理学概率论与数理统计教程茆诗松第7章
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一对应的。
7.2.2 两个正态总体均值差的检验
检验 法
u检 验
t检 验
条 原假 件 设H 0
1, 2
已 知
1, 2
未 知
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
备择 检验统 假设 H 1 计量
拒绝域
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x y { u u 1 }
设承受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8， 问能否承受这猜测？
解：这是一个假设检验的问题，总体X ~N(2),
检验假设: H 0: 8v .s. H 1: 8
这个双侧检验问题的拒绝域为
|u|u1/2
取置信水平 ，那么查表知 u。
用观测值可计算得
x 8 0 1 5 ,u 5 8 .1 5 8 0 .2 1 .6 7 7 1
W |x0| snt1/2(n1)
它可以改写为
W xs n t1 /2 (n 1 )0 xs n t1 /2 (n 1 )
并且有 P0 (W) 1, 这里0并无限制.
假设让 0 在(- )内取值，就可得到
置信区间： x
s n
t1/2(n1)
的1-
反之假设有一个如上的1- 置信区间，也可获得
u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设， 即承受原假设，可认为猜测成立。
二、 未知时的t 检验
由于 未知，一个自然的想法是将〔7.2.4〕中
未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验
统计量
t n x 0 s
(7.2.9)
三种假设的检验拒绝域分别为
tt1n1, t tn1, |t|t1/2n1 .
➢ 当备择假设 H 1在原假设 H 0 一侧时的检验称 为单侧检验；
➢ 当备择假设 H 1 分散在原假设 H 0 两侧时的检验 称为双侧检验。
单个正态总体均值的检验 一、 时的u 检验
设 x1, , xn 是来自N ( , 2 )的样本，考虑关于
的检验问题。检验统计量可选为 u x 0 / n
那么称该检验是显著性水平为 的显著 性检验，简称水平为 的检验。
四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。 在例中，假设取 =0.05,
由于g()关于 单调减，只需要
g(110)5(c4110)0.05
成立即可。这给出c 的值为 c 1 1 0 0 .8 u 0 .0 5 1 1 0 0 .8 1 .6 4 5
t = 5239.5240 0.4=2.7951
由于，故拒绝原假设， 认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。
表7.2.1 单个正态总体的均值的检验问题
检验 法
条 件
原假 备择 设 H 0 假设 H 1
检验统 计量
拒绝域
u检 验
t检
验 {uu xu 1 } 0
{u
u
/
}
n
{ | u | u 1 / 2 }
称为检验或检验法那么。
7.1.2 假设检验的根本步骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设称为 原假设，用 H 0 表示，通常将不应轻易加以否 认的假设作为原假设。当 H 0 被拒绝时而接收 的假设称为备择假设，用 H 1 表示，它们常常 成对出现。
在例中，我们可建立如下两个假设：
H0 : 110 v s H1:110
g 1 n 0 u 1 / 2 n 0 u 1 / 2
7.2.1(b)(c) g ( ) 的图形
例 从甲地发送一个讯号到乙地。设乙地接
受到的讯号值服从正态分布 N(,0.22),其中
为甲地发送的真实讯号值。现甲地重复发送同 一讯号5次，乙地接收到的讯号值为
x y
1 2 u 1 2
s
2 x
s
2 y
mn
{u u1 } {u u } { | u | u 1 / 2 }
近似 t检 验
1, 2
未知 m,n不 很大
1 2 1 2 1 2
1 2 t x y {t t1 (l 1)}
1 2
s
2 x
s
2 y
{t t (l 1)}
查表知 t0.95(15)1.7531, 由于 t t0.95(15)
故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著 提高。
正态总体方差的检验 一、单个正态总体方差的检验
设x1, , xn 是来自N ( , 2 )的样本，对方差亦可考 虑如下三个检验问题：
H 0: 20 2 v sH 1: 20 2 H 0: 20 2 v sH 1: 20 2 H 0: 20 2 v sH 1: 20 2
(1) 是参数估计问题吗？ (2) 答复“是〞还是“否〞 ，假设检验问题。 (3) 命题“合金平均强度不低于110Pa〞正确 与
否仅 涉0及{如:下两110 个}参数集1合{：:110}
这两个非空参数集合都称作统计假设， 简称假设。
(4) 我们的任务是利用样本去判断假设 〔命题 〕 0
“ 〞是否成立。这里的“判断〞在统计 学中
二、选择检验统计量，给出拒绝域形式
由样本对原假设进展判断总是通过一个统计量 完成的，该统计量称为检验统计量。使原假设 被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，一
般用W 表示，在例中，样本均值 愈大x ，意味
着总体均值 也大，因此，合理的拒绝域形如
W { (x 1 , ,x n ):x c } { x c }
理学概率论与数理统计教程茆诗松 第7章
§ 假设检验的根本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
例 某厂生产的合金强度服从 ，N其(中,16) 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进展,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金， 测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
检验的拒绝域为 W{x108.684}
假设 u x 110
令
4/5
那么拒绝域有另一种表示:
W { u u 0 .0 5 } { u 1 .6 4 5 }
五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断：
➢ 当 x108.684或 u1时.6，45那么拒绝 H 0
➢ 即接收H 1 ；
1 2
m n { | t | t1 / 2 (l 1)}
ls04/m2smx41n2sn4y1,
s02 sx2 /ms2y /n
例 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而 试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为 8和9的样本，测得其硬度为 镍合金： 76.43 76.21 73.58 69.69
0 0
已 0 0 知 0 0
0 0
未 0 0 知 0 0
u x 0 / n
{u u1 } {u u } { | u | u 1 / 2 }
t
x 0 s/ n
{t t1 (n 1)} {t t (n 1)}
{| t | t1 /2 (n 1)}
铜合金： 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61
根据经历，硬度服从正态分布，且方差保持不变。 试在显著性水平 下判断镍合金的硬度是否有明 显提高。
解：用X 表示镍合金的硬度，Y 表示铜合金的硬
度，那么由假定，X~N(1,2), Y~N(2,2).
要检验的假设是：H 0:12 v s H 1:12
三种假设的拒绝域形式分别见以下图：
W{uc} W{uc} W {uc1或 uc2}
(a) H1 :0 (b) H1 :0 (c) H1 :0
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
下面以 H 0: 0 v s为H 例1:说 明 ：0
由 P0uc可推出具体的拒绝域为 Wuu1
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布
u
2 1
2 2
{u
u }
m n { | u | u 1 / 2 }
t x y {t t1 (m n 2)}
sw
1 1 {t t (m n 2)} m n {| t | t1 /2(m n 2)}
大样 本检 u验
1, 2
未知 m,n充
分大
1 2 1 2 1 2
1 2
关于 H0 : 的 水0 平为 的显著性检验。
所以: “正态均值 的1- 置信区间〞与“关于
H0 : 0 的双侧检验问题的水平 的检
验〞是一一对应的。
类似地，“参数 的1- 置信上限〞与“关
于 H0 : 0的单侧检验问题的水平 的 检验是〞一一对应的。
参数 的1-置信下限与另一个单侧检验也是一
正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个 结论一样，用一个样本〔例子〕不能证明一个 命题〔假设〕是成立的，但可以用一个例子 〔样本〕推翻一个命题。因此，从逻辑上看， 注重拒绝域是适当的。事实上，在“拒绝原假 设〞和“拒绝备择假设〔从而接收原假设〕〞 之间还有一个模糊域，如今我们把它并入接收 域，所以接收域是复杂的，将之称为保存域也 许更恰当，但习惯上已把它称为接收域，没有 必要再进展改变，只是应注意它的含义。
经计算，
8
9
x 7 3 .3 9 , y 6 8 .2 7 5 6 , (x i x ) 2 2 0 5 .7 9 5 8 , (y i y )2 9 1 .1 5 5 2
i 1
i 1
从而
1 sw892(2 0 5 .7 9 5 89 1 .1 5 5 2 )4 .4 4 9 4
t 73.3968.27562.2210 4.4494 11 78
三、选择显著性水平
检验可能犯以下两类错误：
➢ 其一是 H 0 为真但样本观测值落在拒绝域中， ➢ 从而拒绝原假设H 0 ，这种错误称为第一类错
➢ 误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率，
➢ 或称拒真概率，通常记为 .
➢ ➢
其在二承是受域H 0 中不，真从〔而即承H 受1 为原真假〕设但样，本这观种测错值误落称
➢ 当 x108.684或 u1.645时，那么接收H 0
在例中，由于 x 1 0 8 1 0 8 .6 8 4
因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。
§ 正态总体参数假设检验
参数假设检验常见的有三种根本形式
(1) H 0: 0 v sH 1: 0
(2) (3)
H 0: 0 v sH 1: 0
H 0: 0 v sH 1: 0
三、假设检验与置信区间的关系
这里用的检验统计量与节中置信区间所用的枢 轴量是相似的。这不是偶然的，两者之间存在 非常密切的关系。
设 x1, , xn 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，现 在 未知场合讨论关于均值 的检验问题。
考虑双侧检验问题:
H 0: 0 v s H 1: 0
那么水平为 的检验接收域为
➢ 为第二类错误，其发生的概率H称0 为犯第二类错
➢ 误的概率,或称受伪概率，通常记为 。
观测数 据情况
总体情况 H 0 为真 H 1 为真
(x1,
,xn)W
犯第一类 错误
正确
(x1, ,xn)Wc 正确
犯第二类 错误
定义 对检验问题
H0 :0 对 H1 :1
如果一个检验满足对任意的
，
0
都有 g() ,
通常假定 未知，它们采用的检验统计量是
相同的，均为 2n1s2 02,若取显著性水
平为 ，则对应三个检验问题的拒绝域依次
分别为
W 21 2 n1;
W2 2n1;
W 2 2 2 n 1 或 2 1 2 2 n 1
例 某类钢板每块的重量X 服从正态分布， 其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过 0.016 (kg2)。现从某天生产的钢板中随机抽取 25块，得其样本方差S2=0.025(kg2)，问该天生 产的钢板重量的方差是否满足要求。
例 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分 布，其均值设定为240厘米。现从该厂抽取5件 产品，测得其长度为〔单位：厘米〕
试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？
解：这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题。 采用t 检验，拒绝域为:
t t12(n1)
假设取 ，那么 t(4). 现由样本计算得到: x239.5, s0.4, 故
写出，具体为
g 1 n 0 u 1
势函数是 的增函数〔见图〕，只要g(0) 就可保证在 0检验 H 0:0 v s是H 类1:似 的，0
只是拒绝域变为: W{uu1}
其势函数为 g n 0 u
对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W{uu12} 其势函数为
7.2.2 两个正态总体均值差的检验
检验 法
u检 验
t检 验
条 原假 件 设H 0
1, 2
已 知
1, 2
未 知
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
备择 检验统 假设 H 1 计量
拒绝域
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
x y { u u 1 }
设承受方有理由猜测甲地发送的讯号值为8， 问能否承受这猜测？
解：这是一个假设检验的问题，总体X ~N(2),
检验假设: H 0: 8v .s. H 1: 8
这个双侧检验问题的拒绝域为
|u|u1/2
取置信水平 ，那么查表知 u。
用观测值可计算得
x 8 0 1 5 ,u 5 8 .1 5 8 0 .2 1 .6 7 7 1
W |x0| snt1/2(n1)
它可以改写为
W xs n t1 /2 (n 1 )0 xs n t1 /2 (n 1 )
并且有 P0 (W) 1, 这里0并无限制.
假设让 0 在(- )内取值，就可得到
置信区间： x
s n
t1/2(n1)
的1-
反之假设有一个如上的1- 置信区间，也可获得
u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设， 即承受原假设，可认为猜测成立。
二、 未知时的t 检验
由于 未知，一个自然的想法是将〔7.2.4〕中
未知的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验
统计量
t n x 0 s
(7.2.9)
三种假设的检验拒绝域分别为
tt1n1, t tn1, |t|t1/2n1 .
➢ 当备择假设 H 1在原假设 H 0 一侧时的检验称 为单侧检验；
➢ 当备择假设 H 1 分散在原假设 H 0 两侧时的检验 称为双侧检验。
单个正态总体均值的检验 一、 时的u 检验
设 x1, , xn 是来自N ( , 2 )的样本，考虑关于
的检验问题。检验统计量可选为 u x 0 / n
那么称该检验是显著性水平为 的显著 性检验，简称水平为 的检验。
四、给出拒绝域
确定显著性水平后，可以定出检验的拒绝域W。 在例中，假设取 =0.05,
由于g()关于 单调减，只需要
g(110)5(c4110)0.05
成立即可。这给出c 的值为 c 1 1 0 0 .8 u 0 .0 5 1 1 0 0 .8 1 .6 4 5
t = 5239.5240 0.4=2.7951
由于，故拒绝原假设， 认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。
表7.2.1 单个正态总体的均值的检验问题
检验 法
条 件
原假 备择 设 H 0 假设 H 1
检验统 计量
拒绝域
u检 验
t检
验 {uu xu 1 } 0
{u
u
/
}
n
{ | u | u 1 / 2 }
称为检验或检验法那么。
7.1.2 假设检验的根本步骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设称为 原假设，用 H 0 表示，通常将不应轻易加以否 认的假设作为原假设。当 H 0 被拒绝时而接收 的假设称为备择假设，用 H 1 表示，它们常常 成对出现。
在例中，我们可建立如下两个假设：
H0 : 110 v s H1:110
g 1 n 0 u 1 / 2 n 0 u 1 / 2
7.2.1(b)(c) g ( ) 的图形
例 从甲地发送一个讯号到乙地。设乙地接
受到的讯号值服从正态分布 N(,0.22),其中
为甲地发送的真实讯号值。现甲地重复发送同 一讯号5次，乙地接收到的讯号值为
x y
1 2 u 1 2
s
2 x
s
2 y
mn
{u u1 } {u u } { | u | u 1 / 2 }
近似 t检 验
1, 2
未知 m,n不 很大
1 2 1 2 1 2
1 2 t x y {t t1 (l 1)}
1 2
s
2 x
s
2 y
{t t (l 1)}
查表知 t0.95(15)1.7531, 由于 t t0.95(15)
故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著 提高。
正态总体方差的检验 一、单个正态总体方差的检验
设x1, , xn 是来自N ( , 2 )的样本，对方差亦可考 虑如下三个检验问题：
H 0: 20 2 v sH 1: 20 2 H 0: 20 2 v sH 1: 20 2 H 0: 20 2 v sH 1: 20 2
(1) 是参数估计问题吗？ (2) 答复“是〞还是“否〞 ，假设检验问题。 (3) 命题“合金平均强度不低于110Pa〞正确 与
否仅 涉0及{如:下两110 个}参数集1合{：:110}
这两个非空参数集合都称作统计假设， 简称假设。
(4) 我们的任务是利用样本去判断假设 〔命题 〕 0
“ 〞是否成立。这里的“判断〞在统计 学中
二、选择检验统计量，给出拒绝域形式
由样本对原假设进展判断总是通过一个统计量 完成的，该统计量称为检验统计量。使原假设 被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域，一
般用W 表示，在例中，样本均值 愈大x ，意味
着总体均值 也大，因此，合理的拒绝域形如
W { (x 1 , ,x n ):x c } { x c }
理学概率论与数理统计教程茆诗松 第7章
§ 假设检验的根本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
例 某厂生产的合金强度服从 ，N其(中,16) 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进展,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金， 测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
检验的拒绝域为 W{x108.684}
假设 u x 110
令
4/5
那么拒绝域有另一种表示:
W { u u 0 .0 5 } { u 1 .6 4 5 }
五、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断：
➢ 当 x108.684或 u1时.6，45那么拒绝 H 0
➢ 即接收H 1 ；
1 2
m n { | t | t1 / 2 (l 1)}
ls04/m2smx41n2sn4y1,
s02 sx2 /ms2y /n
例 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而 试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为 8和9的样本，测得其硬度为 镍合金： 76.43 76.21 73.58 69.69
0 0
已 0 0 知 0 0
0 0
未 0 0 知 0 0
u x 0 / n
{u u1 } {u u } { | u | u 1 / 2 }
t
x 0 s/ n
{t t1 (n 1)} {t t (n 1)}
{| t | t1 /2 (n 1)}
铜合金： 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61
根据经历，硬度服从正态分布，且方差保持不变。 试在显著性水平 下判断镍合金的硬度是否有明 显提高。
解：用X 表示镍合金的硬度，Y 表示铜合金的硬
度，那么由假定，X~N(1,2), Y~N(2,2).
要检验的假设是：H 0:12 v s H 1:12
三种假设的拒绝域形式分别见以下图：
W{uc} W{uc} W {uc1或 uc2}
(a) H1 :0 (b) H1 :0 (c) H1 :0
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
下面以 H 0: 0 v s为H 例1:说 明 ：0
由 P0uc可推出具体的拒绝域为 Wuu1
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布
u
2 1
2 2
{u
u }
m n { | u | u 1 / 2 }
t x y {t t1 (m n 2)}
sw
1 1 {t t (m n 2)} m n {| t | t1 /2(m n 2)}
大样 本检 u验
1, 2
未知 m,n充
分大
1 2 1 2 1 2
1 2
关于 H0 : 的 水0 平为 的显著性检验。
所以: “正态均值 的1- 置信区间〞与“关于
H0 : 0 的双侧检验问题的水平 的检
验〞是一一对应的。
类似地，“参数 的1- 置信上限〞与“关
于 H0 : 0的单侧检验问题的水平 的 检验是〞一一对应的。
参数 的1-置信下限与另一个单侧检验也是一
正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个 结论一样，用一个样本〔例子〕不能证明一个 命题〔假设〕是成立的，但可以用一个例子 〔样本〕推翻一个命题。因此，从逻辑上看， 注重拒绝域是适当的。事实上，在“拒绝原假 设〞和“拒绝备择假设〔从而接收原假设〕〞 之间还有一个模糊域，如今我们把它并入接收 域，所以接收域是复杂的，将之称为保存域也 许更恰当，但习惯上已把它称为接收域，没有 必要再进展改变，只是应注意它的含义。
经计算，
8
9
x 7 3 .3 9 , y 6 8 .2 7 5 6 , (x i x ) 2 2 0 5 .7 9 5 8 , (y i y )2 9 1 .1 5 5 2
i 1
i 1
从而
1 sw892(2 0 5 .7 9 5 89 1 .1 5 5 2 )4 .4 4 9 4
t 73.3968.27562.2210 4.4494 11 78
三、选择显著性水平
检验可能犯以下两类错误：
➢ 其一是 H 0 为真但样本观测值落在拒绝域中， ➢ 从而拒绝原假设H 0 ，这种错误称为第一类错
➢ 误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率，
➢ 或称拒真概率，通常记为 .
➢ ➢
其在二承是受域H 0 中不，真从〔而即承H 受1 为原真假〕设但样，本这观种测错值误落称
➢ 当 x108.684或 u1.645时，那么接收H 0
在例中，由于 x 1 0 8 1 0 8 .6 8 4
因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。
§ 正态总体参数假设检验
参数假设检验常见的有三种根本形式
(1) H 0: 0 v sH 1: 0
(2) (3)
H 0: 0 v sH 1: 0
H 0: 0 v sH 1: 0
三、假设检验与置信区间的关系
这里用的检验统计量与节中置信区间所用的枢 轴量是相似的。这不是偶然的，两者之间存在 非常密切的关系。
设 x1, , xn 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，现 在 未知场合讨论关于均值 的检验问题。
考虑双侧检验问题:
H 0: 0 v s H 1: 0
那么水平为 的检验接收域为
➢ 为第二类错误，其发生的概率H称0 为犯第二类错
➢ 误的概率,或称受伪概率，通常记为 。
观测数 据情况
总体情况 H 0 为真 H 1 为真
(x1,
,xn)W
犯第一类 错误
正确
(x1, ,xn)Wc 正确
犯第二类 错误
定义 对检验问题
H0 :0 对 H1 :1
如果一个检验满足对任意的
，
0
都有 g() ,
通常假定 未知，它们采用的检验统计量是
相同的，均为 2n1s2 02,若取显著性水
平为 ，则对应三个检验问题的拒绝域依次
分别为
W 21 2 n1;
W2 2n1;
W 2 2 2 n 1 或 2 1 2 2 n 1
例 某类钢板每块的重量X 服从正态分布， 其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过 0.016 (kg2)。现从某天生产的钢板中随机抽取 25块，得其样本方差S2=0.025(kg2)，问该天生 产的钢板重量的方差是否满足要求。
例 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分 布，其均值设定为240厘米。现从该厂抽取5件 产品，测得其长度为〔单位：厘米〕
试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？
解：这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题。 采用t 检验，拒绝域为:
t t12(n1)
假设取 ，那么 t(4). 现由样本计算得到: x239.5, s0.4, 故
写出，具体为
g 1 n 0 u 1
势函数是 的增函数〔见图〕，只要g(0) 就可保证在 0检验 H 0:0 v s是H 类1:似 的，0
只是拒绝域变为: W{uu1}
其势函数为 g n 0 u
对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W{uu12} 其势函数为