2019-2020学年人教A版数学必修一课件：第2章 2.1 2.1.2 第2课时 指数函数及其性质

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当堂达标 固双基
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1．思考辨析
(1)y＝21－x 是 R 上的增函数．
()
(2)若 0.1a>0.1b，则 a>b.
()
(3)a，b 均大于 0 且不等于 1，若 ax＝bx，则 x＝0.
()
(4)由于 y＝ax(a>0 且 a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数
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[解] (1)1.52.5，1.53.2 可看作函数 y＝1.5x 的两个函数值，由于底 数 1.5>1，所以函数 y＝1.5x 在 R 上是增函数，因为 2.5<3.2，所以 1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2，0.6－1.5 可看作函数 y＝0.6x 的两个函数值， 因为函数 y＝0.6x 在 R 上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以 0.6－1.2<0.6－1.5.
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2．若 ax＋1>1a5－3x(a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围． [解] 因为 ax＋1>1a5－3x，所以 ax＋1>a3x－5， 当 a>1 时，y＝ax 为增函数，可得 x＋1>3x－5，所以 x<3； 当 0<a<1 时，y＝ax 为减函数，可得 x＋1<3x－5，所以 x>3. 综上，当 a>1 时，x 的取值范围为(－∞，3)；当 0<a<1 时，x 的 取值范围为(3，＋∞)．
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3．(1)研究 y＝af(x)型单调区间时，要注意 a>1 还是 0<a<1. 当 a>1 时，y＝af(x)与 f(x)单调性相同． 当 0<a<1 时，y＝af(x)与 f(x)单调性相反． (2)研究 y＝f(ax)型单调区间时，要注意 ax 属于 f(u)的增区间还是 减区间.
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2．解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如 ax>ay 的不等式，可借助 y＝ax 的单调性求解．如果 a 的 值不确定，需分 0<a<1 和 a>1 两种情况进行讨论． (2)形如 ax>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式， 再借助 y＝ax 的单调性求解． (3)形如 ax>bx 的不等式，可借助图象求解．
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[解] 先根据幂的特征，将这 4 个数分类：
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(2)中，
(也可在同一平面
直角坐标系中，分别作出 y＝43x，y＝2x 的图象， 12
再分别取 x＝3，x＝3，比较对应函数值的大小，
如图)，
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
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学习目标 1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用
核心素养
指数函数的单调性比较幂的大小及解不等 借助指数函数的性质及
式．(重点) 应用，培养逻辑推理和
2．通过本节内容的学习，进一步体会函数 数学运算素养.
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2．结合探究 1，分析函数 y＝2|x|与函数 y＝|x|的单调性是否一致？ 提示：y＝2|x|的单调性与 y＝|x|的单调性一致． 3．函数 y＝a－x2(a>0，且 a≠1)的单调性与 y＝－x2 的单调性存 在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当 a>1 时，函数 y＝a－x2 的单调性与 y＝－ x2 的单调性一致；
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)， ∴0<13u≤13－1＝3， ∴原函数的值域为(0，3]．
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把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间． [解] 函数 y＝2－x2＋2x 的定义域是 R. 令 u＝－x2＋2x，则 y＝2u. 当 x∈(－∞，1]时，函数 u＝－x2＋2x 为增函数，函数 y＝2u 是增 函数， 所以函数 y＝2－x2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．
利用指数函数的单调性解不等式 【例 2】 (1)解不等式123x－1≤2； (2)已知 ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求 x 的取值范围．
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[解] (1)∵2＝12－1，∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1. ∵y＝12x在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}．
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指数型函数单调性的综合应用
[探究问题] 1．试结合图象，分析 y＝2－x，y＝2|x|，y＝12x＋1的单调性，并 写出相应单调区间．
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提示：
减区间为（－∞，＋∞） 增区间为（0，＋∞） 减区间为（－∞，＋∞） 减区间为（－∞，0）
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当 x∈[1，＋∞)时，函数 u＝－x2＋2x 为减函数，函数 y＝2u 是增 函数，所以函数 y＝2－x2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数 y＝2－x2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间 是(－∞，1]．
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[解] 令 u＝x2－2x，则原函数变为 y＝13u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1 在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
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数分解成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查 f(u)和φ(x)的单调性，求出 y
＝f(φ(x))的单调性．
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1．比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 y＝ax 的单调性． (2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 am<c 且 c<bn，则 am<bn；若 am>c 且 c>bn，则 am>bn.
图象是研究函数的重要工具，并能运用指数
函数研究一些实际问题．(难点)
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合作探究 提素养
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利用指数函数的单调性比较大小
【例 1】 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5 和 1.53.2； (2)0.6－1.2 和 0.6－1.5； (3)1.70.2 和 0.92.1； (4)a1.1 与 a0.3(a>0 且 a≠1)．
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(2)分情况讨论： ①当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 R 上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得 x<－1 或 x>5； ②当 a>1 时，函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在 R 上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当 0<a<1 时，x<－1 或 x>5；当 a>1 时，－1<x<5.
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1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成 底数相同的指数式．
2．解不等式 af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性， 要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论， 即 af(x)>ag(x)⇔ff（ （xx） ）><gg（ （xx） ）， ，a0><a1， <1.
4．已知函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的图象经过点2，19. (1)比较 f(2)与 f(b2＋2)的大小； (2)求函数 g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．
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[解] (1)由已知得 a2＝19，解得 a＝13，因为 f(x)＝13x在 R 上递减， 2≤b2＋2，所以 f(2)≥f(b2＋2)．
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比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数 图象，当 x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相 同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数 a>1 和 0<a<1 两种情况分类讨论．
函数 y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定， 一是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数 y＝au， u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函
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3．下列判断正确的是( A．1.72.5＞1.73 C．π2＜π 2
) B．0.82＜0.83 D．0.90.3＞0.90.5
D [∵y＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
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函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．
()
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．若 2x＋1<1，则 x 的取值范围是( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D [∵2x＋1<1＝20，且 y＝2x 是增函数， ∴x＋1<0，∴x<－1.]
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝a－x2 的单调性与 y＝－x2 的单调性相反．
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【例 3】 判断 f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域． 思路点拨： 令u＝x2－2x ―→ 函数u（x）的单调性 ―→ 函数y＝31u的单调性 同―增―异→减 函数f（x）的单调性
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(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1， 所以 1.70.2>0.92.1. (4)当 a>1 时，y＝ax 在 R 上是增函数，故 a1.1>a0.3； 当 0<a<1 时，y＝ax 在 R 上是减函数，故 a1.1<a0.3.
(2)因为 x≥0，所以 x2－2x≥－1，所以13x2－2x≤3， 即函数 g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0，3]．
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