2020届一轮复习人教A版平面解析几何作业

2020届一轮复习人教A版平面解析几何作业
一．基础题组
1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】双曲线的一条渐近线方程为，则正实数的值为（）
A．9 B．3 C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，即可得到结果
【详解】
2. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，则满足的点的轨迹的圆心为____________，面积为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由阿波罗尼斯圆求出点的轨迹的圆的方程，就可以得到圆心坐标和圆面积
【详解】
设
，
即
化简可得
故圆心坐标为
面积为
【点睛】
本题考查了阿波罗尼斯圆，即一动点到两定点的距离之比是个常数时其轨迹是圆，运用两点间的距离公式就可以求出圆的标准方程，从而得到结果.
3.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，已知椭圆，双曲线
，若以为长轴的直径的圆与的一条渐近线交于两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则且，根据这个关系我们能得到
的坐标，从而得到的大小．
详解：设直线与椭圆在第一象限内的交点为且设，
其中则，
故，所以，也就是，所以，选A．
点睛：圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．
4. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】直线与椭圆相交于两点，与轴、轴分别相交于两点.如果是线段的两个三等分点，则直线的斜率为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设直线的方程为，联立椭圆方程，是线段的两个三等分点，则线段的中点与线段的中点重合，得到关系式求出斜率
【详解】
由题意，设直线的方程为，，
则，
联立椭圆方程可得
，
由韦达定理可得，，
是线段的两个三等分点
线段的中点与线段的中点重合
，解得
故答案为
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，由题目中“是线段的两个三等分点”出发，联立直线方程与椭圆方程，求得线段中点坐标，得到方程求出结果，解题关键是找出相等的量。

5. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知，直线与曲线和直线
分别交于两点，若恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】分析：由关于直线对称，可得它们的交点为，而当经过点时，
取得最小值，由题意可得的不等式，解不等式求得实数的取值范围.
详解：
点睛：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，
是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
6. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知是双曲线的左，右焦点，是双曲线上一点，且，若△的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：不仿设为第一象限的点，根据双曲线的定义和勾股定理，可得，所以
，利用面积相等和离心率公式，化简整理即可得结果.
点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
7.【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．【答案】 6
【解析】由题得
所以焦距,故第一个空填6.
由题得渐近线方程为.
故第二个空填.
8. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，已知直线与抛物线
相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）
A．B．
C．D．2
【答案】C
【解析】分析：直线恒过点，由此推导出，根据题意，求出点A的坐标，从而能求出k的值.
详解：设抛物线C：是准线为，
直线恒过点，
过分别作于，于，
由，所以点为的中点，
连结，则，所以，
点A的横坐标为，所以点的坐标为，
把代入直线，
解得，故答案是.
点睛：该题考查的是直线与椭圆相交的有关问题，在解题的过程中，需要充分利用题的条件，灵活运用抛物线的定义，能够发现直线所满足的条件，联立求得点的坐标，代入求得k的值，即得结果.
9. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知椭圆的右焦点为，其关于直线的对称点在椭圆上，则离心率__________，__________．
【答案】. .
【解析】分析：设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．
点睛：（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质和对称问题，意在考查学生对这些基础知识的转化能力和分析能力.(2)求点A关于直线l：的对称点B时，由于直线l是AB的垂直平分线，所以只需解方程
即可.
10.【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】双曲线的渐近线方程是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】分析：直接利用双曲线的渐近线方程公式求解. 详解：由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为
故答案为：A
点睛：(1)本题主要考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)双曲线
的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为
.
11. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】如图12,F F 是双曲线2
2
1:1
3
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第一象限的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
13 B ．23 C ．15 D ．2
5
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意知，
1214
F F F A ==，∵
122
F A F A -=，∴
22
F A =，∴
126
F A F A +=，∵
12=4
F F ，
∴2
C 的离心率是
42
63=，选B 考点：椭圆离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】分析：直接利用双曲线方程，求出实轴长以及焦距的长，即可得到双曲线的离心率．
详解：∵双曲线的方程为
∴，
∵
∴
∴
故选C.
点睛：本题考查了双曲线简单性质的应用，离心率的求法.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种
方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
13. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】双曲线的离心率是______，渐近线方程为______．
【答案】 2. .
【解析】分析：直接利用双曲线的几何性质解答即可.
详解：由题得
所以双曲线的离心率为渐近线方程为
故答案为：2，.
14. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知过椭圆的左焦点
且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：根据平方差法得到直线的方程为，联立方程组，解得点的坐标，再根据
，得，把点代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.
15. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】已知椭圆经过圆的圆心，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】即为，圆心为（2，1），
∵经过圆的圆心，. 当且仅当时等号成立.
据此可得：的取值范围是.
本题选择B选项.
16. 【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】双曲线中，
本题选择C选项.
17. 【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k=_____．
【答案】2
【解析】分析：根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以斜率和相反，即得结果. 详解：因为根据圆以及抛物线的对称性可得直线AB与直线CD关于x轴对称，所以直线AB与直线CD斜率和相反，
因为直线AB斜率为-2，所以直线CD斜率为2.
18. 【浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考】若双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的两条渐近线互相垂直，则它的离心
率为（）
A．2B．3C．2 D．3 2
【答案】A
19. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
双曲线的一条渐近线不妨设为：，则：，可得：
一条渐近线截椭圆所得弦长为，
可得：，可得，
解得．
故选：B．
20. 【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性】已知圆与直线，则“”是“直线与圆相切”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和圆相切可得，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【详解】
由圆心到直线的距离
若直线与圆相切，则，即，则，
则“”是“直线与圆相切“的充分而不必要条件，
故选：A．
21. 【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．
【答案】-1. .
【解析】分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.
详解：由题得
当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.
因为圆的方程为，
所以，
所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆.
由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1),
所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.
且最短弦长为
故答案为：-1，.
22. 【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】双曲线的离心率是______，渐近线方程为______．
【答案】 2. .
【解析】分析：直接利用双曲线的几何性质解答即可.
23. 【浙江省宁波市2018届高三5月模拟】设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，若，则与的面积之比
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：分别过A，B作准线l的垂线AM，BN，根据|BF|求出B点坐标，得出直线AB的方程，从而得
出A点坐标，于是．
详解：抛物线的准线方程为l：x=﹣1，
分别过A，B作准线l的垂线AM，BN，则|BN|=|BF|=5，
∴B点横坐标为4，不妨设B（4，﹣4），则直线AB的方程为y=4x﹣20，
联立方程组，得4x2﹣41x+100=0，
设A横坐标为x0，则x0+4=，故而x0=．
∴|AM|=x0+1=，
∴．
故答案为：D.
24. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】
设直线，直线
.若，则实数的值为
______，若∥，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】分析：由题意得到关于a的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果.
详解：若，则：，整理可得：，
求解关于实数a的方程可得：.
若∥，则，据此可得：.
25. 【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】已知、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交渐近线于点（在第一象限），交双曲线左支于，若是线段的中点，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得点P的坐标，然后利用中点坐标公式求得点Q的坐标，最后利用Q在双曲线上求解双曲线的离心率即可.
详解：联立直线方程与圆的方程：，
结合，且点P位于第一象限可得：，
双曲线的左焦点坐标为，则PF1的中点坐标为，
点Q在双曲线上，则：，
整理可得：，即，
解得：，双曲线的离心率，故.
本题选择C选项.
26. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为________.
【答案】
【解析】令（为常数），设，由平行四边形知识，
，设点，
因为，所以，
此方程即为椭圆方程，即，故答案为.
27. 【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是_______；轨迹为________．
【答案】一个圆
【解析】设点，由题意：得：，整理得到点P的轨迹方程为，即，其轨迹为圆.
28. ．【浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟】若双曲线：的右顶点为，过的直线与双曲线的两条
渐近线交于两点，且，则直线的斜率为（）
A．B．C．2 D．3
【答案】D
29. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】双曲线的渐近线方程是__________，离心率是__________.
【答案】
【解析】由可得双曲线的渐近线方程是，
且双曲线中，.
30. 【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】设圆C1：x2＋y2＝1 与C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．内含
【答案】A
【解析】分析：根据圆的方程的特征分别计算出两圆的圆心与半径，计算处圆心距，根据可得两圆位置关系.
详解：由题意知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆心距为
，又，则，所以两圆的位置关系为相离，故正确答案为A.
31. 【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】如图，已知双曲线：的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为，所以点A 到渐近线的距离，
因为，所以A,B,F 三点共线.由题得
,
所以
，故选D.
32. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】已知F 是抛物线2
:4C y x =的焦点， M 是C 上一点， FM 的延长线交y 轴于点N . 若1
2
FM MN =，则FN =_____． 【答案】5
33. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】设,A B 是椭圆22
:14x y C k
+=长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=，则k 的取值范围是（ ）
A ． 40,[12,+)3⎛⎤⋃∞ ⎥⎝
⎦ B ． 20,[6,+)3⎛⎤⋃∞ ⎥⎝
⎦ C ． 20,[12,+)3⎛⎤⋃∞ ⎥⎝
⎦ D ． 40,[6,+)3
⎛⎤⋃∞ ⎥⎝
⎦
【答案】A
【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，则04m ＜＜ ，
当P 位于短轴的端点时， APB ∠ 取最大值，要使椭圆C 上存在点P 满足120APB ∠=，
4
12060603APB APO tan APO tan m
∠≥︒∠≥︒∠=
≥︒=，， ， 解得403
m ≤
＜； 当椭圆的焦点在y 轴上时， 3m ＞ ，
当P 位于短轴的端点时， APB ∠ 取最大值，要使椭圆C 上存在点P 满足120APB ∠=，
120606034
m
APB APO tan APO tan ∠≥︒∠≥︒∠=
≥︒=，， ，
，解得： 12m ≥ ， m ∴ 的取值范围是40,[12,+)3⎛⎤
⋃∞ ⎥⎝⎦
故选A ． 34. 【浙江省名校协作体2018届高三上学期考试】双曲线22
194
y x -=的渐近线方程是（ ） A ． 94x ±
B ． 49x ±
C ． 32x ±
D ． 2
3
x ± 【答案】C
【解析】双曲线22194y x -= 中3,2a b == ，双曲线的渐近线方程为3
2
y x =± ，选C 35. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】设是直线上一点，
是圆:
上不
同的两点，若圆心是的重心，则
面积的最大值为__________．
【答案】.
【解析】分析：根据题意画出草图，根据集合关系写出面积表达式然后再根据函数思维求出最值即可
详解：如图：因为是圆:上不同的两点，且圆心是的重心，
故设AC=2x ，则DC=x ，因为CP=CQ ，且D 为中点，故AD ⊥PQ ，所以，故面积
表达式为，故面积的最大值为.
36. 【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】抛物线的准线方程是_________,若此抛物线上一点
到此抛物线焦点的距离为1，则点的横坐标为_________. 【答案】
. .
【解析】分析：根据抛物线的定义和性质即可求出．
详解：：抛物线y 2=2x 的准线方程是x=-，设M 的横坐标为x 0，由抛物线的定义可得x 0+=1，∴x 0=．故答案为：-，
37. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】已知点1F 是抛物线C ： 2
2x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ， 2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．
62
2
- B ． 21- C ． 21+ D ．
62
2
+ 【答案】C
38. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟考试（一）】已知点1F 是抛物线C ： 2
2x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ， 2F 为焦点的双
曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．
62
2
- B ． 21- C ． 21+ D ．
62
2
+ 【答案】C
【解析】由题意，得120,,0,22p p F F ⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，设过2F 的抛物线C 的切线方程为2p y kx =-，联立22{ 2x py
p y kx ==-，
2220x pkx p -+=，令222440p k p ∆=-=，解得21k =，即2220x px p ±+=，不妨设,2p A p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由双曲
线的定义得(
)
21221a AF AF p =-=
-，
122c F F p ==，则该双曲线的离心率为(
)
2121e p
=
=+-.故选C.
39. 【浙江省台州中学2018届高三模拟】若圆关于直线对称，则的
最小值为__________．由点向圆所作两条切线，切点记为
，当
取最小值时，
外接圆的半径为
__________． 【答案】
【解析】分析：首先根据圆关于直线对称，可得直线过圆心，将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标，代入直线方程，求得
，之后将其转化为关于b 的关系式，配方求得最小值，通过分析图形的特征，求得什
么情况下是该题所要的结果，从而得到圆心到直线的距离即为外接圆的直径，进一步求得其半径. 详解：由
可得
， 因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，化简得
，
则有
，所以有
的最小值为
；
根据图形的特征，可知PC 最短时，对应的最小，
而PC 最短时，即为C 到直线的距离，
即
，此时A,B,P,C 四点共圆，
此时PC 即为外接圆的直径，所以其半径就是
.
40.【浙江省台州中学2018届高三模拟】设是双曲线的两个焦点，是上一点，若
，且的最小内角为，则的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得，进而确定三角形的最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果.
详解：不妨设，则，
又，解得，
则是的最小内角为，
所以，
所以，
化简得，解得，故选D.
二．能力题组
1. 【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知抛物线的方程为，其焦点为，为过焦点的抛物线的弦，过分别作抛物线的切线，设相交于点.
（1）求的值；
（2）如果圆的方程为，且点在圆内部，设直线与相交于两点，求的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
设，联立直线方程与抛物线方程求得，求导算出斜率得，即，所以
结合，联立在点、处的切线方程得交点，点在圆内，表示出和，列出
的表达式，然后求解结果
【详解】
（1）设，因为，所以设AB的方程为，代入抛物线方程得，所以为方程的解，从而，
又因为，，因此，即，所以．
【点睛】
本题以抛物线为载体，结合了直线与抛物线、直线与圆的综合问题，在求解线段乘积的最值时通过设点坐标来表示线段的长度，然后在计算过程中运用了整体换元的思想来求解，本题还是有一定难度。

2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，已知圆，抛物线的顶点为，准线的方程为，为抛物线上的动点，过点作圆的两条切线与轴交于.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，求△面积的最小值.
【答案】(1).
(2)32.
【解析】分析：（Ⅰ）根据抛物线的准线方程可得，故抛物线的方程可求出.
（Ⅱ）求出过的圆的切线的方程后可得两点的横坐标，它们可用及其相应的斜率表示，因此也与这三者相关.再利用圆心到直线的距离为半径得到斜率满足的方程，利用韦达定理和消元后可用关于的函数表示，求出该函数的最小值即可.
详解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，
则，∴，所以抛物线的方程是.
点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.
3. 【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知椭圆：的左，右焦点分别是
，点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的内角平分线交的长轴于点．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）设，则，求出的方程，利用角平分线的性质，由点到直线距离公式可得，，结合，可得结果；（2）
，设，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得，从而可得结果.
详解：（1）设，则.
又，所以直线的方程分别为：
．
因为．
所以．因为
，
可得，所以，
因此．
（2）．
．
所以．
设，
则．
所以，
所以．当且仅当时取到等号．
另解：
．
当且仅当时取到最大值．
所以．
点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关
结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
4. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点
，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为．
（Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.
【答案】（1），（2）
【解析】分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；
(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.
详解：（Ⅰ）依题意得对：，，得：；
同理：.
点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.
5. 【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一
象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：（1）设，先求得，再根据抛物线的定义求得p=1，即得抛物线的方程.(2)先求出，再利用换元和导数求其最小值.
（2）∵∴垂直平分线方程为
∴。

由得，设
∵，∴
又∵到的距离
∴
∴令，则
∴令，则
∴时.
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出
，这个计算量有点大.其二是换元得到新的函数
.
6. 【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】设抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点1
,02⎛⎫
⎪⎝⎭
的动直线交抛物线于不同两点,P Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A .
（1）求点M 的轨迹方程； （2）求APQ ∆面积的最小值.
【答案】（1）2
21y x =-；（236
【解析】分析：（1）设直线PQ 方程为12
x ty =+
，代入2
4y x =，消去x ，运用韦达定理和中点坐标公式，再运用代入法消去t ，即可得到M 的轨迹方程；（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，，根据（1）可得
2001
21,{ 2
2.
x t y t λλλ=-+=，由A 点在抛物线24y x =上，化简可得212t λ
=-，由点到直线的距离公式，以及弦长公式，求出APQ ∆的面积，再构造新函数，利用导数即可求得APQ ∆的面积的最小值.
（2）设()00(0),FA FM A x y λλ=<，. ∵()1,0F ， 2
12,22M t t ⎛⎫+
⎪⎝⎭
∴2001
21,
{ 2
2.
x t y t λλλ=-+= 由A 点在抛物线2
4y x =上，得()
221
212
t λλλ-=-+. 又∵0λ< ∴21
2t λ=-
，点A 到直线PQ 的距离2121d t
λ-=+
又2
121PQ t
y y =+- ()()222142t t =++所以， APQ ∆面积1
2
S PQ d =⋅⋅= ()
3
212221122t λλ
-+-=设()()3
1,0f λλλλ
-=<，有()()()2
2
121'f λλλλ
-+=，故()f λ在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
上是减函数，在1,02
⎛⎫- ⎪⎝⎭
上是
增函数，因此，当1
2
λ=-
时()f λ取到最小值. 所以， APQ ∆36
. 点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求
这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
7. 【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】如图，直线与抛物线相交于两点，是抛物线的焦点，若抛物线上存在点，使点恰为的重心.
（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：（1）设，联立方程组，求得，进而利用重心的坐标公式，求得，由题意得不等式组，即可求解；
（2）原点到直线的距离，利用弦长公式和三角形的面积公式得，设，利用导数得到函数的单调性和最值，即可求解面积的最大值.
详解：（1）设，
由，得，
由，得①，
则，
所以，。