【高考模拟】2019-2020学年第一学期半期考试三校联考高三理科数学试卷及参考答案

高三理科数学试题 第1页（共9页）
2019－2020学年第一学期半期考试三校联考
高三理科数学试卷
(满分：150分；考试时间：120分钟） 命题人： 审核人：
学校 姓名 考生号
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}1|{≥=x x N ，则=N M （ ）
A.}42|{≤≤-x x
B.}1|{≥x x
C.}41|{≤≤x x
D.}2|{-≥x x 2.设R ∈θ，则“6
π
θ=
”是“2
1
sin =
θ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数⎩
⎨⎧>-≤=1,41,)(2
x x x e x f x ，则=)]2([f f （ ） A.e
1
B.0
C.e
D.1 4.函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的一个零点所在的区间是（ ）
A.)1,0(
B.)2,1(
C.)
3,2(
D.)4,3(
5.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为（ ）
A.3
B.2
C. 1
D.3- 6.已知02<<-
απ
，51cos sin =+αα，则αα2
2sin cos 1
-的值为（ ） A.57 B.725 C.257 D.25
24 E
A B
C
D
高三理科数学试题 第2页（共9页）
7.函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，在),0[+∞单调递增．若)2()(log 2-<f a f ，则实数a 的取值范围是（ ）
A.)4,0(
B.)41,0(
C.)
4,4
1
(
D.),4(+∞
8.将函数)62sin(π
-=x y 的图象向左平移4
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为
（ ）
A.3π
=
x B.6π=
x C.12π=x D.12
π
-=x
9.设直角坐标系xoy 平面内的三点(1,2),(,1),(,0)A B a C b ---，其中0,0a b >>，若,,A B C 三点共线，则
12
a b
+的最小值为（ ） A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
10.已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若2log log 7232=+a a ，则9T 的值为（ ）
A ．1024±
B ．1024
C ．512±
D ．512
11.函数)2
sin(41)(2π
--=x x x f ，)(x f '是)(x f 的导函数，则)(x f '的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数12ln ,y a x x e e
⎛
⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的图象上存在点P ,函数2
2y x =--的图象上存在点
Q ，且,P Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）
A. 23,e ⎡⎤⎣⎦
B. )
2
,e ⎡+∞⎣ C. 221
4,e e
⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦ D. 13,4e ⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.
13.设x y ，满足约束条件802020x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =-的最小值为 .
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14.设角θ的终边过点）（2,1，则=-)4
tan(π
θ .
15.已知()()3,2,1,0,a b =-=-向
量a b λ+与向量2a b -垂直，实数λ的值为 .
16.对于函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈=),,2(),2(2
1],2,0[,sin )(x x f x x x f π，有下列5个结论：
①∀1x ，),0[2+∞∈x ，都有2|)()(|21≤-x f x f ； ②函数)(x f y =在]5,4[上单调递减；
③)N )(2(2)(*
∈+=k k x f x f k
，对一切),0[+∞∈x 恒成立； ④函数x x f y ln )(-=有3个零点；
⑤若关于x 的方程)0()(<=m m x f 有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则321=+x x . 则其中所有正确结论的序号是 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.（本小题满分10分）
已知函数x b ax x f ln )(2
+=在1=x 处有极值2
1
. （Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.
18.（本小题满分12分）
已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =2b =．求ABC △的面积．
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19.（本小题满分12分）
已知数列{n a }满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{n a }的前n 项和，n ∈N. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）若数列{n b }满足31log n n n b a a +=⋅，求{n b }的前n 项和n T .
20.（本小题满分12分）
命题:p 函数⎩⎨⎧>-+-≤+-=m
x mx x m x m x x f ,22,
2)(2是减函数，命题]1,0[:∈∃x q ，使12-≤x m ，
若“q p ∨”为真命题，“q p ∧”为假命题，求m 的取值范围.
21.（本小题满分12分） 已知函数R ,4
1
cos )6sin(cos )(2∈+-+
⋅=x x x x x f π
. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数)(x f 在]4
,4[π
π-上的单调性.
22.（本小题满分12分） 已知函数2()ln x
m h x mx e x x
=-
--，2()3ln x p x e x =-. （Ⅰ）求函数)(x p 在区间]2,1[上的最大值；
（Ⅱ）设)()()(x p x h x f +=在)2,0(内恰有两个极值点，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）设x
e x q 2
)(=，方程)()()(x p x q x h -=在区间],1[e 有解，求实数m 的取值范围.
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2019－2020学年第一学期半期考试三校联考
高三理科数学试卷参考答案及评分标准
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. -2； 14.
31
； 15.17
-； 16.①③⑤. 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分） 【解析】（Ⅰ）x
b
ax x f +
='2)( 由题意⎪⎩⎪⎨⎧='=,0)1(,21)1(f f ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒,02,2101ln b a a b a ⎪⎩⎪⎨⎧-==
⇒1
21b a ；………..............................5分
（Ⅱ）函数定义域为),0(+∞（写x >0也可以得分）………...................................…6分
令01
0)(>-
⇒>'x x x
f 102>⇒>-⇒x x x ，∴单增区间为),1(+∞；...........8分 令01
0)(<-⇒<'x
x x
f 1002<<⇒<-⇒x x x ，∴单减区间为)1,0(.….........10分
18.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．…..........1分 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，
所以sin cos 0A A -=，…..............................................................................................3分 …..............................................................................................4分 又因为()0,πA ∈，…...........................................................................................................5分 …......................................................................................................................6分
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（Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，
….........................................................................................7分
即2
160c
-=．…....................................................................................................8分
解得c =-
（舍）或c =….............................................................................10分
所以12422
S =
⨯⨯=．….................................................................................12分 19.（本小题满分12分）
（Ⅱ）1
3n n b n -=⋅…..............................................................7分
0111323...3n n T n -=⨯+⨯++⨯
① ….................8分
11313...(1)33n n n T n n -=⨯++-⨯+⨯ ②….....................9分
①－②得：1213...33n n n T n --=+++-⨯
1311
3()3222n n n n n -=-⨯=---….......11分 11
()3244n n n T ∴=-+.
…......................................................12分
20.（本小题满分12分）
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【解析】若命题p 为真，则m m m m +-≤-+-22222，
12022≤≤-⇒≤-+⇒m m m …..........................................................................................2分
所以若命题p 为假，则1>m 或2-<m …..............................................................................3分 若命题q 为真，则0≤m …........................................................................................................5分 所以若命题q 为假，0>m …....................................................................................................6分 由题意知：q p ,两个命题一真一假，即p 真q 假或p 假q 真…..........................................8分 所以⎩⎨
⎧>≤≤-012m m 或⎩
⎨⎧≤-<>02
1m m m 或….................................................................................10分
所以10≤<m 或2-<m .…....................................................................................................12分
21.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由题意知4
1
cos )cos 21sin 23(
cos )(2+-+⋅=x x x x x f 4
1
)2cos 1(412sin 4341cos 21cos sin 232++-=+-⋅=
x x x x x )6
2sin(21cos 412sin 43π
-=-=
x x x …...............................................................................4分 ∴)(x f 的最小正周期ππ
==
2
2T …......................................................................................6分 （Ⅱ） )62sin(21)(π-=
x x f ，∴]4,4[ππ-∈x 时，]2
,2[2ππ-∈x ∴]3,32[62π
ππ
-
∈-
x ，…………8分
∴当22[,]632x πππ-∈--时，即[,]46x ππ
∈--时，()f x 单调递减；…......................10分
当2[,]6
23x π
ππ
-∈-
时，即[,]64
x ππ
∈-时，()f x 单调递增..…..................................12分
22.（本小题满分12分）
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【解析】（Ⅰ）23()2,(0)x p x e x x '=-
>，由223
[()]'40x p x e x
'=+>，可知'()p x 在[1,2]内单调递增，…............................................................................................................................2分
2()(1)230p x p e ''≥=->，故)(x p 单调递增.…..............................................................3分 )(x p ∴在]2,1[上的最大值为.4(2)3ln 2p e =-…..............................................................4分
（Ⅱ）)0(,ln 4)()()(>--
=+=x x x
m
mx x p x h x f ， 2
2244)(x m
x mx x x m m x f +-=-+='，
由题意知：042=+-m x mx 在)2,0(有两个变号零点， 即2
14x x
m +=
在)2,0(有两个变号零点 ….............................................................................6分 令2
14)(x
x
x g +=，222222)1(44)1(24)1(4)(x x x x x x x g ++-=+⋅-+='， 令10)(=⇒='x x g ，且)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；
)2,1(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，….....................................................................7分
又5
8)2(,2)1(,0)0(=
==g g g ，)2,58
(∈∴m …................................................................8分
（III ）x e x e x e x m mx x x
ln 3ln 222+-=
--- 22ln 4)1(e x x x m +=-∴
（ⅰ）1=x 时,
20e =不成立；….....................................................................................9分 （ⅱ）],1(e x ∈ 时, 1ln 422
-+=
x e x x m ， 设
1ln 4)(22
-+=
x e x x x r ， ()
()
2
2
22222
2
2212ln 844ln 4ln 412)ln 4()1)(1(ln 4)(----+-=
-⋅+--+=
'x
x
e x x x x x x x
x
e x x x x x r
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()
2
2
2221
4
2ln 4ln 44-----=
x
x e x x x x
()
2
2
221
)
4ln 4ln 4()24(-++--=
x
x x x e x x
242422<-≤-e e e x
0)(<'∴x r ，)(x r 在],1(e 在上为单调递减；
14)(2
2
-+=e e e e r
当1→x 时，+∞→)(x r 时
)
,14[)(22
+∞-+∈∴e e e x r
),1
4[22
+∞-+∈∴e e e m …..........................................................................................................12分
X 1 . c o m。