2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题28数列求和(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法
①等差数列的前n 项和公式
S n ＝n （a 1＋a n ） 2
＝na 1＋n （n －1）2
d ．
②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；
(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q
.
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
2．常见的裂项公式 (1)
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
.
(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.
(3)
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
高频考点一 分组转化法求和
例1、已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2
a 3
，S 6＝63.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2
n }的前2n 项和.
【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.
(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，
其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法
求{a n }的前n 项和.
【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
A.n 2
＋1－12n
B.2n 2
－n ＋1－12n
C.n 2
＋1－
12
n －1
D.n 2
－n ＋1－12
n
(2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( )
A.1 008
B.2 016
C.504
D.0
【答案】(1)A (2)A
－2
014，2 016.
故S 2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008. 高频考点二 裂项相消法求和
例2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，若d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d <S 9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
1
a n ＋1＋a n
(n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)因为d ，S 9为函数f (x )＝(x －2)(x －99)的两个零点且d <S 9，所以d ＝2，S 9＝99， 又因为S n ＝na 1＋
n n －
2
d ，所以9a 1＋
9×8
2
×2＝99，解得a 1＝3，{a n }是首项为3，公差为2的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)∵b n ＝
1
a n ＋1＋a n
＝
12n ＋3＋2n ＋1
＝1
2
(2n ＋3－2n ＋1)，
∴T n ＝12(5－3)＋12(7－5)＋…＋12(2n ＋1－2n －1)＋12(2n ＋3－2n ＋1)＝2n ＋3－32.
【举一反三】[2017·全国卷Ⅲ]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和．
【变式探究】正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝
n ＋1n ＋
2a 2
n ，数列 {b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *
，都有T n <564
. 解 (1)由S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0， 得[S n －(n 2
＋n )](S n ＋1)＝0.
由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2
＋n . 于是a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .当n ＝1时，a 1＝2＝2×1符合上式． 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ， 故b n ＝
n ＋1n ＋
2a 2n ＝n ＋14n 2
n ＋
2＝
116⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
n
2－1n ＋2
.
T n ＝
116[ 1－132＋122－142＋132－1
52＋…＋1
n －
2
－
1n ＋
2
＋1n
2－
1n ＋
2 ]
＝116[ 1＋122－1
n ＋
2
－
1n ＋
2 ]
<
116⎝
⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 【方法技巧】裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：
①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数
列，则
1
a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
a n －1a n ＋2. (2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．
高频考点三 错位相减法求和
例3、[2017·山东高考]已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b n a n 的前n 项和T n .
【特别提醒】用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
【变式探究】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *
)． (1)求m 的值；
(2)若数列{b n }满足a n
2
＝log 2b n (n ∈N *
)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和．
高频考点四 求数列{|a n |}的前n 项和问题
例4、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；
(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
【方法技巧】求数列{|a n|}前n项和的一般步骤
第一步：求数列{a n}的前n项和；
第二步：令a n≤0(或a n≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n项和；
第四步：用分段函数形式表示结论；
第五步：反思回顾，即查看{|a n|}的前n项和与{a n}的前n项和的关系，以防求错结果．【变式探究】已知数列{a n}的前n项和S n＝12n－n2.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.
解(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝11；
当n≥2时，S n＝12n－n2，S n－1＝12(n－1)－(n－1)2，
∴a n＝S n－S n－1＝13－2n；
当n＝1时也满足此式成立，
故a n 的通项公式为a n ＝13－2n .
(2)令a n ＝13－2n ≥0，n ≤132.当n ≤6时，数列{|a n |}的前n 项和T n ＝S n ＝12n －n 2
；
当n >6时，a 7，a 8，…，a n 均为负数，故S n －S 6<0， 此时T n ＝S 6＋|S n －S 6|＝S 6＋S 6－S n ＝72＋n 2
－12n .
故{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
12n －n 2
，n ≤6，n 2
－12n ＋72，n >6.
1. （2018年天津卷）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *
）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．
（Ⅰ）求S n 和T n ；
（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)4.
，故，所以，．
（II ）由（I ），有
由可得
，
整理得
解得
（舍），或
．所以n 的值为4．
2. （2018年北京卷）设是等差数列，且
.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求.
【答案】（I ） （II ）
【解析】（I ）设等差数列的公差为，
∵， ∴
，
又，∴.
∴.
（II）由（I）知，
∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴
.
∴
3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
【答案】（1）d的取值范围为．
（2）d的取值范围为，证明见解析。

4. （2018年全国卷Ⅱ）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求
的通项公式；
（2）求，并求的最小值． 【答案】 （1）a n =2n –9．
（2）–16．
【解析】
（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2，所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16，所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
5. （2018年全国I卷）已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．
(2) {b n}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.
(3) a n=n·2n-1．
6. （2018年全国III卷）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得
（舍去），或．
故或
． （2）若，则
．由
得，此方程没有正整数解． 若
，则．由
得
，解得
，综上，
．
1．[2017·全国卷Ⅲ]等差数列{}a n 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}a n 前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8 【答案】A
【解析】由已知条件可得a 1＝1，d ≠0， 由a 2
3＝a 2a 6可得(1＋2d )2
＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2. 所以S 6＝6×1＋
－2
＝－24.故选A.
2．[2017·全国卷Ⅱ]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则
k ＝1
n
1
S k ＝________. 【答案】
2n n ＋1
3．[2017·天津高考]已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *
)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，
b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *
)．
4.【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2a b a b =-=+=
(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 【答案】（1）（2）见解析
【解析】 解： 设
的公差为d ，
的公比为q ，则
,
.由
得
d+q=3. ①
由得
②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式
由得.
解得
当时，由①得，则. 当
时，由①得
，则
.
5.【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和.
【答案】(1) ()
221n a n N n +=∈-；(2)
221
n
n + . 【解析】
6.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){ b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2n
n a =.（Ⅱ）25
52n n
n T +=-
. 【解析】
7.【2017北京，文15】已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -+++
+．
【答案】（Ⅰ）21n a n =- ；（Ⅱ）31
2
n -.
【解析】
1.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足
12111
==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，,.
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和. 【答案】（I ）31n a n =-（II ）
1
31
.223n --⨯ 【解析】（Ⅰ）由已知，1221121
,1,,3
a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和11n n n n a b b nb +++= 得13n n b b +=
，因此{}n b 是首项为1，公比为1
3
的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则11
1()313.122313n
n n S --==-⨯-
2.【2016高考新课标2文数】等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）23
5
n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】
3.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =. （1）求}{n a 的通项公式；
（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.
【答案】（1）21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）；（2）2
31
2
-+n n
【解析】
（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比329
33
b q b =
==， 所以2
11b b q
=
=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ．
4.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（I ）求数列{}n b 的通项公式；
（II ）令1
(1)(2)
n n n n
n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ;（Ⅱ）223+⋅=n n n T 【解析】
（Ⅰ）由题意知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ，符合上式，所以56+=n a n .
设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
12)1(3)
33()66(=-⋅+=++=n n
n n n n n c ， 由n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得231
3[2232(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
34223[2232(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
两式作差，
得2
3
4
1
2
224(21)
3[22222(1)2
]3[4(1)2]3221
n n n n n n T n n n ++++--=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅-.
所以223+⋅=n n n T
5.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；
（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.
【答案】（I ）1*
3,n n a n N -=∈；（II ）2*
2,13511,2,2
n n n T n n n n N =⎧
⎪=⎨--+≥∈⎪
⎩.
【解析】
所以，2*
2,1,3511,2,2
n n n T n n n n =⎧⎪
=⎨--+≥∈⎪
⎩.N 【2015高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．
【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.
【2015高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（Ⅰ）1
2n n a -=（Ⅱ） 1122
21
n n ++--
【解析】
（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ， 又941=+a a ， 可解的⎩⎨
⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1
8
41a a （舍去）
由3
14q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q
a a .
（Ⅱ）122
1211)1(1-=--=--=
n n
n n q q a S 又11111
11n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
==-
所以1113221211
111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n n
n n S S S S S S S S b b b T
1
2111--
=+n .
【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭
的前n 项和为
21n
n +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）设()12n a
n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 1
4(31)4.9
n n n T ++-⋅=
【解析】
【2015高考重庆，文16】已知等差数列{}n a满足3a=2，前3项和3S=9
2
.
(Ⅰ)求{}n a的通项公式，
(Ⅱ)设等比数列{}n b满足1b=1a，4b=15a，求{}n b前n项和n T.
【答案】（Ⅰ）
+1
=
2
n
n
a，（Ⅱ）21
n
n
T=-.
【解析】。