用空间向量求点到平面的距离(人教A版)(含答案)

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用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时) 高中数学新教材人教A版

)
A1
A
E
C
B
A
在直角三角形中,易求得 BD1
6
,
2
5
，设向量BD1 与AF1
2
BD1 ⋅AF1
30
10
=
AF1 =
的夹角为θ,则直线BD1与AF1 ，所成
角的余弦值为|cos θ | ,则 cos θ
=
BD1 AF1
=
课堂检测
1.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°D1, F1分别是A1B1，A1C1
则
，
·=0
+ =0
⇒
，
x
+
z
=
0
根据这个不定方程组，可以求得
若取z=1，则x=−1，y=−1，所以n=(−1，−1，1)是
平面的一个法向量.
一个法向量n=(x0，y0，z0).
若取z=−2，则x=2，y=2，所以n=(2，2，−2)是平
面的另一个法向量.
n
α
a
b
求得的n=(x0，y0，z0)是法向量中的一个，不是所有的法
Q
P
B
R
C1
B1 y
A1
x
分析：因为平面
PQR与平面A1B1C1
的夹角可以转化为平
面 PQR与平面
A1B1C1的法向量的
夹角，所以只需要求
出这两个平面的法向
量的夹角即可．
例题精讲 ——例
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为
z
C
P
BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR

点到面距离空间向量公式

点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。

- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。

- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。

- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。

2. 公式应用示例。

- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。

- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。

- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。

- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。

- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。

- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。

3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。

- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。

- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。

在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。

- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。

如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。

用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修

(1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？
1、异面直线的夹角
范围：[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些问题呢？
课后作业
课时作业（四）A组：教材P43第9、10题 B组：教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求（1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值（2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值（3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
课堂小结
1、向量法求点到直线（平行直线）的距离． 2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面）的距离． 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角．
范围：[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围：[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，

第1课时用空间向量研究距离问题高中数学人教A版选择性必修第一册课件

A(0,0,0),C(1,1,0),N 1,0,
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1

2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?

||
· ·
·

新教材高中数学空间向量的应用1.4.2第1课时距离问题学案新人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习任务核心素养1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点)2.能描述解决距离问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点、易混点)空间中点、线、面距离的相互转化,培养直观想象和数学运算素养.立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通,而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通,并安全地通过交叉路口,1928年,美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年,芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年,瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此,城市交通开始从平地走向立体．在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离,工程师如何计算出来？如图,直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点．设AP →＝a ,则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a·u )u .在Rt △APQ 中,由勾股定理,得点P 到直线l 的距离为PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－(a ·u )2.如何用向量的方法求两条平行线的距离？[提示] 两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离．1.已知直线l 过定点A (2,3,1),且方向向量为s ＝(0,1,1),则点P (4,3,2)到l 的距离d 为( )A ．322B ．22C ．102D ．2A [AP →＝(2,0,1),由点到直线的距离公式得d ＝|AP →|2－|AP →·s |s ||2＝5－⎝⎛⎭⎫122＝322.]知识点2 点P 到平面α的距离如图,已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP →在直线l 上的投影向量QP →的长度．因此PQ ＝⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝|AP →·n ||n |.2.已知平面α的一个法向量为n ＝(－2,－2,1),点A (－1,3,0)在平面α内,则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________．103[由题意知,AP →＝(－1,－2,4),|n |＝(－2)2＋(－2)2＋1＝3, AP →·n ＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10, ∴点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |＝103.]类型1 点到直线的距离【例1】已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1C ,D 1A 1的中点,求点A 到EF 的距离．[解] 以D 点为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示,设DA ＝2,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),则EF →＝(1,－2,1),F A →＝(1,0,－2)．|EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6,|F A →|2＝5,F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1, F A →在EF →上的投影向量的长度为|F A →·EF →||EF →|＝16.所以点A 到EF 的距离d＝|F A →|2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系,并求相应点的坐标． (2)求出直线的方向向量a 的坐标,并求|a |2.(3)求以直线上某一特殊点为起点,所求点为终点的向量b 的坐标,并求|b |,计算a·b |b |. (4)利用|a |2－⎝⎛⎭⎫a·b |b |2求点到直线的距离．[跟进训练]1.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′,AB ＝1,BC ＝2,AA ′＝3,求点B 到直线A ′C 的距离．[解] 因为AB ＝1,BC ＝2,AA ′＝3,所以A ′(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0),所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1,2,－3)．CB →＝(0,－2,0),|A ′C →|＝14,|CB →|2＝4,所以CB →在A ′C →上的投影向量的长度为|CB →·A ′C →||A ′C →|＝414,所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C →|A ′C →|2＝4－1614＝2357. 类型2 点到平面的距离【例2】 (对接教材P 34例题)如图,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,AB ＝23,求点A 到平面MBC 的距离．[解] 取CD 的中点O ,连接OB ,OM ,则OB ⊥CD ,OM ⊥CD ,又平面MCD ⊥平面BCD ,所以MO ⊥平面BCD ．以O 为坐标原点,分别以直线OC ,BO ,OM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ,如图所示．因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,所以OB ＝OM ＝3,则O (0,0,0),C (1,0,0),M (0,0,3),B (0,－3,0),A (0,－3,23),所以BC →＝(1,3,0),BM →＝(0,3,3),BA →＝(0,0,23)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BC →，n ⊥BM →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋3z ＝0，取x ＝3,可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3,－1,1)．又BA →＝(0,0,23),所以所求距离d ＝|BA →·n ||n |＝2155.试总结用向量法求点到平面距离的步骤？[提示][跟进训练]2．如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是A 1B 1,CD 的中点,求点B 到截面AEC 1F 的距离．[解] 如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),F ⎝⎛⎭⎫0，12，0,E ⎝⎛⎭⎫1，12，1,B (1,1,0),∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1,AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0. 设平面AEC 1F 的一个法向量为n ＝(1,λ,μ), 则n ·AE →＝0,n ·AF →＝0,∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝0，－1＋12λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－1，∴n ＝(1,2,－1)．又∵AB →＝(0,1,0),∴点B 到截面AEC 1F 的距离d ＝|AB →·n ||n |＝26＝63.类型3 直线和平面、平面和平面的距离【例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,M ,N 分别为A 1B 1,AD ,CC 1的中点,判断直线AC 与平面EMN 的关系．如果平行,求出AC 与平面EMN 之间的距离；如果不平行,说明理由．[解] 以D 为原点,DA →,DC →,DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系．则M (1,0,0),E (2,1,2), N (0,2,1),A (2,0,0), C (0,2,0), 所以ME →＝(1,1,2), MN →＝(－1,2,1), AC →＝(－2,2,0)．设平面EMN 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·ME →＝x ＋y ＋2z ＝0，n ·MN →＝－x ＋2y ＋z ＝0，令z ＝1,则得n ＝(－1,－1,1)．因为AC →·n ＝(－2)×(－1)＋2×(－1)＋0×1＝0,所以AC →⊥n ,又因为点A 显然不在平面EMN 内,所以AC 与平面EMN 平行．又因为MA →＝(1,0,0),所以|n ·MA →||n |＝|(－1)×1＋(－1)×0＋1×0|(－1)2＋(－1)2＋12＝33, 因此点A 到平面EMN 的距离为33,这也是AC 与平面EMN 之间的距离．直线与平面、平面与平面距离的求法(1)建立空间直角坐标系,求相应点的坐标． (2)求出直线的方向向量,平面的法向量．(3)先证明直线与平面、平面与平面平行,然后把所求距离转化为点到平面的距离． (4)求出点到平面的距离即为所求距离．[跟进训练]3.在直三棱柱中,AA 1＝AB ＝BC ＝3,AC ＝2,D 是AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求直线B 1C 到平面A 1BD 的距离．[解] (1)证明：连接AB 1交A 1B 于点E ,连接DE .⎭⎪⎬⎪⎫DE ∥B 1C ，DE ⊂平面A 1BD ⇒B 1C ∥平面A 1BD ．(2)因为B 1C ∥平面A 1BD ,所以B 1C 到平面A 1BD 的距离就等于点B 1到平面A 1BD 的距离．如图建立坐标系, 则B 1(0,22,3), B (0,22,0),A 1(－1,0,3), DB 1→＝(0,22,3), DB →＝(0,22,0), DA 1→＝(－1,0,3)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),所以⎩⎨⎧22y ＝0，－x ＋3z ＝0，所以n ＝(3,0,1)．所求距离为d ＝|n ·DB 1→||n |＝31010.1．已知A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),则点A 到直线BC 的距离为( ) A ．223 B ．1 C ．2 D ．22A [∵A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),AB →＝(1,0,0),BC →＝(－1,2,－2), ∴点A 到直线BC 的距离为d ＝|AB →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|BC →|2＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.]2．若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直,且满足P A ＝PB ＝PC ＝1,则点P 到平面ABC 的距离是( )A ．66 B ．63 C ．36D ．33D [分别以P A ,PB ,PC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1), 则d ＝|P A →·n ||n |＝33.]3．两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1),且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1),则两平面间的距离是( )A ．32B ．22C ． 3D ．32B [∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1),OA →＝(2,1,1),且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1),∴两平面间的距离d ＝|n ·OA →||n |＝|－2＋0＋1|2＝22.故选B ．]4．已知直线l 经过点A (2,3,1),且向量n ＝(1,0,－1)所在直线与l 垂直,则点P (4,3,2)到l 的距离为________．22[因为P A →＝(－2,0,－1),又n 与l 垂直, 所以点P 到l 的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.]5．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．32[如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),M ⎝⎛⎭⎫1，1，12,A (1,0,0), ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12,AC →＝(－1,1,0),AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1,则y ＝z ＝1,∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32.又MN →綊12AD 1→,故MN ∥平面ACD 1,故直线MN 到平面ACD 1的距离为32.]回顾本节知识,自我完成以下问题：(1)用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？[提示] 已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点,则点P 到直线l 的距离为|AP →|2－(AP →·u )2.(2)用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？[提示] 已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,则点P 到平面α的距离是|AP →·n ||n |.(3)如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？[提示] 先证明直线和平面平行,平面和平面平行,然后把所求距离转化为点到平面的距离,最后利用点到平面的距离公式求解．。

用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)高二数学 (人教A版2019选择性必修第一册)

二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是1 和2 ，则平面α与
平面β的夹角即为向量1 和2 的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ
＝|cos〈1 ，2 〉|＝
1 ∙2
1 2
.
【说明】二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角．在两个半平面内，各
所以PB//平面ACN；

=

1
=2
（三）典型例题
（2）由PD ⊥平面ABCD，∠ = 90°.
以 D 为原点，以DA,DC ,DP 分别为, , 轴建立空间直角坐标系,如图.
由PD=3，PN=2ND，BC=2AD=2DC=3
3
2
3
2
则 N(0,0,1) , A( , 0,0), C(0, , 0),P(0,0,3)
∙

.
3
【做一做】已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈，〉＝－ 2 ，则l与α所成
的角为( B )
A．30° B．60° C．150° D．120°
（二）用空间向量研究夹角
∙

【思考】设平面α的斜线l的方向向量为，平面α的法向量为，l与α所成的角的公式为什么不是cosθ＝
由（1）易知CD⊥平面AA1B1B，且 CD= 3．
如图，以B为原点，分别以射线BA，BA1为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
【做一做】平面α的法向量 1 为(1,0，－1)，平面β的法向量 2 为(0，－1,1)，则平面α与平面β

的夹角为_______．
3

用空间向量研究直线、平面位置关系-空间中点、直线和平面的向量表示高中数学新教材人教A版

进一步地，如图(2)，取定空间任意一点O，可以
得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实
数x，y使
= + + ③
我们把③式称为空间平面 ABC的向量表示式，
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不
共线向量唯一确定.
我们知道,给定空间一点A和一条直线l，则过点A
且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，
设 =(x,y,z)是平面MCA1的法向量，
于是 =(2,3,3）是平面MCA1的一个
则 ⊥ ， ⊥
法向量.
1
1
1
1
y
课堂检测
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
√
×
√
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;
(
)
(2)若v是直线l的方向向量,则λ(λ∈R)也是直线l的方向向量;
C
D
CC1=2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在
B
直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A
C
D
.
(1）求平面BCC1B1的法向量;
B
M
A
x
(2)求平面MCA1的法向量.
解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B，所以
∙ = − + =
n=(0,1,0)是平面 BCC1B1的一个法向量.
组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先
要用向量表示空间中的点,直线和平面.
思考
如何用向量表示空间中的一个点坐标？
如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用

高中数学第一章空间向量与立体空间向量研究距离、夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册

，1 2
，1 2
，故
PB
DE 0 1 1 0 . 22
所以 PB DE .
由已知 EF PB，且 EF DE E ，所以 PB 平面 EFD.
25
（3）解：已知 PB EF ，由（2）可知 PB DF ，故 EFD 是平面 CPB 与平面
PBD 的夹角. 设点 F 的坐标为 (x ，y ，z) ，则 PF (x ，y ，z 1) .
2
2
设向量 CN 与 MA 的夹角为，
则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于| cos | .
13
步骤二：进行向量运算
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA
CB 1 CD
CA 1 CD
CB
2
4
2
4
11111. 2848 2
又 △ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以| MA | | CN | 3 . 2
则 n2 n2
PQ PR
0 0
，所以
2x y
y
2z
z 0
0
，所以
x y
3z 2 2z
.
取 n2
(3，4 ，2) ，则 cos n1 ，n2
n1 n1
n2 (0 ，0 ，1)
n2
1
(3，4 ，2) 2 29 .
29Biblioteka 29步骤三：回到图形问题
设平面
PQR
与平面
A1B1C1 的夹角为
，则 cos
设
m
(x,
y,
z)
是平面
A1BE
的法向量，则

用空间向量研究距离、夹角问题(一)(人教A版2019选修一)高二数学

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1， 3 )，A( B(0,2,0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3)， O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
3 ，0,0)，A1(
3 ，1，
3 )，
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||
系？
条件
平面α，β的法向量分别为 u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
θ＝π－φ cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( × ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|.( × ) (3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量A→B的长度．( × ) (4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1， n2，则θ＝〈n1，n2〉．( × )
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则 C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4) ∴A→D＝(0,4,0)，C→D＝(－2,2,0)，C→F＝(0，－2,4) 设n＝(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则

高中数学-人教A版-必修第一册-第一章-空间向量的应用-1.4.2 用空间向量研究中距离、夹角问题

(2)转化法：如图，过其中一条异面直线 b 上的一点 A 作与另一条直线 a 平行的直线 a1，于是异面直线的距离就可转化为直线 a 到平面 α 的距离，最后可转化为在直线 a 上取一点到平面 α 的距离，从而可借用向量的射影法求解；
(3)最值法：在两条异面直线 a，b 上分别任取两点 A，B，建立―A→B 的模的目标函数，函数的最小值即为所求．
[跟踪训练] 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1C，D1A1 的中点，求点 A 到 EF 的距离．解：以 D 点为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 DA＝2，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，
令 z＝1，得 y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．
―→
∴点
D1
到平面
A1BD
的距离
d＝|A1D|n1| ·n|＝
1＝ 3
3 3.
∵平面 A1BD 与平面 B1CD1 间的距离等于 D1 到平面 A1BD 的距离，
∴平面
A1BD
与平面
B1CD1
间的距离为
3 3.
题型三两异面直线间的距离 [例 3] 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面 ABCD， PA＝3AB＝3a，求异面直线 AB 与 PC 的距离．
∴PB 与平面 CEF 间的距离 d＝|n·―|nP|→E |＝－43a－5 23a＝255a，
从而异面直线
PB
与
CE
的距离为2
5
5 a.
【随堂检测】
1．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2，1，1)，且两平面的一个法向量 n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )

【课件】用空间向量解决距离问题(第1课时)(人教A版2019选修第一册)

到平面A1BD的距离.
如图建立坐标系,
则 B1(0,2 2,3),
B(0,2 2,0),A1(-1,0,3),
1 =(0,2 2,3),
=(0,2 2,0),
1 =(-1,0,3).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
所以 2 2 = 0,
- + 3 = 0,
所以 n=(3,0,1).
6
6
2
=
29
6
=
174
6
.
思考类比点到直线的距离的求法,如何求两条平
行直线之间的距离
解已知平面α的法向量为n，
A是平面α内的定点,P是平面外的一点α外的一点
过点P做平面α的垂线l,交平面α与点Q
n
则n是直线l的方向向量,
且点P到平面α的距离就是 AP 在直线上
A
的投影向量QP 的长度,因此
PQ AP
所以直线A1C1的方向向量
1 1 =(-4,3,0),1 =(0,3,1),
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
2
1 1
d= |1 | - 1 ·|
1 1 |
2
= 10-
9 2
5
=
13
5
.
例1中的条件不变,若M,N分别是A1B1,AC的中点,试求点C1到直线MN的距离.
解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略).
1 =(0,2 2,3),
=(0,2 2,0),
1 =(-1,0,3).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
所以 2 2 = 0,
- + 3 = 0,
所以 n=(3,0,1).

用空间向量研究距离、夹角问题 (第一课时)高中数学新教材人教A版

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利
用这些条件求点P到直线l的距离?
如图，向量AP在直线l上的投影向量为AQ，则△APQ
u
是直角三角形，因为A，P都是定点,所以|AP|，AP与u的
夹角∠PAQ都是确定的．于是可求|AQ|．再利用勾股定
理,可以求出点P到直线l的距离PQ.
2
2
所以AB=(0,1,0)，AC1=(-1,1,-1)，AE=(0,0，-1)，EC1=(-1,1,0)，
FC=(-1,2,0)，AF=(0,2,0).
(1)取a=AB=(0,1,0)， u=
1
AC1
3
3
= (-1,1,-1),则2 =1,a∙ =
C1 y
D1
3
3
1
3
6
3
所以，点B到直线AC1的距离为 2 − ( ∙ )2 = 1 − = .
A1
(2)求直线FC1，到直线AE的距离;
B1
E
D
(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
A
x
C1
F
C
B
y
例题精讲 ——变式练习1
z
D1
(2)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为线段 DD1
的中点，F为线段BB1的中点
(1)求点A1到直线B1E的距离;
(3)求点A1到平面AB1E的距离;
C
D
的中点，F为线段AB的中点.
A
F
B

(1)求点B到直线AC1的距离;
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:以D为原点，D1A，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、

1.4.2.1用空间向量研究距离问题课件高二上学期数学人教A版选择性

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
问题1：空间中除了平行、垂直问题外还有什么问题呢？这
些问题是否也可以用空间向量解决？
距离
夹角
两点间点到线点到面线线线面面面
线线角线面角面面角
a
b
a
a
a cb (1)
a
a
cl
(2)
问题3:如何用空间向量解决点到直线的距离问题？
P
A
Ql点到线的距离PnAQl
问题5：如何用空间向量解决点到平面的距离问题？
l
P
A
Q
α
点到面的距离
l P
αA
Q
问题6：直线和平面平行，则线面距离如何求解？
平行的线面距离
点到平面距离
P
l
α
问题7：两平行平面的距离如何求解？
平行的平面距离
点到平面距离
P β
α
问题7：两平行平面的距离如何求解？
平行的平面距离
点到平面距离
P
A
Q
l
问题4：两条平行线间的距离应该如何表示？
平行线间距离
点到直线距离
P l2
A
Q
l1
练习
1、已知直线 l 经过点A(2,3,1)，若向量u=(1,0,-1)是直线 l 的方向向量，则点P(4,3,2)到 l 的距离为_____
P
AQ
l
变形：已知直线 l 经过点A(2,3,1)，若向量n=(1,0,-1)所在直线与 l 垂直，则点P(4,3,2)到 l 的距离为_____
P β
α
向量方法求距离的相关公式
距离问题两点间的距离
点到直线的距离

数学人教A版2019选择性必修第一册1

(3)若平面//平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距
离，也可转化为平面内某点到平面的距离.（）
答案：×，√，√.
例析
例6.如图，在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中，为线段
1 1 的中点，为线段的中点.
(1)求点到直线1 的距离；(2)求直线到平面1 的距离.
1.4.2 用空间向量研究距
离、夹角问题
(第1课时：用空间向量研究距离
问题)
复习引入
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及
两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？
下面我们先研究用向量方法求直线外一点到直线的距离.
问题1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何
练习
变1.在长方体 − 1 1 1 1 中， = 2， = 3，1 = 2，求1 到直线
的距离.
解：建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0)，1 (0,0,2)，
1 (4,0,1)，(0,3,0)，∴1 = (−2,0,2)， = (−2,3,0)，
外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线
的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上投影向量
的长度.因此
= | ∙

|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
新知探索
思考2：类似地，请同学们研究如何求平行于平面的直线到平面的距离？两个平
行平面之间的距离呢？
解：以1 为原点，1 1 ，1 1 ，1 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图
1
所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，1 (0,1,0)，(1, , 0)，