陕西高一上学期期末数学试题(解析版) (2)

一、单选题
1．已知集合，，则 2{|40}A x x x =-<{|22}B x Z x =∈-<≤A B = A ． B ．
C ．
D ．
{0,1,2}{1,2}{1,0,1}-{1,0,1,2}-【答案】B
【详解】，即，得，所以，又，故
240x x -<()40x x -<04x <<{|04}A x x =<<{}1,0,1,2B =-.故选B.
{}1,2A B ⋂=2．命题“”的否定是（ ）
2
00,1x x ∃∈≠R A ．
B ．
2,1x x ∀∈=R 2,1x x ∀∉=R C ．
D ．
2
00,1x x ∃∈=R 2
00,1∃∉=x x R 【答案】A
【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.
2
00,1x x ∃∈≠R 2,1x x ∀∈=R 故选：A.
3．“”是“”的（ ）
2x >2560x x +->A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法可得或，结合充分不必要条件的定义即可得出结6x <-1x >果.
【详解】由题意知，
，解得或， 2560x x +->6x <-1x >又或，
{2}{6x x x x ><-Ø1}x >所以“”是“”的充分不必要条件. 2x >2560x x +->故选：A
二、多选题
4．下列命题为真命题的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 0a b >>22ac bc ≥0a b >>22a b >11
【答案】AB
【分析】依次判断每个选项：取计算验证排除CD 得到答案. 2,1a b =-=-【详解】A. 若，则，正确； 0a b >>22ac bc ≥B. 若，则，正确；
0a b >>22a b >C. 若，则，取，计算知不成立，排除； 0a b <<22a ab b <<2,1a b =-=-D. 若，则，取，计算知不成立，排除；
0a b <<11a b <2,1a b =-=-故选：AB
三、单选题
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) ()y f x =[2,3]-(21)
1
f x y x +=
+A ．
B ．
C ．
D ．
3[,1]2-3
[,1)(1,1]2
--⋃-[3,7]-[3,1)(1,7]--⋃-【答案】B
【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可． ()f x 21x +【详解】由题意得：，解得：， 2213x -≤+≤3
12
x -≤≤由，解得：，
10x +≠1x ≠-故函数的定义域是，
(]3,11,12⎡⎫
---⎪⎢⎣⎭ 故选：B ．
6．已知幂函数的图象过点，则
的值为（ ） ()y f x =(4)f A ． B ．1 C ．2 D ．4
2-【答案】C
【分析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出解析式即可计算作答. 【详解】依题意，设，则有，解得，于是得
， ()f x x α=(3)3f α==1
2
α=12()f x x =所以. (4)2f =故选：C
7．已知，则（ ）
1
2
31211
3,log ,log 23
-
===a b c A ． B ． C ． D ．
a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性可得，根据对数函数的单调性可得、，进而得出01a <<0b <1c >结果.
【详解】因为，所以，
1
200313-<<=01a <<因为，所以， 3
31
log log 102<=0b <因为，即，
112211
log log 132>=1c >所以. c a b >>故选：C
8．若，且为第二象限角，则（ ）
3
si n 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭αtan α=A ．
B ．
C ．
D ．
4
3
-34
-43
34
【答案】A
【解析】由已知利用诱导公式求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可cos αsin α求解．
【详解】由题意，得，
3sin 25πα⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
3cos 5α=-又由为第二象限角，所以，所以． α4sin 5α=sin tan s 43co ααα=
=-故选：A.
四、多选题
9．函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（ ）
()x
f x a b =-0a >1a ≠A ． B ． C ． D ．
01b a <<01a b <<1b a >1a b >【答案】AD
【分析】根据图像所过象限可得，，进而得到，.
01a <<1b >01b a <<1a b >【详解】函数（且），图像经过2，3，4象限，
()x
f x a b =-0a >1a ≠故得到，当时，
01a <<0x =()0101f b b =-<⇒>函数是减函数，，函数为增函数，故得到 x y a =01b a a <=x y b =01a b b >=故得到，故得到AD 正确，BC 错误. 01b a <<1a b >故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ） A ．终边在y 轴上的角的集合为
{|2,}2
k k Z π
θθπ=+∈B ．，则
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
sin tan <<x x x C ．三角形的内角必是第一或第二象限角 D ．若是第二象限角，则是第一或第三象限角
α2
α
【答案】BD
【分析】选项A 轴线角的写法，y 轴正半轴，y 轴；选
{|2,}2
k k Z π
θθπ=
+∈{|,}2
k k Z π
θθπ=
+∈项B 利用三角函数线证明即可;选项C 角 时不在第一或第二象限角；选项D 可以利用图像判90︒断，也可以利用象限角的范围求解即可.
【详解】选项A 轴线角的写法，y 轴正半轴，y 轴,所以
{|2,}2
k k Z π
θθπ=+∈{|,}2
k k Z π
θθπ=
+∈不正确；
选项B ，可以利用三角函数线围成面积的大小来比较大小,
所以，故正确
OMA OAT OMA S S S <<△△扇形sin tan <<x x x 选项C ，角为 时不在第一也不在第二象限；选项D 中是第二象限角，
90︒α，所以，当 可判断是
{|
22,}2
k k k Z π
απαππ+<<+∈{|,}2422k k k Z απαπππ+<<+∈0,1,2,3k =2α
第一或第三象限角. 故选：BD.
11．已知，且，则的取值可以是（ ） 0a b >>2a b ab +=2a b +A ．8 B ．9
C ．11
D ．12
【答案】CD
【分析】由，得，则，然后利用基本不等2a b ab +=211a b +=()2122225b a
a b a b a b a b ⎛⎫+=++=
++ ⎪⎝⎭式求解即可
【详解】因为，所以，则. 2a b ab +=211a b +=()2122225b a
a b a b a b a b ⎛⎫+=++=
++ ⎪⎝⎭因为，所以， 0a b >>220,0b a
a b
>>
所以
（当且仅当时，等号成立）
， 224b a a b +=…3a b ==则. 225459b a
a b +
++=…因为，所以，即. a b >2259b a a b
++>29a b +>故选：CD
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
()2
31f x x x a x =++-A ．若没有零点，则 ()f x (),0a ∈-∞B ．若恰有2个零点，则 ()f x ()1,5a ∈C ．若恰有3个零点，则或 ()f x 1a =5a =D ．若）恰有4个零点，则 ()f x ()5,a ∈+∞【答案】AC
【分析】当时，判断不是的零点；当时，由，分离参数得
0x =0x =()f x 0x ≠()0f x =，将问题转化为直线与函数图象的交点个数．作出的13a x x =+
+y a =13y x x =++1
3y x x
=++图象，运用数形结合的思想逐一判断可得选项.
【详解】解：当时，，所以不是的零点；
0x =()010f =≠0x =()f x 当时，由，即，得， 0x ≠()0f x =2
310x x a x ++-=1
3a x x
=+
+则的零点个数等于直线与函数图象的交点个数． ()f x y a =1
3y x x
=++
当时，，当且仅当，即时取等号，所以当时，
0x>12x x +≥=1x x =1x =0x>，当且仅当时取等号， 1
35y x x
=+
+≥1x =
当时，，当且仅当，即时取等号，所以当0x <112x x x x ⎛
⎫+
=--+≤-=- ⎪-⎝⎭
1x x ==1x -0x <时，，当且仅当时取等号， 1
31x x
+
+≤=1x -作出函数的大致图象（如下图所示）， 1
3y x x
=+
+
由图可知：若没有零点，则，故A 正确； ()f x (),0a ∈-∞若恰有2个零点，则，故B 不正确； ()f x {}()01,5a ∈ 若恰有3个零点，则或，故 C 正确；
()f x 1a =5a =若）恰有4个零点，则，故D 不正确， ()f x ()()015,a ∈+∞ ，故选：AC.
五、填空题
13．某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有___________人. 【答案】12
【分析】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，列方程求解即可. x 【详解】设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有人，则x .
31264512x =+-=故答案为：12.
14．已知，则___________. 3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 3πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
【答案】##0.6
3
5
【分析】，然后利用诱导公式求解即可. 2()362
πππ
αα+
=++【详解】∵，
3cos 65πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭∴
2sin 3πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭sin 62ππα⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭.
cos πα⎛
⎫=+ ⎪3=
故答案为：.
3
5
15．已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有()f x R x ()()2f x f x +=01x <<，则______.
()43x f x =+()3.5f =【答案】
5-【分析】由条件可得，然后可算出答案. ()()()3.50.50.5f f f =-=-【详解】因为，是定义域为的奇函数， ()()2f x f x +=()f x R 所以
()()()3.50.50.5f f f =-=-因为当时，有，所以
01x <<()43x
f x =+()0.50.5435f =+=所以 ()3.55f =-故答案为：
5-16．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为________．
(31)4,1
()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩x ∈R a 【答案】
11,73⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】分段函数要满足在上单调递减，要在每一段上单调递减，且分段处左边函数的端点值大R 于等于右边函数的端点值.
【详解】因为在上是严格减函数，所以要满足：(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩x ∈R 310
01
314log 1
a a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪-+≥⎩，解得：，所以实数的取值范围是
11
73a ≤<a 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
故答案为：
11,73⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
六、解答题
17．计算以下式子的值: （1） 2lg 2+lg 25（2） 2ln 2
331log 27(8
e
--+（3） ()122
2
3
0127322+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---
【答案】（1）2；（2）5；（3）；
1
2【解析】应用对数、指数的运算性质求值即可. 【详解】（1）， 2lg 2+lg 25=2(lg2+lg5)=2lg(25)=2⨯（2）， 223()ln 2
3ln 23
33311log 27(log 3(324582
e
e -⨯--+=-+=-+=（3）
()213(21
2
2
2
3
032
3341=()127322+41()222829-
-⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
----+⎝=⎭
-【点睛】本题考查了指对数的运算，应用指对数间的关系，及指对数的运算性质求值，属于简单题.
18．已知函数．
2()22f x x x =-+
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间； ()f x ()f x (2)当时，求函数的最小值，并求y 取最小值时x 的值．（结果保留根号） 0x >()
f x y x
=
【答案】(1)作图见解析，递增区间为，递减区间为； ()f x [1,)+∞()f x (,1]-∞
(2)最小值为，y 取最小值时()
f x y
x
=2-x
【分析】（1）由即得图象，由图象即得单调区间； ()2
2()2211f x x x x =-+=-+（2）利用基本不等式即得.
【详解】（1）由函数，图象如图：
()2
2()2211f x x x x =-+=-+
递增区间为，递减区间为；（注：写成也可以）
()f x [1,)+∞()f x (,1]-∞(1,),(,1)+∞-∞
（2）当时，， 0x >2()22
f x x x y x x
-+==
222x x =+-≥-等号当且仅当
x
∴
的最小值为，y 取最小值时． ()
f x y x
=
2x =19．已知函数的部分图象如图所示．
()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛
⎫=+>> ⎪⎝
⎭
(1)求，的值；
A ω(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
()f x ,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【答案】(1)， 1A =2ω=(2)最大值1；最小值
1
2
-
【分析】（1）根据图象直接可得与函数的最小正周期，从而求出. A ω（2）由（1）可得函数解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质
x 26
x π
+
【详解】（1）解：由图象知，由图象得函数的最小正周期为， 1A =2236πππ⎛⎫
⨯-=
⎪⎝⎭
则由
得．
2π
πω
=2ω=（2）解：由（1）知，
()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，，
6
4
x π
π
-≤≤
Q 23
2
x π
π
∴-≤≤
， 226
63
x π
π
π
∴-
≤+
≤
． 1sin 2126x π⎛
⎫∴-
≤+≤ ⎪⎝
⎭当，即时，取得最大值1；
26
2
x π
π
+
=
6
x π
=
()f x 当，即时，取得最小值．
ππ266x +=-6x π=-()f x 12-20．函数是定义在上的奇函数，且 ()2
1ax b
f x x +=
+()11
-，12.25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的解析式；
()f x (2)证明在上为增函数； ()f x ()11
-，(3)解不等式. ()()10f t f t -+<【答案】(1)； ()2
1x
f x x =+(2)证明见解析； (3) 102
t <<
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，由，结合()2
1ax b
f x x +=+()11
-，()()f x f x -=-求解； 12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）利用函数单调性的定义证明；
（3）由函数是定义在上的奇函数，得到，再利用在()f x ()11
-，()()()1f t f t f t -<-=-()f x ()11-，上为增函数求解.
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数， ()2
1ax b
f x x +=+()11
-，所以，即，解得， ()()f x f x -=-2
2
11ax b ax b
x x -+--=++0b =此时，又， ()ax f x =
12.f ⎛⎫= ⎪
所以，解得， 2112225112⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
a f 1a =所以； ()2
1x f x x =+（2）证明：任取，且， ()12,11
x x ∈-，12x x <则， ()()()()()()
121212222222111211111x x x x x x f x f x x x x x -==--⋅-++++因为，所以， ()12,11
x x ∈-，()()221212110,10x x x x ++>-⋅>因为，所以，
12x x <120x x -<所以，
()()120f x f x -<所以在上为增函数； ()f x ()11
-，（3）因为函数是定义在上的奇函数， ()f x ()11
-，所以由，得，
()()10f t f t -+<()()()1f t f t f t -<-=-又因为在上为增函数， ()f x ()11
-，所以，解得. 111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩
102t <<21．已知函数满足，其中，将函数的()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
03ω<<()y f x =图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移
个单位，得到
4π函数的图像.
()y g x =(1)求；
ω(2)求函数的解析式；
()y g x =(3)求在上的最值及相应的x 值. (
)g x 3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)2
(2) ()12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(3)当时，取得最小值，当时，
4
x π=-
()g x 32-712x π=()g x
【分析】（1）根据条件求出 ；
ω（2）根据函数图像的伸缩变换的规则求出 ；
()g x （3）用整体代入法分析函数 的单调性和图像，求出最大值和最小值以及对应的x 值.
()g x 【详解】（1）函数()sin sin sin cos cos sin sin 62662f x x x x x x ωωωωωπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 3cos 23x x x ωωωπ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
又， 066
3f πππω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，解得， 63
k ππ
ωπ∴-=k ∈Z 62k ω=+又，； 03ω<<2ω∴=
（2）由（1）知，函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭()y f x =
（纵坐标不变），得到函数）的图像； )3
y x π=-
再将得到的图像向左平移个单位，得到的图像， 4π43y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
函数； ∴()12y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（3）当时，，， 3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦sin 12x π⎡⎤⎛⎫∴-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
由（2）知， ()12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
函数的大致图像如图：
y x =
所以当时，取得最小值， 4x π=-
()g x 32=-
当时，712
x π=()g x 22．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
()f x []22-,[)2,0x ∈-()2f x x x =-(1)求函数在上的解析式；
()f x []22-,
(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.
()229m x m f a --≥[]2,2x ∈-[]1,1a ∈-m 【答案】(1) ()22,200,0
,02x x x f x x x x x ⎧--≤<⎪==⎨⎪--<≤⎩
(2)
[]1,1-
【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；
（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式()f x 组，可得实数的取值范围．
m 【详解】（1）因为函数为定义域上的奇函数，所以，
()f x ()00f =当时，，所以， (]0,2x ∈[)2,0x -∈-()()()2
2f x x x x x -=---=+因为是奇函数，所以，
()f x ()()2f x f x x x -=-=+所以，
()2f x x x =--所以 ()22,200,0
,02x x x f x x x x x ⎧--≤<⎪==⎨⎪--<≤⎩
（2）作出在区间上的图象，如图：
()f x []22-
,
可得函数在上为减函数，所以的最小值为，
()f x []22-,()f x ()26f =-要使对所有，恒成立，
()229m x m f a --≥[]2,2x ∈-[]1,1a ∈-即对所有恒成立，
2629m am -≥--[]1,1a ∈-令，，
()223g a ma m =-+-[]1,1a ∈-则，即， ()()2212301230g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩
3113m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得：，
11m -≤≤所以实数的取值范围是.
m []1,1-。