初二【数学(北京版)】三角形中的主要线段

A
E
D
F
B
C
探究新知
三角形中的主要线段
中线
角平分线
A
B
D
A
C
B
T
C
?
探究新知
动手操作
请你画出一个任意△ABC，并过顶点A向它
对边BC所在的直线画垂线段，垂足为H.
探究新知
A
B
H C
用三角板的一条直角边贴紧顶点A
的对边BC，另一条直角边过点A，
画出垂线段AH，垂足为H.
探究新知
A
B
H C
顶点A与垂足H之间的垂线段AH，
探究新知
直角三角形和钝角三角形的三条中线是否具备与锐角三角形
三条中线相同的特点呢？
A
F
B
E
D
C
探究新知
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线
A
F
B
E
D
C
探究新知
1.三角形的中线定义；
2.任意三角形的三条中线交于一点，交点在三角形内部.
探究新知
动手操作
找一块质地均匀的三角形硬纸板，画出它的三条中线，
1.三角形角平分线定义；
2.三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部.
例题讲解
如图，BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，
EF是 △ABF 的中线；BF是
A
E
D
F
B
C
的角平分线.
例题讲解
如图△ABF 的中线；BF是 △BEC 的角平分线.
F
探究新知
三角形的中线可以得到线段的相等关系，
它还有什么作用？
BD=CD
A
A
AH=AH
△ = △
B
D
C B
D H
C
探究新知
1.三角形的中线定义；
2.任意三角形的三条中线交于一点，交点在三角形内部；
3.三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形.
例题讲解
已知：如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，
钝角三角形
A
B
H C
内部
直角顶点
外部
探究新知
1.三角形的高线定义；
2.任意三角形的三条高所在的直线相交于一点，
锐角三角形的三条高交点在三角形内部，
直角三角形的三条高交点是直角顶点，
钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形的外部.
例题讲解
如图，AD⊥CD，BE⊥AF于B，CF⊥AF，在△ABC中，
BC边上的高是
A
线
A
图 形
B
D
C
B
T
C
B
H C
共 同 点
（1）都是线段，其中一个端点都是三角形的顶点；
（2）三角形的中线，角平分线，高线各有三条，并且它们所在的直线都交于一点.
用途举例
（1）得到相等的线段
（2）构造面积相等的三角形
得到相等的角
2.准确作图，有助于对图形准确深入的研究
（1）得到线段间的垂直关系
（2）进行与面积有关的计算
110
70
100
90
0
10
20
180
30
40
50
60
70
B
90
100
170
160
80
80
110
150
140
130
120
C
画出∠BAC的角平分线AT.
探究新知
度量法
0
10
180
用量角器度量∠BAC的大小，
20
170
160
30
150
A
40
140
130
50
120
60
110
70
100
90
0
20
180
30
40
1.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角
的对边相交，这个角的顶点与交点之间
A
的线段，叫做这个三角形的角平分线.
∵AT是△ABC的角平分线，
B
T
C
1
∴∠BAT=∠CAT= ∠BAC.
2
探究新知
请你画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
的三条角平分线，并观察图形有什么特点？
A
B
T
C
探究新知
B
T
C
（B）
探究新知
若连接顶点A和交点T，得到线段AT，
0
10
180
这条线段叫做三角形的角平分线.
160
30
150
A
A
20
170
40
140
130
50
120
60
110
70
100
90
0
10
20
180
30
40
50
60
70
B
T
C
（B）
B
90
100
170
160
80
80
110
150
140
T
130
120
C
探究新知
找到线段BC的中点D.
B
0
1
2
D
3
4
5
C
6
探究新知
折叠法
l
A
对折，使点B与点C重合，折痕所在直线l
与BC边的交点为BC边的中点D.
B
D
C
（B）
探究新知
l
A
B
0
1
2
D
3
4
5
C
6
B
A
D
C
（B）
连接顶点A和它对边BC中点D，得到线段AD，
线段AD是三角形的中线.
探究新知
1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边
是三角形的高线.
探究新知
1.三角形的高线：由三角形的一个顶点向它的对边所在的
直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫
A
做这个三角形的高线，简称三角形的高.
∵AH是△ABC的高，
∴∠AHB=∠AHC=90°.
B
H C
探究新知
已知△ABC，请你画出BC边上的高.
A
B
C
探究新知
已知△ABC，请你画出BC边上的高.
C
E
A
B
D
F
，在△AFC中CF边上的高是
.
例题讲解
如图，AD⊥CD，BE⊥AF，CF⊥AF，在△ABC中，
BC边上的高是
，在△AFC中CF边上的高是
C
C
E
A
B
D
F
A
B
.
例题讲解
如图，AD⊥CD，BE⊥AF，CF⊥AF，在△ABC中，
BC边上的高是 AD ，在△AFC中CF边上的高是
C
C
E
A
B
D
F
A
B
D
从复杂图形中分离出目标图形
.
例题讲解
如图，AD⊥CD，BE⊥AF，CF⊥AF，在△ABC中，
BC边上的高是 AD ，在△AFC中CF边上的高是
C
E
A
B
D
F
.
例题讲解
如图，AD⊥CD，BE⊥AF，CF⊥AF，在△ABC中，
BC边上的高是 AD ，在△AFC中CF边上的高是 AF .
C
E
A
B
D
A
B
C
H
探究新知
已知△ABC，画AC边上的高.
A
A
E
B
C
C
B
F
探究新知
在△ABC中，CE是AB边上的高吗？
A
A
D
E
B
C
B
C
探究新知
请你画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，
并观察图形有什么特点？
探究新知
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高.
A
B
H C
探究新知
锐角三角形
直角三角形
用笔尖托住这个交点，观察硬纸板能否保持平衡.
探究新知
三角形的三条中线的交点
叫做三角形重心.
探究新知
动手操作
请你画出一个任意△ABC，及∠BAC的角平分线，
并说明你是如何画角平分线的？
探究新知
度量法
0
10
180
用量角器度量∠BAC的大小，
20
170
160
30
150
A
40
140
130
50
120
60
50
60
70
B
90
100
170
160
80
80
10
110
150
140
T
130
120
C
画出∠BAC的角平分线AT，
点T是角平分线与BC边的交点.
探究新知
折叠法
l
A
折叠，使AB与AC边重叠，折痕所在直线l
是∠BAC的角平分线所在的直线.
B
C
（B）
探究新知
折叠法
A
射线AT是∠BAC的角平分线，点T是
∠BAC的角平分线与BC边的交点.
课后作业
1.如图，已知AD为△ABC的中线，AE为△ABC的高线，且
AB=5cm， AC=3cm.
A
（1）求△ABD与△ACD的周长之差；
（2）判断△ABD与△ACD的面积关系. B
D
E
C
课后作业
2.如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，BC=6，AD=4，AB=7.
求CE的长.
A
E
B
D C
中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
（1）三角形的中线是一条线段.
∵AD是△ABC的中线，
B
D
C
1
∴BD=CD= BC.
2
探究新知
请你画出△ABC的其它中线，观察图形，并说明它们之间
存在怎样的位置关系.
A
F
（1）三角形的中线是一条线段.
（2）三角形有三条中线，且交于一点，
E
交点在三角形内部.
B
D
C
三角形中的主要线段
初二年级 数学
复习引入
定 义
A
基本元素
B
由不在同一条直线上的
三条线段首尾顺次相接
组成的图形叫做三角形.
顶点、边、角
C
性 质
边的性质
角的性质
探究新知
动手操作
请你画出一个任意△ABC，找到BC边上的中点，标为点D，
并说明你是如何找到中点的？
探究新知
度量法
A
用刻度尺度量线段BC的长，
AD的中点，且S△ABC＝16，则 S△BCE ＝ 8 .
AD为△ABC的中线
1
S△ABD=S△ACD= S△ABC
2
BE为△ABD的中线
1
S△BED= S△ABD
2
CE为△ACD的中线
1
S△CED= S△ACD
2
B
A
E
D
1
S△BEC= S△ABC
2
C
课堂小结
1.三角形中的主要线段
中
线
角平分线
高
A