在(1
)-+∞，上恒成立， ∴当(1)x ∈-+∞，
时,()0f x '>, 从而当1
2
b >
时，函数()f x 在定义域(1
)-+∞，上单调递增． …………4分 (Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当1
2
b >
时，函数()f x 无极值点． …………5分 ②12b =时，2
12()2()01
x f x x +'=
=+有两个相同的解12x =-，
∵11
2x ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
，时,()0f x '>， 12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>，
1
2
b ∴=
时,函数()f x 在(1
)-+∞，上无极值点． …………6分 ③当12b <
时，()0f x '=
有两个不同解，1x =
2x ， ∵0b <
时，11x <-
，20x =，
即1(1,)x ∉-+∞，2(1,)x ∈-+∞
0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
()f x
极小值
由此表可知:0b <时，()f x 有惟一极小值点21122b x -+-=，………8分
当102b <<
时，111212
b x ---=>-, 12(1)x x ∴∈-+∞，，
此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
x
1(1)x -， 1x
12()x x ， 2x 2(,)x -∞
()f x ' +
-
+
()f x
极大值
极小值
由此表可知：102b <<
时，()f x 有一个极大值11122
b
x ---=和一个极小值点21122
b x -+-=
； ……………10分
综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点1122
b
x -+-=
；
1
02b <<
时,()f x 有一个极大值点1122
b x ---=和一个极小值点112b x x -+-=; 1
2
b ≥时，()f x 无极值点． …………12分
22.解：（1）曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2错误!x ＝0. 联立错误!解得错误!或错误!
∴C 2与C 3交点的直角坐标为（0，0）和错误!.
（2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R,ρ≠0），其中0≤α〈π. ∴A 的极坐标为（2sin α,α)，B 的极坐标为（2错误!cos α，α). ∴｜AB |＝|2sin α－2错误!cos α|＝4错误!。

当α＝错误!时,｜AB ｜取得最大值,最大值为4。

23.解：（1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ， 则错误!解得a ＝－3，b ＝1. (2）－3t ＋12＋错误! ＝错误!错误!＋错误!≤错误!
＝2错误!＝4，
当且仅当错误!＝错误!，即t＝1时等号成立,故（错误!＋错误!）max＝4.。