导数的概念(平均变化率)ppt
导数运算ppt课件
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx Δx
＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＋－lΔimx→0
fa－Δx－fa －Δx
＝A＋A＝2A.
答案：2A
设 f(x)为可导函数，且满足lim x→0
f1－f2x1－2x＝－1，则过曲
线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体运动的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_. (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率ΔΔst ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时 速度．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函 数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的 每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是 函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 由题意±1 是方程 f ′(x)＝0 的根， ∴－23ba＝0，－1a＝－1，故 a＝1，b＝0. 曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0,16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x03－3x0. ∵f ′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
《函数的平均变化率》课件
在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
导数平均变化率课件
导数可以用来描述波动的过程，例如在波动方程中，位移 u与时间t的导数描述了波的传播。
平均变化率在统计学中的应用
平均变化率的定义
平均变化率是函数在某段时间内变化的平均值，可以用导数来计算。
平均变化率的应用
平均变化率可以用于统计学中的回归分析、时间序列分析和方差分析等。例如 在回归分析中，平均变化率可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。
定义
平均变化率是函数在某区间上 的增量与区间的比值。
计算公式
平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
意义
平均变化率描述函数在某区间 上的变化趋势。
局限性
平均变化率只能描述函数在一 个区间的整体变化趋势，不能 描述函数在某一点的局部变化
。
导数与平均变化率综合应用示例
例1
一个工厂生产某种产品，其总成 本函数为C(x) = 20 + 3x + 4x^2 ，求生产100个产品的平均成本 。
生产量、在成本函数中求得最低成本等。
预测模型
03
导数可以用于预测模型，例如时间序列分析中的ARIMA模型，
通过对数据的导数分析来预测未来的变化趋势。
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在牛顿第二 定律F=ma中，加速度a就是速度v的导数。
热传导
导数可以用来描述热传导的过程，例如在热传导方程中， 热流密度q与温度T的导数有关。
导数与平均变化率的关系
导数是平均变化率的极限
当函数在某一点的变化时间趋于0时，导数就是该点在单位时间内 的平均变化率。
导数与平均变化率的联系
导数和平均变化率都是描述函数变化的量度，它们之间存在密切的 联系。
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
《导数定义》课件
《导数定义》ppt课 件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率 ，是函数在这一点附近的小范围内取 值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在该点的切线斜率。具体来说 ，对于可微函数，其导数是函数值随 自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函 数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问 题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需 关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动 力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分， 是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则 和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有 广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法 。
高中数学导数的概念 PPT课件 图文
导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单 过位 :m 的 3)时 水间 x(量 单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作 生产的食品数 y(单 量位:kg)是其工作时x(间 单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处 的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们 的实际意. 义
如 其 解 4kg:果 生 的 f (保 产 1食) 持 速 品.4(表 这 度 即示 一 工该 生 作工 产 效,人 速 )那 率 为上 4度 么kg班 他/h后 .每 也1工 h时 就的作 可 是时以 说 ,候, 生一 其 产 f(3生 生 )3产 产 .5表 速 速 ,那 示 3.度 度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每 人 就时 上 是可 ,如 班 说 33h.以 5的 果 k后g的 生 时 保 工食 产 ,候 持 作 .品 这
导数平均变化率课件
当一元函数的导数大于0时，函数图像在该区间内为凹形；当导数小于0时，函数 图像为凸形。因此，通过研究导数的符号变化，我们可以判断函数图像的凹凸性 。
导数与极值点
总结词
导数可以用来判断函数的极值点。
详细描述
函数在极值点处的导数为0，即一阶导数为0的点可能是极值点。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断极值 点的类型（极大值或极小值）。
02 导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是表 示切线的斜率。
详细描述
在函数图像上任取一点，该点处的导 数即为切线的斜率。通过导数，我们 可以精确地描述函数图像在某一点的 切线斜率，进而研究函数的增减性。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
谢谢聆听
03
隐函数求导
$frac{dy}{dx} = frac{-F(x)}{F(y)}$
幂函数的导数计算
$(x^n)' = nx^{n-1}$ $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$
$(x^{1/n})' = frac{1}{n}x^{-frac{1}{n}-1}$
对数函数、三角函数和反三角函数的导数计算
导数与平均变化率课 件
目录
• 导数与平均变化率的基本概念 • 导数在几何中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的应用实例分析
01 导数与平均变化率的基本概念
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有广泛应用。
第一部分 第3章 3.1 3.1.1 平均变化率
3．1导数的概念3．1.1 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零． (2)平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．[对应学生用书P36][例1] 已知函数f ((1)求函数f (x )在区间[1,1.1]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可． [精解详析] (1)f (1.1)－f (1)1.1－1＝2×1.12－2×120.1＝0.420.1＝4.2.(2)f (2.01)－f (2)2.01－2＝2×2.012－2×220.01＝8.080 2－80.01＝0.080 20.01＝8.02.[一点通] 求函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： 第一步：求x 2－x 1； 第二步：求f (x 2)－f (x 1)； 第三步：由定义得出f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.1.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)342．求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大.[例2] 已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 时半径r 的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？[思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数r (V )的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算．[精解详析] (1)∵V ＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，∴r (V )＝ 33V4π.(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)1－0＝33×14π－01≈0.62(dm/L)． 函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)2－1＝－ 33×24π－33×14π≈0.16(dm/L)．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着体积的增加，气球的半径增加的越来越慢．[一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用，要把实际问题中的量与函数中的量对应起来，从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题．3．已知某一细菌分裂的个数随时间t s 的变化满足函数关系式f (t )＝3t ＋1，分别计算该细菌在[1,2]，[3,4]，[5,6]时间段内分裂个数的变化率，由此你能得出什么结论？解：细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝32－3＝6， 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f (4)－f (3)4－3＝34－33＝54. 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f (6)－f (5)6－5＝36－35＝486. 由此得出随时间的增加，细菌分裂的个数增加速度越来越快． 4.某商户2017年上半年的销售收入如图所示：试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．解：1月到2月，销售收入的平均变化率为6－22－1＝4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为12－66－2＝1.5(万元/月)．因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，平均变化率的绝对值反映了曲线在给定的区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，曲线在该区间上的变化越快；反之则慢．[对应课时跟踪训练(十五)]1．函数f (x )＝1x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为________．解析：f (2)－f (1)2－1＝12－11＝－12.答案：－122．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：解析：c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0023．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.解析：Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－(1＋1)1＋Δx －1＝2Δx ＋(Δx )2Δx ＝Δx ＋2.答案：Δx ＋24．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．解析：2.21－21.1－1＝0.210.1＝2.1.答案：2.15．函数y ＝f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________． 解析：因为Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ， 所以Δy Δx ＝1e 2－e .答案：1e 2－e6．已知自由落体运动的位移s (m)与时间t (s)的关系为s ＝f (t )＝12gt 2，计算t 从3秒到3.1秒、3.001秒、3.000 1秒各段时间内的平均速度(g ＝9.8 m/s 2)．解：设Δt ＝(t ＋d )－t 指时间改变量，Δs ＝f (t ＋d )－f (t )指位移改变量． 则Δs ＝f (t ＋d )－f (t )＝12g (t ＋d )2－12gt 2＝gtd ＋12gd 2，v ＝Δs Δt ＝gtd ＋12gd 2d ＝gt ＋12gd ，所以t 从3秒到3.1秒的平均速度v ＝29.89(m/s)； t 从3秒到3.001秒的平均速度v ＝29.404 9(m/s)； t 从3秒到3.000 1秒的平均速度v ＝29.400 49(m/s)．7．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上射影点C 沿某直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)在[0,10]上身影的平均变化率为： f (10)－f (0)10－0＝14×10－14×010＝14.即人离开路灯的第一个10 s 内身影的平均变化率为14.8．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ，所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析 答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x， 则 f′(1)＝________. 答案 －3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析 由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析 答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0
《平均变化率与导数》课件
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率，即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况， 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$， 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号，判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递 增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。因此，利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$，其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时，如最优化问题、经济问 题等，可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型，将实际问题转化为求函数的最 值问题，然后利用导数求出最优解，为实际 问题的解决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
当自变量改变量趋于0时，平均变化率趋于导数，即导数是平 均变化率的极限形式。
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
导数的定义课件
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求函数值 y关于x的平均变化率．
Δy fx0＋Δx－fx0 提示： ＝ . Δx Δx
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是．
导数的概念 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函 Δy 数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ Δx fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 x1－x0 ＝ ，当x1趋于x0，即Δx趋于0 Δx 时，如果平均变化率趋于一个 固定的值 ，那么这个值就是 函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x0点的导数．
一.复习 ①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x2 x
y
Y=f(x)
②平均变化率的几何意义：割线 的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O
2．记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 fx1－fx0 x1－x0 ＝lim f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝ lim x1→x0 Δx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx .
B
f f(x2 ) f ( x1 ) k x2 x1 x
A x2-x1=△x x x1 x2
二、情景导入：
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时 间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度． 提示：8米/秒．
问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度．
Δs s3＋Δt－s3 提示： ＝ ＝14＋2Δt， Δt Δt Δs 当Δt→0时， →14， Δt 故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．
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（3）曲线上BC之间的一
xC-xB
段几乎成了直线，由此联
o1
32 34 t (d) 想到如何量化直线的倾斜
程度？
-
6
y f(34)
A
f(1) o1
[问题２]如果将上述气
温曲线看成是函数y
f(34) - f(1)
C
=f(x)的图象,
则函数y
= f(x)在区间[1，34]上
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均 变化率有什么特点？
-
18
小结回顾
这节课我的收获是什么？
1.平均变化率的定义： y f (x1) f (x2)
x
x1 x2
2.平均变化率的意义:
大量生活中的实例 建立数学模型 数学应用
3.求平均变化率的步骤：
4.思想方法：
-
19
-
20
-
21
-
的平均变化率为
y=f(x)
f (34) f (1)
341
34 x
34-1
-
7
y f(34)
f(x1) f(1) A
o1
y=f(x)
x1
C
[ 问 题Leabharlann 3] 在 区 间[1,x1] 上 的 平 均 变 化率为
34 x f (x1) f (1) x1 1
-
8
y f(34)
[问题3] 在区间[x2，
C
B (32, 18.6)
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
问题1’图中哪一段图像更“陡峭”？
问题2’如何量化图像的“陡峭”程度？
-
4
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
问题1 哪一段时间气 温变化得更“大”？
问题2 哪一段时间气 温变化得更“快”？
o1
32 34 t (d)
-
3
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) 以3月18日作为第一 天，温度随时间变 化的图象如左图.
34] 上 的 平 均 变 化
率为
f(x2)
f(x1) A f(1)
y=f(x)
o1
x1
x2 34 x
你能否归纳出 “函数f(x)
在区间[x1,x2]上的平均变化 率”的一般性定义吗？
-
f (34) f (x2) 34 x2
9
建构数学理论
注意：不能脱 离区间而言
一般地，函数 f (x)在区间上 [x1, x2]的平均变化率为
[问题1] 你能用 数学语言来解
释 BC 段 曲 线 的
陡峭程度吗？
2 A (1, 3.5)
0 2 10
20
30 34 t(d)
-
5
（1）仅考察 yc yB 的大小，能
T(oC)
C(34,33.4)
33.4 化 曲 为 直
B(32,18.6)
18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
否精确量化BC段陡峭的程度？
Hx
-
14
数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
１.负值代表了什么? ２.哪个１０秒内变化快?
平均变化率的绝对值越
f (x2) f (x1) y f(x1x)f(x1)
x2 x1 y x
x
f (x2) f ( x1 )
0
y
x1
-
x
x2
x
10
建构数学理论
定义理解
(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
线的斜率（. 以直代曲思想）
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或
大,则变化越快.
-
甲
乙 15
题后反思
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；
(2)计算平均变化率 y f (x1) f (x2) .
x
x1 x2
-
16
数学应用
例2 已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区
间上的平均变化率：
y
（1）[1，3]； 4
（2）[1，2]； 3
气温在区间[1，32] 上 的平均变化率约为0.5；
气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。
32 34 t (d)
-
12
思考: 平均变化率的“大小”与图
像的“陡峭”程度有什么关
系？
-
13
变式探究
y
向高为H的水瓶中注水，注满
为止，如果注水量y与水深x的
函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状…………( B ) O
22
者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗
庚
-
11
[问题解决] 如图，请分别计算气温在区间[1，32] 和区间[32，34]上的平均变化率.
T(℃) 33.4
18.6 A(1,3.5)
3.5
o1
C(34,33.4) B(32,18.6) 气温曲线
高中选修１-１
高二数学备课组
-
任小勇
1
问题情境
某市2004年3月18日、4月18日、4
月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃、
33.4℃,气温曲线如图所示:
T(oC) 33.4
C(34,33.4)
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o1
32 34 t (d)
-
2
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
（3）[1，1.1]； 2.1
（4）[1，1.001]. 2.001
变题:（5）[0.9，1]； 1.9
（6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1
3
x
课后思考:为什么趋近于2呢- ？2的几何意义是什么？17
数学应用
例3 已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上 f(x)及g(x) 的平均 变化率.