《自动控制原理》中Nyquist稳定判据改进及教学方法研究

《自动控制原理》中Nyquist稳定判据
改进及教学方法研究
[基金项目]国家自然科学基金面上项目，具无穷维复频算子多智能体的函
数空间蜂拥与控制（61573001）；
国家自然科学基金青年基金项目，基于 2-D 模型的自主车队系统队列稳定
性分析及控制设计（61703137）
[作者简介]周军（1963~），男，汉，甘肃兰州人，日本京都大学工学博士，河海大学能源与电气学院教授，主要研究方向为控制工程与控制理论研究；
段朝霞（1989-），女，汉，四川广安人，南京理工大学工学博士，河海大
学能源与电气学院讲师，主要研究方向为自动控制理论及多维系统理论。

摘要：围绕《自动控制原理》中经典Nyquist稳定判据的教学重点和难点，本文对判据
条件进行了细化与分类，并基于复函数缩放理论进行了改进。

一方面，细化判据条件明确，
使用步骤具体；另一方面，改进判据条件摆脱了开环极点，Nyquist围线选型，Nyquist轨
迹绕行方向/正负次数确认等步骤。

新判据不仅是图形工具，且无需绘图即可进行稳定性数
值分析和解析分析，易于讲授和学习理解，使用步骤规范简洁。

通过数值仿真，举例说明了
主要结论及其使用方法，与经典Nyquist稳定判据对比，验证了新方法有效性和可行性。

关键字：自动控制原理；辐角原理；Nyquist判据；复函数缩放
一、引言
《自动控制原理》的Nyquist稳定判据（以下简称判据）是该课程基础而重要的部分。

是系统频率特性极坐标图扩张为Nyquist轨迹后，由开环特性判断闭环系统稳定性的典型方
法之一。

教学过程多安排频率特性定义及其极坐标图后[1-3]，并与稳定裕度分析密切相关。

依笔者数十年《自动控制原理》教学经历和经验，本科高年级学生能够完整深刻地理解Nyquist稳定性理论与方法特点的人数较少。

能够将这三方面都能清晰、准确地做出回答的
学生并不多。

基于笔者教学经验与感受，本文前半部分对经典Nyquist判据条件进行细化与分类，以
期课堂教学简明易懂和严谨细致并重。

结合近几年在各类系统稳定分析领域的最新研究成果[4,5]，本文的后半部分讨论利用复函数放缩理论对Nyquist判据条件进行松弛和简化，使之
不再涉及开环极点等先验知识，直接基于标准Nyquist围线映射的复缩放Nyquist轨迹，在
无需绕行正方向和次数条件下，实现闭环稳定性判定。

新判据不仅可以作为图形工具使用，
即实际绘出复缩放Nyquist轨迹后判断稳定性，而且无需绘图即可通过轨迹相角差是否为零
的数值计算判断稳定性；相角差条件还可作为复函数特性与稳定性的解析性质加以利用。

提
案的复缩放Nyquist判据条件涉及数学概念少，晦涩难懂的复变函数概念不直接出现在判据
条件中，教师易于讲授，学生易于理解，判据使用步骤无需分类，规范简便。

本文通过数值
仿真说明了主要结论及其使用方法，验证了方法的有效性和可行性。

二、Nyquist判据的教学问题点与学习难点
经典Nyquist判据的教学和学习中，教师和学生都不可避免使用如下的数学概念和基础
知识：复函数映射及其几何意义，复变函数的辐角原理和使用条件，包括有理分式复变函数，映射不穿越原点。

对非数学专业的本科生而言，就是需要他们对有理复分式函数定义与基本性质有代数和
几何两方面的理解。

但笔者的观察是，学生对辐角原理的一般只能在复函数几何意义上初步
理解。

Nyquist围线与Nyquist轨迹：包括Nyquist围线的定义方式与类型，绕行对应点
（复平面原点或者点），绕行正方向；Nyquist轨迹相对于围线绕行正方向的关联绕
行方向正负次数与意义。

对学生而言，针对不同开环极点分布，采用不同的Nyquist围线，使用不同判据条件是
造成他们概念混淆和理解困难的主要原因，也是向老师提问最多的知识点。

特别是，与围线
顺时针方向关联的轨迹逆时针正方向涉及复相量角度定义的理解，既增加了判据条件使用难度，又易形成概念歧义。

开环传递函数极点及其分布：包括选择Nyquist围线以避开虚轴极点的必要性，回避
方式（左小半圆/右小半圆绕行）的选择，虚轴极点的（不稳定/稳定极点）归类与计数，无
穷远处Nyquist轨迹的存在与绕行方向与相角估算。

对于学生而言，无穷远处频率特性的相角与绕行方向很难理解和描述。

他们一般能够理
解围线回避虚轴极点的必要性，但不同回避方式使同一虚轴（临界稳定）极点可同时视为不
稳定/稳定极点，使学生感到归类严格性欠缺，甚至相互矛盾。

只能作为图形工具使用，无法通过公式数值计算，更不能作为稳定性的解析性质加以
使用，导致其工程技术的应用价值不明确或实施操作的不方便。

对于学生而言，图形工具意味着需要编程序与计算机绘图。

本科生将复变函数表达为程
序语言时，若对辐角原理没有透彻理解，经典Nyquist判据图形工具正确使用概率极低。

三、Nyquist判据的教学问题点与学习难点
定理1.设反馈系统的开环传递函数位于-平面的虚轴上的极点数为，
而位于右半开平面内的极点数为，则有：
(i)若开环系统稳定（即），如果的Nyquist轨迹
不穿越点，且包围点的净次数（包括顺时针与逆时针方向）为零，那么闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。

(ii)若开环系统不稳定但无虚轴上极点（即），如果，的Nyquist轨迹不穿越点，且包围点的净次数（包括顺时针与逆时
针方向）是逆时针次，则闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。

(iii)若开环系统不稳定但有虚轴上的极点（即），采用Nyquist围线
（表示根据虚轴上极点分布而选择的围线，和的其中之一）并且形式上假设。

如果以定义的Nyquist轨迹不穿越点，且包围点的净次数
（包括顺时针与逆时针方向）是逆时针次，则闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。

四、复放缩Nyquist判据及其证明
1.复缩放Nyquist判据及其证明
经典Nyquist判据使用时需要对传递函数的复变函数概念和性质有清晰完整的理解；对Nyquist围线定义与分类，则需在了解开环传递函数的极点分布才能选定，相应Nyquist轨
迹计算和绘制都需要正确把握，否则，易引发稳定条件误用和稳定性误判。

为克服这些问题，本节借助复变函数放缩理论，对有关条件进行放松或移除，改进并论证得到如下的复放缩Nyquist判据。

定理2.设反馈系统的开环传递函数为，则如下判据条件成立。

(i)如果以，定义的Nyquist轨迹不穿越原点，且顺时针和逆时针包围原点的次数相同（即包围原点的净次数为零），则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。

(ii)如果以，定义的Nyquist轨迹穿越原点，则闭环系统至少是临界稳定的，甚至是不稳定的。

这里，为满足（为系统阶次）的任意Hurwitz多项式。

Nyquist 轨迹对原点的顺/逆时针方向可自定义，无需与标准Nyquist围线顺时针方向关联。

证明：显然，是闭环特征多项式。

沿标准Nyquist围线顺时针绕行意义下，对有理分式函数应用辐角原理，则有
其中，为在右半-平面的零点数；为在右半-平面内的极点数（，因为是给定Hurwitz多项式）；对应于沿着Nyquist围线的映射曲线的顺时针绕行次数，而对应于的逆时针绕行次数。

在第一个条件下，的总绕行次数成立。

从而，闭环系统是稳定的，当且仅当。

也就是说，以，定义的Nyquist轨迹包围原点的净次数为零。

第二条件意味着，。

换句话说，闭环特征多项式有虚轴上的极点，闭环系统至少是临界稳定的。

证毕
关于复放缩Nyquist判据，有如下理论特点：
(1)判据条件是充分必要的；判据条件与开环传递函数的极点分布无关；也就是说，该稳定判据适合于开环极点难于计算或不明确的系统，如高阶系统和时滞系统等；
(2)只需标准Nyquist围线和绘制Nyquist轨迹；特别是，Nyquist围线与轨迹间的所谓顺/逆时针绕行方向相互独立，绘图时可自行定义；
(3)复缩放因子是Hurwitz的且，，，一定是映射平面有界闭曲线而不包含位于无穷远处的曲线部分；另外，不是唯一的，以复放缩Nyquist轨迹也不唯一；
(4)如果相角函数在的相角差可以计算时，
是否成立即可判断稳定与否，无须绘制Nyquist轨迹；
2.算例与仿真验证
例1.设某负反馈系统的开环传递函数为
试用定理2判断闭环系统的稳定性。

解：这里，和。

选择复缩放多项式为，显然，且为Hurwitz的。

从而，
于是，开环增益给定后的的复放缩Nyquist轨迹如下各图所示。

图1.较小时的复放缩Nyquist轨迹
由图1可知，时的开环传递函数的复放缩Nyquist轨迹单向包围原点两
次，由定理2可知闭环系统是不稳定的。

(a)完整的复放缩Nyquist轨迹
(b)原点处的复放缩Nyquist轨迹
图2.为临界值附近时的复放缩Nyquist轨迹
由图2可知，时的开环传递函数的复放缩Nyquist轨迹单向包围原点两次，由定理2可知闭环系统是不稳定的；但当时的开环传递函数的复放缩Nyquist轨
迹不包围原点，由定理2可知闭环系统是稳定的。

图3.较大时的复放缩Nyquist轨迹
由图3可知，时的开环传递函数的复放缩Nyquist轨迹包围坐标均不包围原点，由定理2可知闭环系统是稳定的。

由图1至图3可知，开环增益较小时闭环系统是不稳定的，但开环增益较大时闭环
系统会保持稳定，这与使用定理1得到的结论是完全一致的。

五、结语
通过对经典Nyquist判据的细节梳理和分类讨论，本文明晰了在教学过程中常见问题与
错误的主要根源，有针对性地提出复放缩Nyquist判据加以解决。

本文对于《自动控制原理》课程的有关内容的教学与研究是有益的尝试和启发。

参考文献：
[1] 刘国海, 杨年法主编. 自动控制原理(第二版)[M]. 北京：机械工业出版社, 2018年.
[2] 刘文定, 谢克明主编. 自动控制原理(第四版)[M]. 北京：电子工业出版社, 2018年.
[3] 胡寿松. 自动控制原理(第七版)[M]. 北京: 科学出版社, 2019年.
[4] Jun Zhou, Stability analysis and stabilization of linear continuous-time periodic systems by complex scaling[J]. International Journal of Control, 2020, 93(9): 2053-2065.
[5] Jun Zhou, and Zhaoxia Duan, Partial and local argument properties of holomorphic and meromorphic complex functions in several variables[J]. Mathematical Problems in Engineering, 2019, Article ID 7971495.。