大学数学-实变函数教案讲义

大学数学-实变函数教案讲义
第一章集合
一、学习内容
1.集合的概念，集合的表示方法、集合的运算（并、交、差、补）以及集合列的上极限与下极限和极限的运算。

2．集合对等的概念与伯恩斯坦定理。

3.集合基数的概念，并理解可数基数和连续基数。

二、学习要求
1.必须准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上有许多类似的公式，但也有许多本质不同的公式。

学习时千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。

2.可数集是所有无限集中基数最小的无限集，这一点很关键。

所以从一无限集中去掉一个可数子集后，若剩下的仍为无限集，则剩下的无限集的基数与原无限集的基数相等。

类似的，无限集并上一个可数集后，其基数也不变。

3.学习本书中的概念既要从肯定方面又要从否定方面加以考虑，并能在此基础上总结出论证某些问题的基本思路与方法。

4.一列集合的上极限、下极限及极限是用集合运算来解决分析中许多问题的基础，应该很好的掌握。

5.证明集合A与B对等的基本方法有三种：（1）根据对等的
定义，直接构造两集间的1-1对应；（2）利用对等的传递性，及欲证A~C ，此时已知A~B ，于是只需证明B~C 即可；（3）利用伯恩斯坦定理，即欲证A~B ，只要证A 与B 各与对方一子集对等即可。

6.证明一集合A 的基数为c 时常常用到区间、、的基数为c ，也常常设法把A 与p 进位无穷小对等。

三、例题解析
例1证明
证法一先证明左式右式，设,则或， 若，则对一切，有，所以;
若，则由，可得对任何，有,所以。

因此，因而左式右式。

再证右式左式，设，则对任何，都有，
因此或。

若，则；若，则对任何
成立，所以，即右式左式。

综上得结论成立。

证法二由德摩根公式得
n R ∞E I
I B A B A ∈∈=αααα)()(⊂)(ααB A x I ∈∈A x ∈ I B x ∈∈ααA x ∈I ∈ααB A x ∈ I
B A x ∈∈αα)(A x ∉ I
B x ∈∈ααI ∈ααB x ∈αB A x ∈ I
B A x ∈∈αα)(⊂⊂ I
B A x ∈∈αα)(I ∈ααB A x ∈A x ∈αB x ∈A x ∈)(ααB A x I ∈∈A x ∉α
B x ∈I ∈α I B x ∈∈αα)(ααB A I
∈⊂⊂
所以
设有集合A,B 和C ，试证明：
若（A\B ）~（B\A ），则A~B ；
若A B 且A~(A )，则B~(B )
证明（1）因,，，所以
（2）因，所以，另一方面，，并且，， 再由及条件，有，又因,所以B~(B )证毕。

作出实数全体与无理数全体间的1—1映射。

解：在R 中取出可数子集，则也是可数集，其中表示有理数全体，所以
，因而存在到上的1—1映射，例如，设，则可取 ，，
则是到上的1—1映射，令
)()()()())(( I I I I I B C CA CB CA CB CA B A C B A C ∈∈∈∈∈====αααααααααα))(( I
B A
C ∈=αα I
I B A B A ∈∈=αααα)()(⊂C C φ=)()\(B A B A φ=)()\(B A A B B A B A ~B B A A B B A B A A ==)()\(~)()\( B A ⊂)\(A B A B =)\()]\([A B B C A C B =φ=)\(A B A φ=)\()]\([A B B C A C A B C A A ⊂⊂)\(C A A ~)\(~B C A A A B A B \~\C },,,,,{32 n e e e e A =Q A Q A Q A ~ A Q A },,,,{21 n r r r Q =k k e e =-)(12ϕk k r e =)(2ϕ 3,2,1=k ϕA Q A ⎩⎨⎧=)()(x x x f ϕA
x Q A R x ∈∈)(\
则是到上的1—1映射。

四、练习题
1．证明：=
2．证明：
3．证明：
4.设A 是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则A 是可数集。

f Q R \R )(C B A )()(C A B A )()()(C A B A C B A -=- Λ
∈Λ∈-=-αααα)()(B A B A。