2020届高考数学理一轮复习直线、平面平行的判定与性质

符号语言 ∵② l∥a ,③ a⊂α , ④ l⊄α ,∴l∥α
∵⑥ l∥α ,⑦ l⊂β , ⑧ α∩β=b ,∴l∥b
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2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
类别 文字语言
图形语言
判定 一个平面内的两条⑨ 相交直线 与另
定理 一个平面平行,则这两个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面平行”)
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解析 (1)证明:①当AB,CD在同一平面内时,由平面α∥平面β,平面α∩ 平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD. ∵AE∶EB=CF∶FD, ∴EF∥BD. 又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥平面β. ②当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD∩平面β=DH,且DH=AC,
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第三节 直线、平面平行的判定与性质
教Hale Waihona Puke 研读栏目索引1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
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判定 平面外一条直线与① 此平面内 的一条
定理 直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“ 线线平行⇒线面平行”)
性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的
定理 任一平面与此平面的⑤ 交线 与该直线 平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC, ∴AC∥DH, ∴四边形ACDH是平行四边形, 在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,连接EG,FG,BH. 则AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH. ∴GF∥HD,EG∥BH. 又EG∩GF=G,BH∩HD=H, ∴平面EFG∥平面β. 又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面β. 综合①②可知EF∥平面β. (2)如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.
性质 如果两个平行平面同时和第三个平面 定理 相交 ,那么它们的 交线 平
行(简记为“面面平行⇒线线平行”)
符号语言
∵⑩ a∥β , b∥β , a∩b=P , a⊂α , b⊂α , ∴α∥β
∵ α∥β , α∩γ=a , β∩γ=b , ∴a∥b
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1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的 ( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 答案 D 因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α无公共点,因此直线a 和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D. 2.下列命题中,正确的是 ( ) A.若a∥b,b⊂α,则a∥α B.若a∥α,b⊂α,则a∥b C.若a∥α,b∥α,则a∥b D.若a∥b,b∥α,a⊄α,则a∥α 答案 D A中还有可能a⊂α,B中还有可能a与b异面,C中还有可能a与 b相交或异面,只有选项D正确.
又AD1⊄平面BDC1,C1D⊂平面BDC1, ∴AD1∥平面BDC1.
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(2)连接D1D, ∵BB1∥平面ACC1A1,BB1⊂平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,
∴BB1∥D1D, 又D1,D分别为A1C1,AC的中点, ∴BB1=DD1, 故四边形BDD1B1为平行四边形, ∴BD∥B1D1, 又BD⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1, ∴BD∥平面AB1D1.
32 22 2 3 2 1 2
= 13 6 ,
即EF= 7 或EF= 19 .
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规律总结 1.线线平行、线面平行和面面平行是空间中三种基本平行关系,它们之 间可以相互转化,其转化关系如下:
2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的 转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性 质定理时,其顺序正好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体 条件而定,绝对不可过于“模式化”.
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3.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β 内的两条相交直线,则α∥β的一个充分不必要条件是 ( ) A.m∥l1且n∥l2 B.m∥β且n∥l2 C.m∥β且n∥β D.m∥β且l1∥α 答案 A 由m∥l1,m⊂α,l1⊂β,得l1∥α,同理,l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β, 反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件.
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2-1 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所 示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.
解析 (1)点F,G,H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下: 因为ABCD-EFGH为正方体, 所以BC∥EH,BC=EH, 于是四边形BCHE为平行四边形,所以BE∥CH. 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH, 所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH, 又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.
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第四节 直线、平面平行的判定与性质
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1.直线与平面平行的判定与性质
判定
定义
定理
图形
性质
条件
a∩α=⌀
结论
a∥α
① a⊂α,b⊄α, a∥b b∥α
a∥α a∩α=⌀
② a∥α,a⊂β,α∩β= b a∥b
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4.已知平面α∥β,直线a⊂α,有下列命题:
①a与β内的所有直线平行;
②a与β内无数条直线平行;
③a与β内的任意一条直线都不垂直.
其中真命题的序号是
.
答案 ②
解析 由面面平行的性质可知,过a与β相交的平面与β的交线才与a平
行,故①错误;②正确;平面β内的直线与直线a平行、异面均可,其中包括
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方法技巧 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
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变式1-1 若将本例中的条件“D,D1分别为AC,A1C1的中点”变为“D,
2.面面平行的判定与性质
判定
定义
定理
图形
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性质
条件 结论
α∩β=⌀ α∥β
③ a⊂β,b⊂β, a∩b=P,a∥α,b∥α α∥β
④ α∥β, α∩γ= a, β∩γ=b
a∥b
α∥β,a⊂β a∥α
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个 平面. (×)
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考点突破
考点一 直线与平面平行的判定和性质 典例1 如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1的中点. (1)证明AD1∥平面BDC1; (2)证明BD∥平面AB1D1.
证明 (1)∵D1,D分别为A1C1与AC的中点, 四边形ACC1A1为平行四边形,∴C1D1 DA, ∴四边形ADC1D1为平行四边形,∴AD1∥C1D,
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3-1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC、BD交于点O,P是 DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面 PAO?
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解析 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 证明:∵在正方体AC1中,Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴易知QB∥PA. ∵QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,∴QB∥平面PAO. ∵P、O分别为DD1、DB的中点,∴PO∥D1B, 又∵D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO, ∴D1B∥平面PAO, 又∵D1B∩QB=B,D1B⊂平面D1BQ,QB⊂平面 D1BQ, ∴平面D1BQ∥平面PAO.
证明 (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点, ∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G四点共面. (2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. 易知A1G EB, ∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.
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∴OD1∥BC1,又OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1,
∴当
A1D1 D1C1
=1时,BC1∥平面AB1D1.
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考点二 平面与平面平行的判定与性质 典例2 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1 C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.
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考点三 平行关系的综合问题 典例3 如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,点C∈α,点B∈β,点D∈β,点E,F 分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD. (1)求证:EF∥平面β; (2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求 EF的长.
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方法技巧 证明面面平行的常用方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证 明.
D1分别为AC,A1C1上的点”,则当
A1D1 D1C1
等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
解析
当
A1D1 D1C1
=1时,BC1∥平面AB1D1.
如图,取D1为线段A1C1的中点,
此时 A1D1 =1, D1C1
连接A1B交AB1于点O,连接OD1, 由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形, ∴O为A1B的中点, 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
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1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 答案 D 与一个平面平行的两条直线可以平行、相交,也可以异面. 2.下列命题中,正确的是 ( ) A.若a∥b,b⊂α,则a∥α B.若a∥α,b⊂α,则a∥b C.若a∥α,b∥α,则a∥b D.若a∥b,b∥α,a⊄α,则a∥α 答案 D 由直线与平面平行的判定定理知,只有选项D正确.
异面垂直,故③错误.
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5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的是 号).
(只填序
①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1. 答案 ①②④
解析 如图,因为AB C1D1, 所以四边形AD1C1B为平行四边形, 故AD1∥BC1,从而①正确; 易证BD∥B1D1,AB1∥DC1, 又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D, 故平面AB1D1∥平面BDC1,从而②正确; 由图易知AD1与DC1异面,故③错误; 因AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正确.
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∵E,F分别为AB,CD的中点,∴ME∥BD,MF∥AC,
且ME= 1 BD=3,MF=1 AC=2.∴∠EMF为AC与BD所成的角或其补角,
2
2
∴∠EMF=60°或120°.∴在△EFM中,由余弦定理得
EF= ME2 MF 2 2ME MF cos EMF
=
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(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一 条直线. (×) (3)如果一条直线a与平面α内的无数条直线平行,则a∥α.(×) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平 行. (×) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行. (×) (6)设l为直线,α,β为两个不同的平面,若l∥α且l∥β,则α∥β. (×) (7)若α∥β,直线a∥α,则a∥β. (×)