关于增函数和减函数的加减

关于增函数和减函数的加减
在我们学习函数的过程中，增函数和减函数是两个非常重要的概念。

而当我们把增函数和减函数进行加减运算时，其结果的性质也有着一
定的规律可循。

首先，咱们来明确一下增函数和减函数的定义。

增函数，简单来说，就是当自变量增大时，函数值也随之增大的函数；减函数则恰恰相反，当自变量增大时，函数值反而减小。

那当增函数加上增函数时会怎么样呢？假设我们有两个增函数 f(x)
和 g(x)，对于任意的 x1 ＜ x2 ，都有 f(x1) ＜ f(x2) 以及 g(x1) ＜ g(x2) 。

那么对于函数 h(x) ＝ f(x) ＋ g(x) ，当 x1 ＜ x2 时，h(x1) ＝ f(x1) ＋
g(x1) ，h(x2) ＝ f(x2) ＋ g(x2) 。

因为 f(x1) ＜ f(x2) 且 g(x1) ＜ g(x2) ，
所以 f(x1) ＋ g(x1) ＜ f(x2) ＋ g(x2) ，也就是 h(x1) ＜ h(x2) 。

这就说明
了 h(x) 也是一个增函数。

所以，增函数加上增函数，结果仍然是增函数。

接下来看看增函数减去减函数。

设有增函数 f(x) 和减函数 g(x) ，对
于任意的 x1 ＜ x2 ，有 f(x1) ＜ f(x2) ，g(x1) ＞ g(x2) 。

对于函数 k(x)
＝ f(x) g(x) ，当 x1 ＜ x2 时，k(x1) ＝ f(x1) g(x1) ，k(x2) ＝ f(x2)
g(x2) 。

因为 f(x1) ＜ f(x2) 且 g(x1) ＞ g(x2) ，所以 f(x1) g(x1) ＜ f(x2)
g(x2) ，即 k(x1) ＜ k(x2) 。

这表明 k(x) 是一个增函数。

再说说减函数加上减函数。

若有两个减函数 p(x) 和 q(x) ，对于任意
x1 ＜ x2 ，有 p(x1) ＞ p(x2) ，q(x1) ＞ q(x2) 。

对于函数 m(x) ＝ p(x) ＋q(x) ，当 x1 ＜ x2 时，m(x1) ＝ p(x1) ＋ q(x1) ，m(x2) ＝ p(x2) ＋
q(x2) 。

由于 p(x1) ＞ p(x2) 且 q(x1) ＞ q(x2) ，所以 p(x1) ＋ q(x1) ＞
p(x2) ＋ q(x2) ，也就是 m(x1) ＞ m(x2) 。

由此可得，m(x) 是一个减函数。

最后看看减函数减去增函数。

设有减函数 r(x) 和增函数 s(x) ，对于
任意的 x1 ＜ x2 ，有 r(x1) ＞ r(x2) ，s(x1) ＜ s(x2) 。

对于函数 n(x) ＝
r(x) s(x) ，当 x1 ＜ x2 时，n(x1) ＝ r(x1) s(x1) ，n(x2) ＝ r(x2) s(x2) 。

因为 r(x1) ＞ r(x2) 且 s(x1) ＜ s(x2) ，所以 r(x1) s(x1) ＞ r(x2) s(x2) ，
即 n(x1) ＞ n(x2) 。

这意味着 n(x) 是一个减函数。

通过以上的分析，我们可以总结出以下规律：增函数加上增函数是
增函数；增函数减去减函数是增函数；减函数加上减函数是减函数；
减函数减去增函数是减函数。

在实际的数学问题中，了解这些规律可以帮助我们更快地判断函数
的单调性，从而解决一些复杂的问题。

比如，在求函数的最值、证明
不等式等方面，都可能会用到这些关于增函数和减函数加减运算的性质。

我们再通过几个具体的例子来加深一下理解。

比如，函数 f(x) ＝ x
是一个增函数，函数 g(x) ＝－2x 是一个减函数。

那么函数 h(x) ＝ f(x) ＋ g(x) ＝ x 2x ＝ x 就是一个减函数，这符合增函数减去减函数的规律。

又比如，函数 p(x) ＝ x^2 是一个减函数，函数 q(x) ＝－3x 也是一个减函数。

那么函数 m(x) ＝ p(x) ＋ q(x) ＝ x^2 3x 就是一个减函数，这与我们得出的减函数加上减函数是减函数的结论一致。

总之，增函数和减函数的加减运算有着明确的规律，掌握这些规律对于我们深入理解函数的性质和解决数学问题都有着重要的意义。

在学习的过程中，我们要多做练习，多思考，将这些知识融会贯通，这样才能在数学的海洋中畅游无阻。