普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题六理(1)

普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（六）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U R =，集合{|14}A x x x =<->或，{|23}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A ．{|24}x x -≤<
B ．{|34}x x x ≤≥或
C ．{|21}x x -≤≤-
D ．{|13}x x -≤≤ 2.（2017·河南九校联考）已知复数z 的共轭复数112i
z i
-=
+，则复数z 的虚部是（ ） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35
i -
3.（2017·海口市调研）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则
8
4
S S =（ ） A ．
12 B ．1716
C ．2
D ．17 4.（2017·贵州省适应性考试）已知α，β表示两个不同平面，a ，b 表示两条不同直线.对于下列两个命题：
①若b α⊂，a α⊄，则“//a b ”是“//a α”的充分不必要条件； ②若a α⊂，b α⊂，则“//αβ”是“//a β且//b β”的充要条件. 判断正确的是（ ）
A ．①，②都是真命题
B ．①是真命题，②是假命题
C ．①是假命题，②是真命题
D ．①，②都是假命题
5.（2017·菏泽市模拟）若6
2b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中3
x 项的系数为20，则22a b +的最小值为
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 6.执行如图所示的算法框图，输出的S 值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱 8.（2017·唐山市二模）已知3log 4a =，log 3b π=，0.5
5c =，则a ，b ，c 的大小关系是
（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
9.（2017·合肥市质检）已知实数x ，y 满足103101x y x y x -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，若z kx y =-的最小值为5-，
则实数k 的值为（ ）
A ．3-
B ．3或5-
C ．3-或5-
D ．3± 10.（2017·甘肃省二诊）设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ①当0c =时，()y f x =是奇函数；
②当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实数根； ③函数()f x 可能是R 上的偶函数； ④方程()0f x =最多有两个实根. 其中正确的命题是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③④
D ．①②④
11.（2017·银川市质检）已知抛物线C ：216y x =，焦点为F ，直线l ：1x =-，点A l ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若5FA FB =，则FA =（ ）
A ．．35 C ．．40 12.已知'()f x 是函数()()f x x R ∈的导数，满足'()()f x f x =，且(0)2f =，设函数
3()()ln ()g x f x f x =-的一个零点为0x ，则以下正确的是（ ）
A ．0(0,1)x ∈
B ．0(1,2)x ∈
C ．0(2,3)x ∈
D ．0(3,4)x ∈
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13.（2017·武汉市调研）将函数()sin f x x x -的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线6
x π
=
对称，则θ的最小正值为 ．
14.（2017·郑州一预）抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线1
bx ay +=的斜率2
5
k ≥-
的概率是 ． 15.（2017·长沙市模拟）M 、N 分别为双曲线
22
143
x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v ⋅的最小值为 ．
16.已知数列{}n a 中，对任意的*
n N ∈若满足123n n n n a a a a S ++++++=（S 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中S 为4阶公和；若满足12n n n a a a T ++⋅⋅=（T 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中T 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足
342
321
2p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知向量3sin
,14x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 44x n π⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，()f x m n =⋅. （1）求()f x 的最大值，并求此时x 的值；
（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足1
()2
f B =
，2a =，3c =，求sin A 的值.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA PB =，
O 为AB 的中点，OD PC ⊥.
（1）求证：OC PD ⊥；
（2）若PD 与平面PAB 所成的角为30，求二面角D PC B --的余弦值.
19.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：
（1）试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -++++
（2）为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的分布列和数学期望.
20.已知椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>经过点，且离心率为
2
，
1
F，
2
F是椭圆E的左，右焦点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B是椭圆上E关于y轴对称两点（A，B不是长轴的端点），点P是椭圆E上
异于A，B的一点，且直线PA，PB分别交y轴于点M，N，求证：直线
1
MF与直线
2
MF 的交点G在定圆上.
21.设()ln
a
f x x x
x
=+，32
()3
g x x x
=--.
（1）如果存在
12
,[0,2]
x x∈使得
12
()()
g x g x M
-≥成立，求满足上述条件的最大整数M；（2）如果对于任意的
1
,,2
2
s t
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，都有()()
f s
g t
≥成立，求实数a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
1
C的极坐标方程为24cos30
ρρθ
-+=，[0,2)
θπ
∈.
（1）求
1
C的直角坐标方程；
（2）曲线
2
C的参数方程为
cos
6
sin
6
x t
y t
π
π
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），求1C与2C的公共点的极坐标.
23.选修4-5：不等式选讲
设α，β，γ均为实数.
（1）证明：cos()cos sin αβαβ+≤+，sin()cos cos αβαβ+≤+. （2）若0αβγ++=.证明：cos cos cos 1αββ++≥.
普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（六）理科数学
一、选择题
1-5: DABBC 6-10: CADDA 11、12：BA 二、填空题 13.
3
π 14. 1
6 15. 4 16. 2520-
三、解答题
17.解析：（1
）2()cos cos 444x x x f x =
+1cos
22
2x
x
+=+1sin 262
x π⎛⎫=++ ⎪
⎝⎭，
当
2262x k πππ+=+，k Z ∈，即243
x k π
π=+，k Z ∈时， ()f x 的最大值为3
2
.
（2
）∵1
()sin 262B f B π⎛⎫=++=
⎪⎝⎭
，
∴sin 262
B π⎛⎫
+=
⎪⎝⎭， ∵0B π<<，∴26
263B π
ππ<
+<，∴263
B ππ+=， ∴3
B π
=
，在ABC ∆中，由余弦定理得，
2222cos b a c ac B =+-1
4922372
=+-⨯⨯⨯
=，
∴b =在ABC ∆中，由正弦定理得， sin sin a b
A B
=
，∴2sin A ==.
18.解析：（1）证明：连接OP （图略），因PA PB =，O 为AB 的中点，故OP AB ⊥.
∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴OP ⊥平面ABCD ， ∴OP OD ⊥，OP OC ⊥，
∵OD PC ⊥，∴OD ⊥平面OPC ， ∴OD OC ⊥，
又∵OP OC ⊥，故OC ⊥平面OPD ， 所以OC PD ⊥.
（2）取CD 的中点E ，连接OE ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，
z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.
不妨设1AD =，则2AB =，所以(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，(1,1,0)D -
，P ，
从而(1,1,PC =，(0,2,0)CD =-. 设平面PCD 的法向量为1111(,,)n x y z =，
由1100
PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得1111020x y y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，
可取1(2,0,1)n =.
同理，可取平面PCB
的一个法向量为2(0,1)n =-. 于是12
1212
1
cos ,3n n n n n n
⋅<>=
=-⋅，
所以二面角D PC B --的余弦值为1
3
-
.
19.解析：（1）因为2
K 的观测值
2
120(15403530)45755070
k ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 2.057 2.706≈<， 所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.
（2）用分层抽样的方法抽取时抽取比例是624515
=， 则抽取女生230415⨯=人，抽取男生2
15215
⨯=人. 依题意，X 可能的取值为0，1，2.
242662(0)155C P X C ====；1142268
(1)15C C P X C ===；
22261
(2)15
C P X C ===.
X 的分布列为：
X 的数学期望为：()012515153
E X =⨯+⨯+⨯=.
20.解析：（1）由条件得4a =，b c ==
所以椭圆E 的方程为
22
1168
x y +=. （2）设00(,)B x y ，11(,)P x y ，则00(,)A x y -， 直线PA 的方程为10
1110
()y y y y x x x x --=
-+，
令0x =，得1001
10
x y x
y y x x +=
+，
故1001100,x y x y M x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得1001100,x y x y N x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，
1001110x y x y F M x x ⎛⎫
+= ⎪+⎝
⎭，
1001210x y x y F N x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝
⎭，
所以，10011210x y x y F M F N x x ⎛⎫+⋅= ⎪+⎝
⎭100110x y x y x x ⎛⎫
-⋅- ⎪-⎝⎭
2222
100110
8x y x y x x -=-+
- 2222
011
022
10818116168x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=-+
- 880=-+=，
所以，12F M F N ⊥，所以直线1F M 与直线2F N 交于点
G 在以12F F 为直径的圆上. 21.解析：（1）存在12,[0,2]x x ∈使得12()()g x g x M -≥成立，等价于
12max [()()]g x g x M -≥.
由3
2
()3g x x x =--，得2
2'()3233g x x x x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
. 令'()0g x >得0x <，或23
x >
， 又[0,2]x ∈，所以()g x 在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间2
,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
所以min 285()327g x g ⎛⎫
==-
⎪
⎝⎭
， max ()(2)1g x g ==.
故12max max min [()()]()()g x g x g x g x -=-112
27
M =≥， 则满足条件的最大整数4M =.
（2）对于任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，等价于在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上， 函数min max ()()f x g x ≥.
由（1）可知在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上，()g x 的最大值为(2)1g =.
在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上，()ln 1a
f x x x x =+≥恒成立等价于2
ln a x x x ≥-恒成立.
设2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--，可知'()h x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是减函数，
又'(1)0h =，
所以当12x <<时，'()0h x <；当
1
12
x <<时，'()0h x >. 即函数2()ln h x x x x =-在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在区间(1,2)上单调递减， 所以max ()(1)1h x h ==，
所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.
22.解析：（1）将222
cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=，
得：22(2)1x y -+=.
（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6
π
的直线. 因此2C 的极坐标方程为6
π
θ=或76
π
θ=
，0ρ>.
将6
π
θ=
代入1C ：230ρ-+=，解得ρ
同理，将76
π
θ=
代入1C 得，ρ=.
故1C ，2C 公共点的极坐标为6π⎫
⎪⎭
. 23.证明：（1）
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-cos cos sin sin αβαβ≤+cos sin αβ≤+； sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin cos cos sin αβαβ≤+cos cos αβ≤+.
（2）由（1）知，cos(())cos sin()αβγαβγ++≤++cos cos cos αβγ≤++，而
0αβγ++=，故cos cos cos 1αββ++≥.。