高中数学 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等

3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(一)
学习目标 1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
知识点一 二元一次不等式(组)的概念
思考 对于只含有一个未知数的不等式x <6，它的一个解就是能满足不等式的x 的一个值，比如x ＝0.那么对于含有两个未知数的不等式x －y <6，你能类似地举出一个解吗？
答案 含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x ，y 的取值，例如⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0，也可写成(0,0)．
梳理 (1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式； (2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；
(3)满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )称为二元一次不等式(组)的一个解；
(4)所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
知识点二 二元一次不等式表示的平面区域
思考 一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋3>0，
x －4<0的解集为数
轴上的一个区间(如图)．
那么，在直角坐标系内，二元一次不等式x －y <6的解集表示什么图形呢？
答案 二元一次不等式x －y <6的解是一个有序数对(x ，y )，它在平面直角坐标系中对应一个点．显然不等式x －y <6的解不止一个，且这些解不在直线x －y ＝6上．经探索，以二元一次不等式x －y <6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x －y <6.因此，在直角坐标系中，不等式x －y <6表示直线x －y ＝6左上方的平面区域． 梳理 (1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界． 不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符
号都相同．
(3)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0(或<0)表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域． (4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集．
类型一 二元一次不等式解的几何意义
例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 答案 (－7,24)
解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x －2y ＋a ＞0的解，另一个点是3x －2y ＋a ＜0的解．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3×3－2×1＋a ＞0，－－2×6＋a ＜0
或⎩
⎪⎨⎪⎧
3×3－2×1＋a ＜0，－－2×6＋a ＞0，
即(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]＜0， (a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.
反思与感悟 对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若Ax 1＋By 1＋C ＞0，则Ax 2＋By 2＋C ＜0，即同侧同号，异侧异号．
跟踪训练1 经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解 由题意知直线l 的斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，
由题意知A ，B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有(k ＋1)(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1.
类型二 二元一次不等式表示的平面区域 例2 画出不等式x ＋4y <4表示的平面区域． 解 先作出边界x ＋4y ＝4，
因为这条线上的点都不满足x ＋4y <4， 所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x ＋4y －4， 因为0＋4×0－4＝－4<0，
所以原点(0,0)在x ＋4y －4<0表示的平面区域内，
所以不等式x ＋4y <4表示的平面区域在直线x ＋4y ＝4的左下方．
所以x ＋4y <4表示的平面区域如图阴影部分所示．
反思与感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C ≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C ＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点． 跟踪训练2 不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域在直线x －2y ＋6＝0的( )
A ．右上方
B ．右下方
C ．左上方
D ．左下方 答案 B
解析 在平面直角坐标系中画出直线x －2y ＋6＝0，
观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x －2y ＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域内，故选B.
类型三 二元一次不等式(组) 表示的 平面区域
例3 用平面区域表示不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y <－3x ＋12，x <2y 的解集．
解 不等式y <－3x ＋12，即3x ＋y －12<0，表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ，即x －2y <0，表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．
引申探究
|x |＜|2y |表示什么区域？ 解 |x |＜|2y |等价于x 2
＜(2y )2
， 即(x －2y )(x ＋2y )＜0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＜0，x ＋2y ＞0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＞0，
x ＋2y ＜0，
其表示的平面区域如图阴影部分所示．
反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．
跟踪训练3 画出下列不等式组所表示的平面区域．
(1)⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ≤3，
x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.
(2)⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.
解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；
x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，表示直线x ＋y －3＝0上及左下方的区域；x ≥0表示y 轴及其右边
区域；
y ≥0表示x 轴及其上方区域．
综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示．
(2)
x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域；
2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域；
x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域．
综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示．
1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) 答案 D
解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D. 2.
如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A.⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0
B.⎩⎪⎨⎪
⎧ y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0
C.⎩⎪⎨⎪
⎧ y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0
D.⎩⎪⎨⎪
⎧
y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0
答案 C
解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方， 且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2. 又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0， 故可得不等式x ≤0.
由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，
故可得直线3x－2y＋6＝0，
因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，
故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.
3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1<a<6.
4．画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.
解(1)
画出直线x－2y＋4＝0，
∵0－2×0＋4＝4>0，
∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，
∵0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．
1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax
＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
40分钟课时作业
一、选择题
1．下列选项中与点(1,2)位于直线2x －y ＋1＝0的同一侧的是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(1,0) 答案 D
解析 ∵2×1－2＋1＝1＞0，
∴点(1,2)位于2x －y ＋1＞0表示的平面区域内，而四个点(－1,1)，(0,1)，(－1,0)，(1,0)中只有(1,0)满足2x －y ＋1＞0. 2．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ＋3y ≤12，x －y >－1，
y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 答案 C
解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共6个．
3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20
表示的平面区域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个 答案 B
解析 画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．
∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．
4．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的平面区域为( )
答案 B
解析 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组
①⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组②⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y <0，
x ＋2y －2<0.
分别画出不等式组①和②所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B. 5．点A (－2，b )不在平面区域2x －3y ＋5≥0内，则b 的取值范围是( ) A ．b ≤1
3 B ．b ＜1
C ．b ＞1
3 D ．b ＞－9
答案 C
解析 依题意，点A (－2，b )满足2x －3y ＋5＜0， ∴2×(－2)－3b ＋5＜0，即b ＞1
3
.
6．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B．m ≤1 C ．m <1 D ．m >1 答案 D
解析 由2m ＋3－5>0，得m >1. 二、填空题
7．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围
为________． 答案 (－1,0]
解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内． 则⎩⎪⎨
⎪⎧
a >0，
a ＋1≤0，
无解；
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤0，a ＋1>0，∴－1<a ≤0.
综上所述，－1<a ≤0.
8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤1，
x －y ≤1，
－x ＋y ≤1，
－x －y ≤1
表示的平面区域的形状为__________________________．
答案 正方形
解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，为边长为2的正方形．
9．下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为：
(1) (2)
(3)
(1)___________________；(2)___________________； (3)____________________．
答案 (1)⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x ≤1，
－1≤y ≤1(2)x ＋y ≤1 (3)⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y >0，
x ≤1
10．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数m 的值为________． 答案 －3
解析 由点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离
d ＝
|4m －9＋1|
5
＝4， 得m ＝7或m ＝－3.
又点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内， 当m ＝－3时，点P 的坐标为(－3,3)， 则2×(－3)＋3－3<0，符合题意； 当m ＝7时，点P 的坐标为(7,3)， 则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去． 综上，m ＝－3. 三、解答题
11．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域．
解 先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)， 取原点O (0，0)，代入x －y ＋5， 因为0－0＋5＝5>0，
所以原点在x －y ＋5>0表示的平面区域内，
即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合， 同理可得x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，
x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．
所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．
12．在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元
一次不等式组．
解 如图所示，
可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，
x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0.
∵△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；
∵△ABC 区域在直线BC 右下方，
∴x －y ＋2≥0；
∵△ABC 区域在直线AC 左下方，
∴2x ＋y －5≤0.
∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1≥0，
x －y ＋2≥0，
2x ＋y －5≤0.
13．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x
≥3，y ≥2，
6x ＋7y ≤50的整数解．
解 把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，
得y ≤327，
又∵y ≥2，
∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；
把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，
得y ≤267，
∴整点有(4,2)，(4,3)．
把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤207，
∴整点有(5,2)；
把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，
∴整点有(6,2)；
把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤87
，与y ≥2矛盾． ∴整数解共有7个，为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．。