组合概率的算法
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D
3),记者要为5名志愿都和他们帮助的 位老人拍照, ,记者要为 名志愿都和他们帮助的 位老人拍照, 名志愿都和他们帮助的2位老人拍照 要求排成一排, 位老人相邻但不排在两端 位老人相邻但不排在两端, 要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同 的排法共有( 的排法共有( ) A.1440种 B. A. 种 B.960种 C. 种 C.720种 D. 种 D.480种 种 4),某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个 个英文字母后接4个 ,某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接 数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有 数字组成,其中 个数字互不相同的牌照号码共有 ( )个 1 2 4 2 4 2 2 4 1 C26 10 D A2610 4 A C26 A10B A26 A10 C 5),用数字 ,1,2,3,4,5可以组成没有重复 ,用数字0, , , , , 可以组成没有重复 数字,并且比20000大的五位偶数共有( )个 大的五位偶数共有( 数字,并且比 大的五位偶数共有 (A)288(B)240(C)144(D)126 ) ( ) ( ) ( ) 3,二项式定理的应用 ,
n
1 例1,求和: 3C + 9C 27C + L + 3 C ,求和: 5 2 1 (1 例 2, ) 2 3 + 的常数项为 ________ x x A1=1 1 Q=4 n (2)( + 2 + x ) 的常数项为 70,则n = _______ x
2 12 4 12 6 12 6 12 12
个白球和3个黑球 例2,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 一次摸1个 摸出后不再放回, 个球, 中任意摸出 个球,一次摸 个,摸出后不再放回, 求下列事件发生的概率: 求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 2)摸出2个或 个白球 )摸出 个或 个或3个白球 3)至 )
(1 5,证明: )A 证明:
m n +1
A = mA
m n
m 1 n
6,满足 C n > C n 2 + 2C n 2 + n 2的n = ___
n 5 3 2
m + 1 m +1 n (2) C n +1 = C m1 n n +1 nm
2,排列组合应用题 , 1),从5位同学中选派 位同学在星期五,星期六, , 位同学中选派4位同学在星期五 位同学中选派 位同学在星期五,星期六, 星期日参加公益活动,每人一天, 星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有 2人参加,星期六,星期日各有 人参加,则不 人参加, 人参加, 人参加 星期六,星期日各有1人参加 同的选派方法共有( 同的选派方法共有( ) A.40种 B.60种 C.100种 D.120种B . 种 . 种 . 种 . 种 2),5位同学报名参加两个课外活动小组,每位 , 位同学报名参加两个课外活动小组 位同学报名参加两个课外活动小组, 同学限报其中的一个小组, 同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 有( ) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 . 种 . 种 . 种 . 种
= C nn m
n n! = (n + 1)! n! n n +1 1 1 1 = = (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)!
(2 ) C nm+1 = C nm + C nm 1
特例: C nn + C nn+1 + C nn+ 2 + L + C nn+ m
例1,计算下列各式的值 ,
例2,证明: ,证明:
(1)if
i i i, n, m ∈ Z + ,1 < i ≤ m < n then n i Am < m i An
1 1 1 1 (2)1 + + + L + < 2 n1 2! 3! n! 2
练习: 练习:
1,用排列数表示 (55 n )(56 n )L (69 n ) (n ∈ N且n < 55) 可为 _____ .
B
( )
( )
A
B
2 求证: +1 例3,求证: n < n 5 1 例 4,已知等比数列 {a n }的首项是 x + 2 展开 5x m 2m +8 m 式的常数项, C 4m A 4 , S n 为数列{a n }的 式的常数项,公比为 24 前 n项和 .求 C1n S1 + C 2 S 2 + L + C n S n n n
排列与组合综合:分配问题 原则 原则: 排列与组合综合:分配问题.原则:先组合后排 列 3,二项式定理 , (a+b)n= 原理: 原理: 引申: 引申:多项式 1)特殊项问题:展开式的通项式,最大(小)项, 特殊项问题:展开式的通项式,最大 小 项 特殊项问题 系数最大(小 项 二项式系数最大(小 项等 系数最大 小)项,二项式系数最大 小)项等 注意:特殊项的名称如有理项, 注意:特殊项的名称如有理项,常数项等 2)系数问题:(1)二项式系数及其性质 系数问题: 二项式系数及其性质 系数问题
3)条件概率及其计算 条件概率及其计算 4)连续型随机事件的概率的计算:积分 连续型随机事件的概率的计算: 连续型随机事件的概率的计算 3,基本公式 ,
m 1)古典概率 P( A) = n 古典概率
2)互斥事件的概率 P( A + B ) = P( A) + P(B ) 互斥事件的概率 3)相互独立事件的概率 P( AB ) = P( A)P(B ) 相互独立事件的概率 4)对立事件的概率 P ( A ) = 1 P( A) 对立事件的概率 P( AB ) 5)条件概率 P( A | B ) = 条件概率 P (B ) n 6)离散型随机变量数学期望 Eξ = ∑ xi pi 离散型随机变量数学期望
排列组合与排列数和组合数
复习排列,组合的定义及排列数和 组合数的计算
一,基本内容 1,计数原理:加法原理(分类 与乘法原理 分步 ,计数原理:加法原理 分类 与乘法原理(分步 分类)与乘法原理 分步) 使用原则: 使用原则:先分类后分步 应用示例 染色, 流量问题等\染色 流量问题等\染色,花坛问题等等
5 4 2A 8 + 7A 8 (1 2,计算: ) 计算: + C38 n + C3n+ n 3n 21 5 8!A 9 -
2 2 2 (2)A 3 + A 2 + A 5 + L + A100 4 3x 4x (1 x 3,解方程: )3A 3 = 2A 2 +1 + 6A 2 (2 )C18 + 6 = C18 2 解方程: x x x (1 4,解不等式: )A 9 > 6A 9 -2 (2 )C 4 > C 6 解不等式: x x x
2,排列与组合 , 1)排列与组合定义 )
2)排列数与组合数 ) 公式: 公式:Anm= Cnm=
注意问题: 注意问题:(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列 定义值 排列 数与组合数性质;必胜429页例 页例1, 数与组合数性质;必胜 页例 ,2 如:An6-n+Cn2n-5= 2)计数原理与排列组合应用问题 ) 排列问题: 不在" 排列问题:(1) "在"与"不在" 在 (2) "邻"与"不邻"问题 (3) "定序" 不邻" 定序" 邻 定序 组合问题: 分堆问题 组合问题 (1)分堆问题 (2)几何问题 几何问题
m 1)古典概率: ( A) = 中m,n 的标准一致 等 的标准一致→等 )古典概率: P n
可能
取球问题: 一次性取 一次性取: 取球问题:(1)一次性取:列举法或组合数法
(2)分次取:有放回→先分类后分步计算,无放回 分次取:有放回 先分类后分步计算 先分类后分步计算, 分次取 →列举或用排列组合 列举或用排列组合 个白球和3个黑球 例1,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 求下列事件发生的概率: 个球, 中任意摸出 个球,求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 2)摸出2个或 个白球 )摸出量的方差: ξ = ∑ ( xi Eξ ) pi )离散型随机变量的方差:
n 2
二项分布: 二项分布:ξ B (n, p ) 中Eξ = np
二项分布: 二项分布:ξ B (n, p ) 中Dξ = npq
2
i =1
二,基本问题与方法 一),概率问题 ,
ξ u N (0,1) 8)正态分布 ξ N (u , σ ) → η = ) σ
0 1 1 = C n + C n +1 + C n2+ 2 + L + C nm+ m = C nm++m +1
Ann + Ann+1 + L + Ann+ n = A2nn +1
0 1 An An +1 An2+ 2 Anm+ m 1 + + +L + = C nm++m +1 0! 1! 2! m!
概率与分布列
1,复习古典概率,条件概率,几何概 型的有关概念与计算方法 2,复习分别列的特征与求法以及随机 变量的期望与方差的数学含义和求法
一,基本内容 1,几个概念 , 随机事件,必然事件,不可能事件,等可能事件, 随机事件,必然事件,不可能事件,等可能事件, 互斥事件,互为独立事件,随机变量, 互斥事件,互为独立事件,随机变量,离散型随 机变量及其概率分布, 机变量及其概率分布,连续型随机变量及其概率 分布曲线,期望,方差,均方差, 分布曲线,期望,方差,均方差,两点分布与成 功概率,超几何分布,二项分布, 功概率,超几何分布,二项分布,正态分布与正 态曲线及其表达式特点 2,概率及其计算 , 1)等可能事件的概率计算方法 等可能事件的概率计算方法 2)几何概型的计算方法 几何概型的计算方法
(1 求证: 3 例5, )求证:
1 27 6
2n + 2 2 27
(2)求C + C + L + C 除以9的余数 (3)求0.998 的近似值,使误差小于 0.001. 的近似值,
27 27
8n 9能被 64整除
(4)99 的个位和十位数分别是 ______
33
例6,若 1 2
(
)
10
= a + b 2 , 则a = ___, b = ____ .
个白球和3个黑球 例3,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 一次摸1个 个球, 中任意摸出 个球,一次摸 个,摸出后记下结果 后再放回,求下列事件发生的概率: 后再放回,求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 几何概型 为直角顶点. 例1,在等腰直角三角形 ,在等腰直角三角形OAB中,O为直角顶点 中 为直角顶点 1)过O作射线 交AB于C,求使得∠AOC和 作射线OC交 于 ,求使得∠ ) 作射线 和 都不小于30° ∠BOC都不小于 °的概率 2)在斜边 上取 都不小于 )在斜边AB上取 一点C,求使得∠ 都不小于30° 一点 ,求使得∠AOC和∠BOC都不小于 °的 和 都不小于 概率 . 2)摸出2个或 个白球 )摸出 个或 个或3个白球 3)至 )
二,基本问题与方法 1,排列数与组合数的计算 ,
(1)C + 2C + 3C + L + 9C 1 2 3 8 9 (2)C9 + 4C9 + 7C9 + L 22C9 + 25C9 n 1 2 2 3 n (3) 2Cn + 2 Cn + 6 4Cn + L + n( 2 ) Cn
1 9 2 9 3 9 9 9
3)整除与余数问题问题 整除与余数问题问题 4)近似问题 近似问题
附:排列数组合数部分性质: 排列数组合数部分性质:
1 Anm = nA nm1 (n m + 1)Anm 1 = An2 Anm22 1 Ann n! m = m = = C nm Am Am m!
2 3 4
(n , m ∈ N , n ≥ m ) (n + 1)! = (n + 1) n! = n n!+ n! (1) C nm
3),记者要为5名志愿都和他们帮助的 位老人拍照, ,记者要为 名志愿都和他们帮助的 位老人拍照, 名志愿都和他们帮助的2位老人拍照 要求排成一排, 位老人相邻但不排在两端 位老人相邻但不排在两端, 要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同 的排法共有( 的排法共有( ) A.1440种 B. A. 种 B.960种 C. 种 C.720种 D. 种 D.480种 种 4),某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个 个英文字母后接4个 ,某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接 数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有 数字组成,其中 个数字互不相同的牌照号码共有 ( )个 1 2 4 2 4 2 2 4 1 C26 10 D A2610 4 A C26 A10B A26 A10 C 5),用数字 ,1,2,3,4,5可以组成没有重复 ,用数字0, , , , , 可以组成没有重复 数字,并且比20000大的五位偶数共有( )个 大的五位偶数共有( 数字,并且比 大的五位偶数共有 (A)288(B)240(C)144(D)126 ) ( ) ( ) ( ) 3,二项式定理的应用 ,
n
1 例1,求和: 3C + 9C 27C + L + 3 C ,求和: 5 2 1 (1 例 2, ) 2 3 + 的常数项为 ________ x x A1=1 1 Q=4 n (2)( + 2 + x ) 的常数项为 70,则n = _______ x
2 12 4 12 6 12 6 12 12
个白球和3个黑球 例2,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 一次摸1个 摸出后不再放回, 个球, 中任意摸出 个球,一次摸 个,摸出后不再放回, 求下列事件发生的概率: 求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 2)摸出2个或 个白球 )摸出 个或 个或3个白球 3)至 )
(1 5,证明: )A 证明:
m n +1
A = mA
m n
m 1 n
6,满足 C n > C n 2 + 2C n 2 + n 2的n = ___
n 5 3 2
m + 1 m +1 n (2) C n +1 = C m1 n n +1 nm
2,排列组合应用题 , 1),从5位同学中选派 位同学在星期五,星期六, , 位同学中选派4位同学在星期五 位同学中选派 位同学在星期五,星期六, 星期日参加公益活动,每人一天, 星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有 2人参加,星期六,星期日各有 人参加,则不 人参加, 人参加, 人参加 星期六,星期日各有1人参加 同的选派方法共有( 同的选派方法共有( ) A.40种 B.60种 C.100种 D.120种B . 种 . 种 . 种 . 种 2),5位同学报名参加两个课外活动小组,每位 , 位同学报名参加两个课外活动小组 位同学报名参加两个课外活动小组, 同学限报其中的一个小组, 同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 有( ) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 . 种 . 种 . 种 . 种
= C nn m
n n! = (n + 1)! n! n n +1 1 1 1 = = (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)!
(2 ) C nm+1 = C nm + C nm 1
特例: C nn + C nn+1 + C nn+ 2 + L + C nn+ m
例1,计算下列各式的值 ,
例2,证明: ,证明:
(1)if
i i i, n, m ∈ Z + ,1 < i ≤ m < n then n i Am < m i An
1 1 1 1 (2)1 + + + L + < 2 n1 2! 3! n! 2
练习: 练习:
1,用排列数表示 (55 n )(56 n )L (69 n ) (n ∈ N且n < 55) 可为 _____ .
B
( )
( )
A
B
2 求证: +1 例3,求证: n < n 5 1 例 4,已知等比数列 {a n }的首项是 x + 2 展开 5x m 2m +8 m 式的常数项, C 4m A 4 , S n 为数列{a n }的 式的常数项,公比为 24 前 n项和 .求 C1n S1 + C 2 S 2 + L + C n S n n n
排列与组合综合:分配问题 原则 原则: 排列与组合综合:分配问题.原则:先组合后排 列 3,二项式定理 , (a+b)n= 原理: 原理: 引申: 引申:多项式 1)特殊项问题:展开式的通项式,最大(小)项, 特殊项问题:展开式的通项式,最大 小 项 特殊项问题 系数最大(小 项 二项式系数最大(小 项等 系数最大 小)项,二项式系数最大 小)项等 注意:特殊项的名称如有理项, 注意:特殊项的名称如有理项,常数项等 2)系数问题:(1)二项式系数及其性质 系数问题: 二项式系数及其性质 系数问题
3)条件概率及其计算 条件概率及其计算 4)连续型随机事件的概率的计算:积分 连续型随机事件的概率的计算: 连续型随机事件的概率的计算 3,基本公式 ,
m 1)古典概率 P( A) = n 古典概率
2)互斥事件的概率 P( A + B ) = P( A) + P(B ) 互斥事件的概率 3)相互独立事件的概率 P( AB ) = P( A)P(B ) 相互独立事件的概率 4)对立事件的概率 P ( A ) = 1 P( A) 对立事件的概率 P( AB ) 5)条件概率 P( A | B ) = 条件概率 P (B ) n 6)离散型随机变量数学期望 Eξ = ∑ xi pi 离散型随机变量数学期望
排列组合与排列数和组合数
复习排列,组合的定义及排列数和 组合数的计算
一,基本内容 1,计数原理:加法原理(分类 与乘法原理 分步 ,计数原理:加法原理 分类 与乘法原理(分步 分类)与乘法原理 分步) 使用原则: 使用原则:先分类后分步 应用示例 染色, 流量问题等\染色 流量问题等\染色,花坛问题等等
5 4 2A 8 + 7A 8 (1 2,计算: ) 计算: + C38 n + C3n+ n 3n 21 5 8!A 9 -
2 2 2 (2)A 3 + A 2 + A 5 + L + A100 4 3x 4x (1 x 3,解方程: )3A 3 = 2A 2 +1 + 6A 2 (2 )C18 + 6 = C18 2 解方程: x x x (1 4,解不等式: )A 9 > 6A 9 -2 (2 )C 4 > C 6 解不等式: x x x
2,排列与组合 , 1)排列与组合定义 )
2)排列数与组合数 ) 公式: 公式:Anm= Cnm=
注意问题: 注意问题:(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列 定义值 排列 数与组合数性质;必胜429页例 页例1, 数与组合数性质;必胜 页例 ,2 如:An6-n+Cn2n-5= 2)计数原理与排列组合应用问题 ) 排列问题: 不在" 排列问题:(1) "在"与"不在" 在 (2) "邻"与"不邻"问题 (3) "定序" 不邻" 定序" 邻 定序 组合问题: 分堆问题 组合问题 (1)分堆问题 (2)几何问题 几何问题
m 1)古典概率: ( A) = 中m,n 的标准一致 等 的标准一致→等 )古典概率: P n
可能
取球问题: 一次性取 一次性取: 取球问题:(1)一次性取:列举法或组合数法
(2)分次取:有放回→先分类后分步计算,无放回 分次取:有放回 先分类后分步计算 先分类后分步计算, 分次取 →列举或用排列组合 列举或用排列组合 个白球和3个黑球 例1,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 求下列事件发生的概率: 个球, 中任意摸出 个球,求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 2)摸出2个或 个白球 )摸出量的方差: ξ = ∑ ( xi Eξ ) pi )离散型随机变量的方差:
n 2
二项分布: 二项分布:ξ B (n, p ) 中Eξ = np
二项分布: 二项分布:ξ B (n, p ) 中Dξ = npq
2
i =1
二,基本问题与方法 一),概率问题 ,
ξ u N (0,1) 8)正态分布 ξ N (u , σ ) → η = ) σ
0 1 1 = C n + C n +1 + C n2+ 2 + L + C nm+ m = C nm++m +1
Ann + Ann+1 + L + Ann+ n = A2nn +1
0 1 An An +1 An2+ 2 Anm+ m 1 + + +L + = C nm++m +1 0! 1! 2! m!
概率与分布列
1,复习古典概率,条件概率,几何概 型的有关概念与计算方法 2,复习分别列的特征与求法以及随机 变量的期望与方差的数学含义和求法
一,基本内容 1,几个概念 , 随机事件,必然事件,不可能事件,等可能事件, 随机事件,必然事件,不可能事件,等可能事件, 互斥事件,互为独立事件,随机变量, 互斥事件,互为独立事件,随机变量,离散型随 机变量及其概率分布, 机变量及其概率分布,连续型随机变量及其概率 分布曲线,期望,方差,均方差, 分布曲线,期望,方差,均方差,两点分布与成 功概率,超几何分布,二项分布, 功概率,超几何分布,二项分布,正态分布与正 态曲线及其表达式特点 2,概率及其计算 , 1)等可能事件的概率计算方法 等可能事件的概率计算方法 2)几何概型的计算方法 几何概型的计算方法
(1 求证: 3 例5, )求证:
1 27 6
2n + 2 2 27
(2)求C + C + L + C 除以9的余数 (3)求0.998 的近似值,使误差小于 0.001. 的近似值,
27 27
8n 9能被 64整除
(4)99 的个位和十位数分别是 ______
33
例6,若 1 2
(
)
10
= a + b 2 , 则a = ___, b = ____ .
个白球和3个黑球 例3,袋中有大小相同的 个白球和 个黑球,从 ,袋中有大小相同的5个白球和 个黑球, 中任意摸出4个球 一次摸1个 个球, 中任意摸出 个球,一次摸 个,摸出后记下结果 后再放回,求下列事件发生的概率: 后再放回,求下列事件发生的概率: 1)摸出4个白球 )摸出 个白球 少摸出1个黑球 少摸出 个黑球 几何概型 为直角顶点. 例1,在等腰直角三角形 ,在等腰直角三角形OAB中,O为直角顶点 中 为直角顶点 1)过O作射线 交AB于C,求使得∠AOC和 作射线OC交 于 ,求使得∠ ) 作射线 和 都不小于30° ∠BOC都不小于 °的概率 2)在斜边 上取 都不小于 )在斜边AB上取 一点C,求使得∠ 都不小于30° 一点 ,求使得∠AOC和∠BOC都不小于 °的 和 都不小于 概率 . 2)摸出2个或 个白球 )摸出 个或 个或3个白球 3)至 )
二,基本问题与方法 1,排列数与组合数的计算 ,
(1)C + 2C + 3C + L + 9C 1 2 3 8 9 (2)C9 + 4C9 + 7C9 + L 22C9 + 25C9 n 1 2 2 3 n (3) 2Cn + 2 Cn + 6 4Cn + L + n( 2 ) Cn
1 9 2 9 3 9 9 9
3)整除与余数问题问题 整除与余数问题问题 4)近似问题 近似问题
附:排列数组合数部分性质: 排列数组合数部分性质:
1 Anm = nA nm1 (n m + 1)Anm 1 = An2 Anm22 1 Ann n! m = m = = C nm Am Am m!
2 3 4
(n , m ∈ N , n ≥ m ) (n + 1)! = (n + 1) n! = n n!+ n! (1) C nm