Z变换的基本性质

k m z m
说明:移序特性可将差分方程转换为代数方程.
X
13
第
m1 因 x ( k 为 ) X 以 x ( k ) z k ： x 0 x 1 z 1 x 2 z 2
k 0
x(k1)x(k1)zk
k0
x1x0z1x1z2 x(2)z3
X
21
五．乘k定理 （z域微分定理） 第 页
若 x(k)X(z) z 则 kx(k)zdX(z) z
dz 推广 km x(k) zd d z mX (z)
zd d z m 表 zd d 示 z zd d z zd d z zd d zX (z )
６ .思考 ( 2 )k： ( k 1 )求 的单 z变 边 换 双边 X
16
三.Z域尺度定理（序列指数加权乘ak） 第 页
若 x(k)X(z)
z
则 akx(k)Xz a
aza
a为 非 零 常 数
说明:在时域乘指数序列相当于在z域进行尺度变换.
证明： Z a k x (k ) a k x (k )z k x (k ) z k X z
X(z)a1za2z2 X1(z)真分式
2)将X(z)在z→∞时的动态特性与x(k)的初值联系起来
推理 x(1)＝？ x(2)＝？
因x 为 (1 )x (k 1 )
x(2 )x(k2 )
k 0
k 0
且 x ( k 1 ) ( k ) x ( k 1 ) ( k 1 ) [ ( k 1 ) z X ( z ] ) x ( 0 )
15
第
例题 页
1.求f (k) (k 1) (k 1)的单边 z变换
2.已知ak(k) z
za
z a
分别求 ak1, ak1(k),ak1(k 1)单边z变换
3.ak的双边 z变换存在吗？
4.求以下信 z变号 换单边
f(k)2k(k1)
f(k) 1 0
k1,3,5, k2,4,6
5.已F 知 (z) 1 求 f(k) z9(z1)
X
18
四．时域卷积定理
第
页
已 知 x(k)X(z)
1z1
h(k) H(z)
2z2
则 x(k)*h(k)X(z)H(z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
(zmR a1,R x 2)(
注意：如果在相乘过程中有零点与极点相抵消，则 收敛域可能扩大。
在时域中的卷积
在z域中z变换的乘积
X
19
第
利用卷积定理得出常见序列的z变换
1
第二节 Z变换的性质
第 页
反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系 线性性质 移序性质 序列乘K性质（序列线性加权） Z域尺度变换性质（序列指数加权） 时域卷积定理
z域卷积定理（自学）
初值定理
以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.
X
2
一．线性 (叠加性和齐次性）
第
页
若Zx1(k)X1(z)
k
1)f (k) (1)i
i0
k1
2)f (k) ai(i)
i
X
26
九．初值定理
第
页
若 x (k ) 为 因 果 序 列 ， x (k)(k ) X z ， 且 x (0 )存 在
则 x (0 ) lim X (z ) z
理解:1)不需进行反变换,直接由X(z)求x(0),x(1) …x(∞).
x ( k 2 ) ( k ) x ( k 2 ) ( k 2 ) ( k [ 2 ) ( k 1 ) z 2 X ( z ) ] x ( 0 ) x ( 1 ) z 1
所 x ( 1 ) 以 li z X m ( z ) x ( 0 )
z
x ( 2 ) lz i 2 X m ( z ) x ( 0 ) x ( 1 ) z 1 z
x ( k m )( k m ) z m X ( z )
k m z m
X
无论左移序右移序特性需牢记：
第
10
x ( k m )( k m ) z m X ( z ) (km ) zm 页
x(km )(k） 求解设 思 x ( k 路 )： ( k ） X ( z )
xk 2 (k) x ( k 2 ) ( k [ 2 ) ( k 2 ) ( k 1 )]
2.同学练习：
如果 f1(k)(k) f2(k)(12)k(k)(12)k1(k1)
求f1(k)f2(k) （用 Z变换法求卷积和）
k 1
3 .求 f1 (k )[ 2 ()n(k n )和 ] f2 (k )( 1 )i的 z 变
n 0
i 0
k1
同学练习 (2)i： 1的 z变 求换
i3
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
6
二．移序(移位)性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
7
1．双边z变换的移序性质
第 页
原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k2)
4
x(k2)
4
1O12 k 1O12
k
21O1 k
若x 序 k的 列 z 双 变 :边 换
X
9
第
(1)左移位性质
页
若 x (k )(k ) X (z) z
则 x ( k m )( k ) z m X (z ) m 1 x ( k )z k z
k 0
其中m为正整数
x k 1 ( k ) z z X z 0 x
x k 2 ( k ) z 2 X z z 2 x 0 z 1 x
k
求序列 y ( k ) if (i)的单边 z变换 Y ( z ) i0
X
23
六.除k+m定理(z域积分定理)
第
页
若 x(k) X(z) z
则 x(k)zm X()d
km
z m1
z
m为 整,且 数km0
m 0
x( k X ) ()d k z
z
例题
求序a列 k (k)的z变换
X
27
真分式
第
说明: x(0)LiX m (z) z
f(0)L s ism 真 F (s)
页
1.由无穷远处的X(z)可递推出x(k)任意时刻值,无需反变换.
2.因果序列初值x(0)若存在 X(∞)值存在
X(z)有理多项式分母阶数n≥分子阶数m
初值x(0)存在的条件: n≥m(含n=m真分式)
如果: n＜m,X(z)是假分式（双边信号）
1)ak(k 1)
2)ak(k 1)
X
25
八.时域求和性质
第
页
若x(k) X(z) z
k
则f(k)
x(i)z
X(z)
m a,1x )z(
i
z1
说:明 用 卷 积 和 定 理 可 得
k
f(k)
x(i)x(k)(k)z
X(z)
i
z1
例 题:求 以 下 信z号 变的 换 (用 求 和 性 质 或 卷质积）和
k 0
k 0 a a
同理
akx(k)Xazz
aa
1 kx (k ) X z
X
17
第
例题 页 求以下信号单边 z变换 1. f (k ) (0.5)k (k ) 2. f (k ) ( 1 ) k sin k (k ) 22 3. f (k ) 2 k [( 2) m (k m )] m0
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意： k 对 0 时 x 于 k ， 0 ， 因则 果
x k m z m X ( z )
x ( k m )( k m ) z m X ( z )
第
证明左移位性质 页
根据单边z变换的定义，可得
Zxkm k xkm zk k0
zm xkmzkm k0
令 nkmzm xnzn nm
zmxnznm 1xnzn
n0
n0
zmXzm n01xnzn
X
12
第
(2)右移位性质 页
若 x (k )(k ) X (z ) z
则 x ( k m )( k ) z m X (z ) k 1 m x ( k )z k z
x ( k 2 )( k 2 ) x ( k 2 )( k 2 ) x ( k 2 )( k 1 ) x ( k 2 )( k 2 ) x ( 0 )( k 2 ) x ( 1 )( k 1 )
z 2 X z z 2 x 0 z 1 x
同理：
xk2 (k) x ( k 2 )( k [ 2 ) ( k ) ( k 1 )
R : z O m e k ω C 0 ,a e k ω 0x
同理
X
4
同理
第
页
sik n ω 0 )h (k ) ( z2 2 zz sc ω h ω 0 h 0 1
R : z O m e ω 0 C ,e a ω 0 x
X
5
例2
第
页
注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，
则收敛域可能扩大。
x (k ) a k (k )
y(k)ak(k）－ ak(k） ak(k）－ (k）
X(z) z z a
Y(z) a z a
z a z a
y(k)ak(k1)
aak1k1
x(k)y(k) a k ( k ) a k ( k 1 ) δ k 1
X (z) Y (z)1
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则Za1x (k)b2x(k)a1 X (z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 zmR ax1,x R x2 ()
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
例1 求 co k s 0 h (k )的 z变换 （自学。 ）
x ( k 2 )( k 2 ) x ( k 2 )( k ) x ( k 2 )( k 1 ) x ( k 2 )( k 2 ) ＋ x ( 2 )( k ) ＋ x ( 1 )( k 1 )
z 2 X z x 2 z 1 x 1 X
11
x(-1)z-1[x0x1z1x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
证明右移位性质 页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0 令nkmzm xnzn nm zm n 0xnznn 1m xnzn
zmXzn 1mxnzn X
x (k) X (z)
z
x (k m ) z m X (z ) z
X
8
2．单边z变换的移序性质
第 页
若x(k)为双边序列，其单边z变换为 Z x (k )(k )
x(k)(k)
x(k2)(k)
x(k2)(k)
4
4
4
1O1
k 1O1
k
1O1
k
xkm k,xkm k比 xkk的长度有
xkm ,xkm 只是位置 xk的 变长 化度 ，
共求导m次
说明:在时域乘k(线性加权),相当于在z域中对z变换求
导再乘-z.
X
22
第
例题 页
1 .求以下序列的 z变换
1) f1 (k ) (1) k (k 1) (k 1)
2) f 2 (k ) (k 1) 2 (k 1)
3) f3 (k )
k (k 1) (k )
2
2 .已知序列 f ( k )的单边 z变换为 F ( z )
k1
X
24
七.时域反转
第
页
若 x(k)X(z) z
则 x(k)X(z1) 说明:信号在时域反转
1z1
在z域坐标变换为z-1
其收敛域为倒置(因果变为反因果)
注k 意 域： 尺 x (k)度 X (za 变 ) 换 za
a
例题 已 知: x(k) ak(k) z
z a
z a
求 以 下 信 号z变 的换
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω 0 h1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( k s ) 1 2 h Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z (2 zzccoosω sω 0h 0h 1
页
1.k (1)(k) (k)(k) (z)2 z1 z 1
2.ak(k1)(k) a k(k ) a k(k ) (z)2 z a
3.k(k1) z1(z z1)2(z z1)2 z1
(k 11)(k 1)
za
4.k(k)k(k1) (zz1)2 z1
X
20
第
例题 页
1 . 求 ( k 1 )( k [ ) ( k 3 ) [ ] ( k ) ( k 4 ) 的 z ] 变