江西省赣州市会昌中学2022高一数学上学期第二次月考试题

江西省赣州市会昌中学2022高一数学上学期第二次月考试题
考试时间：120分钟 总分值：150分 第I 卷（选择题)
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合{}|2A x x =>，{}2,0,2,4B =-，则()R C A B ⋂等于（ ） A ．{}2,0-
B ．{}2,4
C ．
2,0,2
D ．{}0,2,4
2．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） A ．（-2，-1）
B ．（-1,0）
C ．（0,1）
D ．（1,2）
3．若α是第二象限角，且22
sin 3
α=，则tan α=（ ） A ．22-
B ．6-
C ．7-
D ．5-
4．如果点()sin cos cos P θθθ,位于第二象限，则角θ是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
5．()()sin315sin 480cos 330︒+-︒+-︒的值为（ ）
A ．
22
B ．22
-
C ． 12
-
D ．
12
6．已知13
241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭,，，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．a b c <<
7．若幂函数()y f x =的图象过点()
8,22，则函数()()2
1f x f x --的最大值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．34
-
D ．-1
8．函数1
2
1
()log 1
f x x =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
9．若函数,1
()(23)1,1x a x f x a x x ⎧>=⎨-+≤⎩
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）．
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ． 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
10．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．57,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上递减，且1()02
f -=，则不等式
14(log )0f x <的
解集为（ ） A ．1(,)
(2,)2-∞+∞ B ．1(,1)(1,2)2⋃ C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1
(,1)(2,)2
⋃+∞
12．对于定义域为R 的函数()f x ，若存在非零实数0x ，使函数()f x 在0(,)x -∞和0(,)x +∞上与x 轴都有交点，则称0x 为函数()f x 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ）
A ．2()2x f x x =-
B ．2()2()f x x bx b R =+-∈
C ．()12f x x =--
D ．3
()f x x =
第II 卷（非选择题)
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知扇形AOB 的面积为
43
π
，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 14．已知函数()()()()5,62,6x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
，则=+-)2019()2019(f f ________ 15．若函数cos y a x b =+的最大值为1，最小值为7-，则2a+b=
16．已知函数()21,0,log ,0.x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩
若方程()f x a =恰有4个不同的实根，则实数a 的的取值范围为
__________．
三、解答题（本大题共6小题，解答时必须写出必要的证明步骤，推理过程和演算步骤，共70分） 17．（本小题满分10分）设集合{|21}A x m x m =-<<,集合{|45}B x x =-≤≤． （1）若3m =-,求A
B ；
（2）若A B φ⋂=,求实数m 的取值范围．
()
3
-24)(1
2+-
=x x
x g
18．（本小题满分12分）已知3sin()cos(2)cos 2()cos sin()2f ππαπαααπαπα⎛
⎫
---+
⎪⎝
⎭
=
⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
.
（1）化简()f α；
（2）若α为第三象限角，且31
cos 2
5
πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，求()f α的值； （3）313
π
α=-，求()f α的值.
19．（本小题满分12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2
+bx+c （a≠0）的图象过点（0，1），且函数f （x ）只有一个零点﹣1．
（1）求f （x ）表达式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝5x+m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知函数2
()sin sin f t t t a =-++. （1）若
6
π=
t 是函数的一个零点，求a 的值及所有零点构成的集合
（2）当(t)=0f 有实数解时，求a 的取值范围；
21．（本小题满分12分）已知函数()()22log log 28x f x x ⎛⎫
⎡⎤=⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭
，函数． （1）若[]4,5.0∈x ，求函数()f x 的值域；
（2）若不等式()()0f x g a -≤对任意实数1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，试求实数x 的取值范围．
22．（本小题满分12分）设D 是函数()y f x =定义域内的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =-成立，则称0x 是()f x 的一个“准不动点”，也称()f x 在区间D 上存在准不动点． 已知()()
12
log 421x
x
f x a =+⋅-，[]0,1x ∈
（1）若1a =，求函数()f x 的准不动点
（2）若函数()f x 在区间[]0,1上不存在准不动点，求实数a 的取值范围．
数学试题参考答案
选择题答案：1-4 CBAD 5-8 BACD 9-12 BACD
填空题答案：13. 2 14. 202X 15. 5或-11 16. （0，1]
10．A 【详解】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与
cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.
观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44
x ππ
⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
.故选A. 11．C 【详解】∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1144102f log x f log x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
∵函数()f x 在[)0,+∞上递减，∴1
4
1
2log x >，即：21log x >，∴21log x >或21log x <-，解得：()10,2,2x ⎛⎫
∈⋃+∞ ⎪⎝⎭
，故选C
12．D 【详解】A 中f （x ）=2x -x 2，当x=2，x=4时f （x ）=0，因此可知，在（2，4）之间存在“界点”； B 中()()2
2f x x bx b R =+-∈，由2=b +8>0可知其图象恒与x 轴有两个交点，故存在“界点”；
C 中 ()12f x x =--=3,2
1,2x x x x -≥⎧⎨
-<⎩
，其图象与x 轴有两个交点（1，0），（3，0），故存在“界点”；
D 中 ()3
f x x =的图象与x 轴只有一个交点，故D 不存在“界点”．故选D. 13．2【详解】圆心角AOB 为1202
3π=扇形AOB 的面积为2241124232233
S r r r πππα⇒==⨯=⇒= 14．202X
15．5或-11 【详解】因为cos x 的最小值为1,-,最大值为1,所以当0a >时，有1
7a b a b +=⎧⎨-+=-⎩
，解得
4
3a b =⎧⎨=-⎩
； 当0a <时，有71a b a b +=-⎧⎨
-+=⎩，解得4
3
a b =-⎧⎨=-⎩．所以2a+b=5或-11
16．（0,1]【详解】作出函数f （x ）210
0x x log x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩
，，＞的图象，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解
由图可知a 的取值范围是(0,1]
17．（1）{|75}A B x x ⋃=-<≤（2）{|4m m ≤-或1}m ≥
【详解】解：（1）因为集合{|21}A x m x m =-<<,集合{|45}B x x =-≤≤．........1分
∴当3m =-时,{|73}A x x =-<<-, ….2分 {|75}A B x x ∴⋃=-<≤．........4分
（2）①若A φ=,则21m m ≤-,解得m 1≥．.......6分
②若A φ≠,则21m m >-,解得1m <,要使A B φ⋂=,则4m ≤-或215m -≥,解得4m ≤-．...9分 综上,实数m 的取值范围是{|4m m ≤-或1}m ≥．.........10分 18．（1）cos α-（226
（3）12-
【详解】(1)3sin()cos(2)cos sin cos (sin )2()cos sin sin cos sin()2f ππαπαααααααπαααπα⎛
⎫---+ ⎪
⋅⋅-⎝⎭=
==-⋅⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
； 即()cos f αα=-.......4分
(2) 31cos sin 25παα⎛
⎫
-=-=
⎪
⎝⎭
,故1sin 5α=-....5分，,因为α为第三象限角, 故221
26()cos 1sin 1()5
5f ααα=-=-=-=
,即26
()5
f α=........8分 (3)当313π
α=-
时,3131311()cos()cos cos(10)cos 333332
f ππππππ-=--=-=-+=-=-,
故此时1
(2
)f α=-
...............12分 19．（1）f （x ）＝（x+1）2
；（2）2min
(1),21
()0,1
k k f x k ⎧+-<-=⎨
-⎩；（3）m ＜﹣1
【详解】（1）由二次函数f （x ）＝ax 2
+bx+c （a≠0）的图象过点（0，1），且函数f （x ）只有一个零点﹣1，
得f (0)c 1b 12a f (1)a b c 0
==⎧⎪⎪
-=-⎨⎪-=-+=⎪⎩，解得a ＝1，b ＝2，c ＝1．∴f（x ）＝（x+1）2；.......6分 （2）令g （x ）＝f （x ）﹣5x ﹣m ＝x 2
﹣3x+1﹣m ，x∈[﹣1，1]，则g '（x ）＝2x ﹣3， 当x∈[﹣1，1]时g '（x ）≤0恒成立，∴g（x ）在[﹣1，1]上为减函数， g （x ）min ＝1﹣3+1﹣m ＝﹣1﹣m ，由﹣1﹣m ＞0，得m ＜﹣1．...........12分 20．（1）
}z k k t k t t ∈+⎩
⎨
⎧=+=,26526ππ
ππ或 （2）；1,24a ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
【详解】（1）
4102141)6(-=⇒=++-=a a f π
,….2分4
1sin sin )(2-+-=∴t t t f ….3分 令
π
π
ππk t k t t t f 26
526,21sin 0)(+=+=∴=⇒=或，……5分
所以所有零点构成的集合是
}z k k t k t t ∈+⎩
⎨
⎧=+=,26526ππ
ππ或……..6分
（2）令(t)=0f ，通过分离参数法得2
2
11sin sin sin ,24a t t t ⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭.....8分
[]sin 1,1t ∈-，根据二次函数的对称性和sin t 的取值范围可得，..........9分 当1
sin 2
t
时，min 14a =-；
当sin 1t =-时，2
max
111224a ⎛
⎫=---= ⎪⎝
⎭故1,24a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦..................12分
21．（1）[－4，0]；（2）．[1，4]]
【详解】（1）由题意得()()()()2
2222log 3log 1log 2log 3f x x x x x =-+=--…….3分
32)(,log 22--==m m m f x m ，[][]2,1,4,5.0-∈∴∈m x ………..5分
即()f x 的值域为[]0,4- …..6分
（2）由不等式()()g f x a ≤对任意实数1,22
a ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
恒成立得()()min g f x a ≤，……..7分
设
[
]
,
32)(,4,2,2,21,22
--=∴∈
∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=t t t g t a t a
…….9分3
2322
2--≤--∴
t t m m 对任意的[
]
4,2∈
t 恒成立，……..10分
时成立即可，当2=∴t 20,2222≤≤∴-≤-∴m m m ，[]4,1,2log 02∈∴≤≤∴x x …….12分
22．（1）0x =（2）(1,)+∞
【详解】(Ⅰ)当1a =时，函数()12
()log 421x x f x =+-，依题，得
()
12
log 421x x
x +-=-…..1分 14212x
x x -⎛⎫
∴+-= ⎪⎝⎭
，......2分4212x x x ∴+-=，41x ∴=，0x ∴=∴函数()f x 的准不动点为
0;.........5分
（2）根据已知，得
()
12
log 421x x
a x +⋅-=-在[0,1]上无解，4212x x x a ∴+⋅-=在[0,1]上无解，令2x t =，[1,2]t ∈，2(1)10t a t ∴+--=在区间[1,2]上无解，1
1a t t
∴=-+在区间[1,2]上无解，........7分
设1
()1g t t t =-+，()g t ∴在区间[1,2]上单调递减，故1(),12g t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，12a ∴<-或1a >，.....9分
又
4210x x a +⋅->在[0,1]上恒成立，122x
x a ∴>
-在[0,1]上恒成立，即
1a t t
>-在[1,2]上恒成立， 设1()h t t t =-，()h t ∴在区间[1,2]上单调递减，故3(),02g t ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，0a ∴>，........11分 综上实数a 的取值范围(1,)+∞.......12分。