初三二轮动点存在专题复习

第一讲动点存在性问题
学生_____________ 日期_____________
一．考情分析
二．知识回顾
1、题型分类
在中考中，存在性问题一般分为四类：
1．是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；
2．是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；
3．是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；
4．是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。

2、方法归纳
在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。

而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1＝1”之类的恒等式。

对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。

而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。

对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。

对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。

三．重点突破
类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）
（A）【典型例题1】（2005河北）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C ＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。

动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。

设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时，求∠BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

〖解题思路〗本题是双动点在线段（射线）上运动的存在性问题，根据等腰三角形的特点，B、P、Q三点均可作为等腰三角形的顶点，所以，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，利用勾股定理分三种情况进行讨论：
①若PQ＝BQ、②若BP＝BQ、③若PB＝PQ
答案：t＝716 23
t
秒或秒
（C）【典型例题2】（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E 是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°。

（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x。

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
（B ）【典型例题3】如图，已知直线y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点
D ，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、
E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B
点坐标为（1，0）。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标。

〖解题思路〗（1）先求点A 坐标，然后代入二次函数解析式，列方程求解；
（2）与解决等腰三角形的存在性问题一样，按顶点分为三种情况，利用相似或者射影定理即可解决。

答案：（1） （2）（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）
〖搭配练习〗
（B ）1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，DC ＝5，AB ＝42，∠B ＝45º。

动点M 从B 点出发沿线段BC
以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．
（1）求BC 的长．
（2）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．
213122y x x =-+21112
（C）2．（2008温州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90º，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
（B）3．已知抛物线y＝kx2＋2kx－3k，交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且y有最大值4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
轴交于C 点，且经过点（2，－3a ），对称轴是直线x ＝1，顶点是M ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C 、M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P 、A 、C 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
〖解题思路〗（1）．依题意联立方程组求出a ，b 的值后可求出函数表达式．
（2）易得A 、C 、N 三点坐标分别为：A (1,0)-、C (0,3)-、(3,0)-
利用平移坐标法，很容易就可得到三种情况下P 点的坐标，然后检验即可。

答案：（1）．（2）(2,3)P -
（C ）【典型例题5
】如图，抛物线y ＝x 2－2x －3
与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
223y x x =--
求出AC 的解析式。

（2）、已知A 、C 两点坐标，分两种情况：
①以AC 为对角线时，
②以AC 为一边时，
答案： （1）1y x =-- （2）1234(1,0),(3,0),(4),(4F F F o F --
（A ）【典型例题6】梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。

已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？
（2）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？
〖搭配练习〗
（B ）1．已知抛物线：y 1＝－12x 2＋2x 。

（1）求抛物线y 1的顶点坐标。

（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式。

（3）如图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由。

（B ）2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （3，0），B （2，－3），C （0，－3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t 秒．当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形。

类型三：是否存在三角形与已知三角形相似或者全等
（B ）【典型例题7】如图，二次函数的图象经过点D （0，79
3），且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6。

（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案：（1）2
4)
y x
=--
（2）(10，3
3)或(－2，3
3)或(4，3
-)．〖搭配练习〗
（C）如图，已知抛物线y＝3
4x
2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A
点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝3
4t x－3与x轴交于点Q，点P是线段
BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是____________，b＝____________，c＝____________；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
类型四：是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系
（C）【典型例题8】（2006青岛）如图1，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图2，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456，或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
答案：（1）x ＝1.5s
（2）y ＝256x 2＋5
17x ＋3 （0＜x ＜3）． （3）x ＝2
5（s ）
〖搭配练习〗
（C ）（2009青岛）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6cm ，CD ＝4cm ，BC ＝BD ＝10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：
（1）当t 为何值时，PE ∥AB ？
（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ ＝225S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不
存在，说明理由．
（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．
四．复习建议
动点问题主要是以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题，是学生的中考路上最大的“拦路虎”，而存在性问题又是动点问题中最难的一类题型。

不过，由于此类型题目的基本解题思路及方法是确定的，对于中等及中等以上学生一般是很容易掌握的，难点在于，解题过程中的细节处理上。

建议考生以本课程提供的四大类题型（8个小题型）中的8道例题，分类学习各题型的解题的解题方法和常用技巧，并辅以适量的中考真题。

五．课后作业
提高训练（B类）
1．（2005重庆）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为24
5个平方单位？
2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90º，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C→D→A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A→C →B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝0.5时，求线段QM的长；
4．已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x 轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
综合迁移（C类）
1．（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，A（－1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ＝CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
2．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
3．如图，四边形ABCO是平行四边形，AB＝4，OB＝2，抛物线过A、B、C 三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t 为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？
4．已知，如图，过点E（0，－1）作平行于x轴的直线l，抛物线y＝1
4x
2上的
两点A、B的横坐标分别为－1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：CF⊥DF；
（3）点P是抛物线y＝1
4x
2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x
轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。