材料力学专题一梁的内力和内力图

专题一 梁的内力和内力图
例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。

解：1）求反力
kN 5=A F ，kN 4=B F
2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。

0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M
3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。

0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M
4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。

0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F
0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=
5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。

0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=
【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，
两者计算结果一致。

一般取外力比较简单的一段进行分析。

②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。

③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。

图
1
(a)
(b)
(c)
(d) (e)
例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。

解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++
==
取C 截面左段研究，, 2
SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB B
F F M Fl ==
(b) 求A 、B 处约束反力
如图(d)所示，l M F F e B A /==
取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l
++=-=-=
取C 截面左段研究，
, 22
e e SC A A e A M M
l F F M M F l +=-=-=-⨯=
取B 截面右段研究，, 0e SB B B M
F F M l
=-=-=
(c) 求A 、B 处约束反力 取A +
截面右段研究，2
33, 22248
SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-
取C -截面右段研究，2, 22248
SC C l ql l l ql F q M q -
-=⨯==-⨯⨯=-
取C +截面右段研究，2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-
取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==
图2 (b) (a) q
B (c) B
图(d)
例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：(a ) 求支反力
0=∑C M ： 0310126=⨯--⋅Ay F ， kN 7=Ay F
0=∑Y ：
010=-+By Ay F F ， kN 3=By F
列内力方程，
⎩⎨
⎧<<-<<=63
kN 330 kN 7)(S x x x F ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。

(b ) 求支反力
0=∑B M ：02212=⋅+-⋅l
ql ql l F Ay ， F Ay =0 0=∑Y ：0=-⋅-+ql l q F F By Ay ，ql F By 2=
列内力方程
23
0 )(S l x l l
x ql qx x F <<<≤⎩⎨
⎧-= ⎩⎨
⎧≤≤≤≤---=23
0 )23()(2l x l l x x l ql qx x M
作剪力图和弯矩图。

(b) 图
3
(a)
(a) (b) (c)
图4
例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。

解：AC 段有：x x q 5)(=
25.210)(x x F S -=，
（0<x <2） 36
510)(x x x M -=，
（0≤x ≤2）
其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。

由于结构是对称的，荷载也是对称的，
BC 段与AC 段的F S 图是反对称的，M 图 是对称的，据此特点可方便地作出AC 段
的剪力图和弯矩图。

例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。

解：(a ) 根据微分关系：()()x F x
x M S d d = 和 ()()q x x M x x F ==22
S d d d d AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。

CB 段：q 为常数，且0>q ，F S 图从左到右为向上的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。

在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。

求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。

(b ) 求支反力
0=∑A M ： ()0221
322=⋅⋅-+⋅a q qa a F By ， 3qa F By =
0=∑Y ： 02=⋅-+a q F F By Ay ， 35qa
F Ay =
(a)
(b)
判断内力图形态并作内力图
AC 段：q 为常数，且q <0，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线，在
距A 端a 3
5
截面处，M 取极大值。

CB 段：0=q ，F S 图为水平直线，且F S <0，M 图从左到右为向下的斜直线。

在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。

求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。

(c) 求支反力
0=∑A M ：()022
1
32=⋅-⋅⋅-⋅a qa a q a F By
， qa F By = 0=∑Y ： 02=-⋅-+qa a q F F By Ay ， qa F Ay 2= 判断内力图形态并作内力图
AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。

C
截面处，有集中力F 作用，F S 图突变，M 图不光滑。

CD 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。

DB 段：0=q ，Q F 图为水平直线，且F S <0； M 图从左到右为向下的斜直线。

(d)求支反力
0=∑B M ： 04621
862=⨯⨯--⋅Ay F ，kN 33.9=Ay F 0=∑Y ： 046=⨯-+By Ay F F ， kN 67.14=By F 判断内力图形态，作内力图
F S 图：AD 段，0=q ，为水平直线；
DB 段，0<q ，从左到右为向下的斜直线。

M 图：AC 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线； C 截面处，有集中力偶e M 作用，有突变；
(c) 图
5 (d)
CD 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线，且ab c b //'； DB 段，0<q ，为向上凸的抛物线，且c b '与ce 在c 点相切；
在距D
端m 9
22
截面处，F S
=0，M 取极大值17.93kN •m 。

例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。

解：(a)
(b)
图6
例7试用画出图7 (a )所示梁的剪力图和弯矩图。

【解】1）将梁从铰B 处分开，计
算梁的外约束反力，如图7 (b)。

F Ax =F Bx =F'Bx =0，
F Ay =F By =F'By =F D =qa ， M A = qa 2
2）该梁的内力图应分成AB ，BC 和CD 三段绘制，各段的起点和终点内力值时应首先确定，用截面法计算出这些截面的内力并列
于表1中，其中2a -和2a +分别为C
偏左和偏右侧截面的坐标。

3）根据梁的内力微分关系，逐段判断内力图的大致形状并作梁的剪力图和弯矩图。

①先作剪力图。

按一定比例，在坐标系中首先确定AB 、BC 和CD 梁段端点的剪力坐标点。

AB
段梁无分布载荷，由)
()
(S x q dx
x dF =可以知道其剪力图线为水平直线；BC 段梁因q <0，剪力图为下斜直线；同理，CD 段梁因q >0，剪力图为上斜直线，用上述直线连接这三段梁的端点，即可得到该梁的剪力图，如图7 (c )所示。

②再作弯矩图。

AB 梁段因q =0，剪力图为水
平线，且其剪力F S =qa >0，则知道弯矩图为上斜直线；同理，BC 梁段因)()(22
x q dx
x dM =，
弯矩图为上凸抛物线，CD 梁段由于q >0，为下凸抛物线。

在C 截面作用有集中力偶qa 2，
弯矩数值由qa 2/2突变到-qa 2/2。

根据关于梁的弯矩图的曲线形状的分析，从梁左端A 截面开始，连接各梁段端截面的坐标点，即可方便地绘制出梁的弯矩图，如图(d )所示。

例8试用分段叠加法作图8(a )所示梁的弯矩图。

解：1）计算支座反力
kN 15A =F ，kN 11
B =F 2）求控制截面处的弯矩。

本例中控制截面为C 、A 、D 、E 、B 、F
各处，其弯矩分别为：
0C =M
m kN 1226A ⋅-=⨯-=M
m kN 824241566D ⋅=⨯⨯-⨯+⨯-=M m kN 10211322E ⋅=⨯+⨯⨯-=M
m kN 4122B ⋅-=⨯⨯-=M
0F =M
图7
(a) (b) (c) (d) (b) (a) 图8
3）把整个梁分为CB 、AD 、DE 、EB 、BF 五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。

方法是：先用一定比例绘出CF 梁各控制截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，如果某段范围内无荷载作用（例如CA 、DE 、EB 三段），则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。

如该段内有荷载作用（例如AD 、BF 二段），则把该段端部的弯矩纵标连一虚线，以虚线为基线叠加该段按简支梁求得的弯矩图。

整个梁的弯矩图如图8(b)所示，其中AD 段中点的弯矩为：m kN 2⋅=AD M 。

例9图9(a )为梁的剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。

解：1）求荷载图
由F SA =－50kN 知梁在A 处有一向下集中力为50kN ，B 截面两侧剪力由－50kN 突变到50kN ，故梁在B 截面必有一向上荷载100kN 。

AB 段、BC 段F S 图为水平线，故两段无分布荷载作用，q =0。

CE 段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即
50
25/2
q kN m =
= E 截面的剪力由－50kN 变到0，故梁上必有向上的集中力50kN 。

根据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图9(b )所示。

（2）求弯矩图
AB 段：F S 为负值，且为水平线，故M 为一向上斜直线。

M A ＝0，M B 的大小等于AB 间剪力图面积，即
M B ＝－50×1＝－50kN·m BC ：F S 为正值，且为水平线，故M 为一向下的斜直线。

()505010a
c B S b
M M F x dx =-=-+⨯=⎰。

CE 段：q <0，M 为一下凸曲线。

q =－25kN/m ，D 点F SD ＝0，M 有极值，
1
(502)05050kN m 2
D c M M =+⨯⨯=+=⋅。

E 端铰处无集中力偶，M A ＝0。

根据上述分析，画出梁的弯矩图，如图9(c )所示。

图9
练习题
1、试求下列各梁在指定1、
2、3截面上的剪力和弯矩值。

2、试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

3、分别用微分法和叠加法作图示各梁的剪力图和弯矩图（支座反力已给出）。

题1图
(a)
(b) (d) (e) (f) 题2图
(a)
(b)
练习题参考答案 1、 (a)01=S F ，a M F S 202=
，a M
F S 203=， 01M M -=，02M M -=，2
03M M -= (b) ql F S =1，ql F S =2，ql F S =3，2123ql M -=，222
3ql M -=，2
323ql M -=
(c) qa F S -=1，qa F S -=2，qa F S 4
33=，01=M ，22qa M -=，2
3qa M -=
(d) l q F S 0161=，l q F S 02241=
，l q F S 0331
-=，01=M ，20216
1l q M =，03=M (c)
(d)
(e) (f)
(g) (h)
(i)
(j)
(k)
(l)
题3图
(e) kN 51=S F ，kN 51-=S F ，kN 51-=S F ，01=M ，02=M ，03=M (f) kN 101=S F ，kN 102=S F ，kN 103=S F ，m kN 51⋅=M ，m kN 52⋅=M ，m kN 103⋅-=M
2、
(a)
)0(,)2()()0(,2)(a x a x F x M a x F x F S ≤<-=<<= )2(,)()(,0)(a x a Fa x M a x a x F S <≤=≤<= (b)
)0(,0)()0(,0)(a x x M a x x F S <≤=<<= )2(,)2()()2(,)(a x a x a F x M a x a F x F S ≤<-=<<-=
(c)
)20(,2/)2()()20(,)2()(22a x qa x a q x M a x x a q x F S ≤<+--=≤<-= )32(,)()32(,0)(2a x a qa x M a x a x F S <≤=≤≤= (d) )0(,2/)()
0(,)(2a x qx x M a x qx x F S <≤-=≤≤= )
2(,)2/()()2(,)(2a x a qa a x qa x M a x a qa x F S <<+--=<≤-= (e) )20(,2
183)()20(,83)(2a x qx qax x M a x qx qa x F S ≤≤-=≤<-= )2(,)(81)()2(,81)(a x a x a qa x M a x a qa x F S ≤≤--=<≤-=
(a)
(b) (c) (d)
(f) )0(,)()0(,)(a x Fx x M a x F x F S ≤≤-=<<-= )
2(,)97(21)()2(,27)(a x a a x F x M a x a F x F S ≤≤--=<<-= )
32(,)3(25)()
32(,25
)(a
x a x a F x M a x a F x F S ≤≤-=<<-=
3、
(e)
(f) (a)
(b) (d)
(c)
(e)
(f)
(g) (h)
(i)
(j)
(k)
(l)。