2019年电磁场与电磁波试题及答案

2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为\ ：一,\・B =0八• B = r,(3分)(表明了电磁场和；：t
1.写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义
它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场(位移电流)也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1.写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。

2•时变场的一般边界条件D2n »、E2t=0、H2t=J s、B2n =0。

(或矢量式^D2=：；、n E2=0、n H2=J S、=0)
1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2.答矢量位B = I A, \ • A = 0 ；动态矢量
位 E •上-」。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A 的
度，从而使A 的取值具有唯一,性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1.简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义
7/A dS 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。

若①〉0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面
2s
内向外扩散，说明S 面内有正源若①＜ 0,则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。

若①=0, 则流入S 面的通量等于流出的通亘 1. 证明位置矢量r =e^ e y y ez 2. 证明在直角坐标系里计算- j |，则有
e x 三+&三+^£ i (e x x :x :y :z
=兰.汎・迢=3
:—:y
■:z
若在球坐标系里计算，则 「芥)2「(r 2r)二 r cr 彳 1.在直角坐标系证明'■：＜■■■'■：＜- A= 0 量，说明S 面内无源。

的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

'y e y y e z Z) 1 -^ — (r 3) =3由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

r : r
2
A z A x A z A y A 、、 = (e ＜ e
e z ) [e x ( - 一)e y ( - -) e z (
-)] cx®＜z oy cz cz
ex ex cy ■ A :A y ■ A - :A ■ A y f A x 、 二—( )—( )—( )=0 x :y :z : y :z 次 ：z :- : y 简述亥姆霍兹定理并举例说明。

1
2无旋
E dl =0
R R R =e e e — x y z .
:x :y :z
「R 二……--' R
1•试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢?
2. 一般电流］Jd§ 二 _dq dt 0,「J 7t ；
恒定电流卩JdW = 0, 7 J=0
1. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢?
2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个 力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心发生平动，移向电场强的方向
1. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式
2. 答静电场基本方程的
1
积分形式口 E ds 二―、q ，
微分形式'D / E = 0
1. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。

I •
2. 静电场基本方程微分形式『八 E = 0，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷
的分布）。

1. 试说明导体处于静电平衡时特性。

2. 答导体处于静电平衡时特性有
① 导体内E = 0 ；
② 导体是等位体（导体表面是等位面）；
③ 导体内无电荷，电荷分布在导体的表面（孤立导体，曲率）;
④ 导体表面附近电场强度垂直于表面，且E -; n/ 0。

1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答在界面上D 的法向量连续D 1n =。

2门或（R D* =n /D ^ ）；E 的切向分量连续巳=E 2t 或（H 1亡E 2* ）
1. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。

d * * *
2. 在界面上D 的法向量D 2n 二:二或（口。

2二c
）； E 的切向分量E 2t 二0或（E 2 = 0）
1. 试写出电位函数：表示的两种介质分界面静电场的边界条件。

2. 答电位函数「表示
的两种介质分界面静电场的边界条件为 =-，^―1
2 1 -
1. 试推导静电场的泊松方程。

2.解由、D ，其中D = ；E,E 八」
2.证明
■ 7D Z E 芯为常数
泊松方程
1.简述唯一性定理，并说明其物理意义
2.对于某一空间区域V边界面为s，0满足
-「Y1- II,
给定「•、、-■:（对导体给定q）
则解是唯一的。

只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……）,还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。

不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

1•试写出恒定电场的边界条件。

2.答恒定电场的边界条件为II
1.分离变量法的基本步骤有哪些?
2.答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。

2、把假定的函数代入拉氏方程, 使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。

解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。

1.叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？
2.答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理
7、试题关键字恒定磁场的基本方程
1•试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。

2.答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为
了B dS=0
■s'v B=0
[―■ d*
灯X H = J
f H dl
L_i
说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。

1.试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。

4 4 4 4 # 彳・
2.答:恒定磁场的边界条件为：n疋（巴-H2）=J s n汶（B“-B2）=0，说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切向分量是不
5
连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。

1.一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为二。

证明垂直于平面的z轴上Z"处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为'3z0的圆内的电荷产生的。

2.证明半径为r、电荷线密度为：^Cdr的带电细圆环在z轴上z = z。

处的电场强度为
rqd r
2 2、
3 2
2^(r +z°)
故整个导电带电面在z轴上“Z o处的电场强度为
-,3zo
E = e z 2
2 3 2 o 2；°(r 2 W)32
nrz o d r 匚z o 1 2 2\12 2®
o (r +Z 。

)1
而半径为-3Zo 的圆内的电荷产生在Z 轴上Z 皿处的电场强度为
1.由矢量位的表示式
A (r )
o d . 4 二 R 证明磁感应强度的积分公式 B (r )=：o J 留 d
4J R
并证明B = o
2.答
B (r 、='事 A (r )
o J (r )d. 4 二 R
J (r )
R
\ B J p A (r )] =o
1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

2. 解 点电荷q 产生的电场满足麦克斯韦方程
' E 和-D = ?
由「D 」得
据散度定理，上式即为
利用球对称性，得
nrz g dr 2 2"32 0
2 o(r Z o ) Q O az g 1 e ~ _7_2 2T7 — e z 2心(r +z o )' o CT 2 g
o
右粧d
4D s s
呻ds o ?■ 一一 -- 4
B 4
D 7.V. 故得点电荷的电场表示式
E = e r
由于' E = 0，可取E — ，则得
7 ■: D - \ E - -
- 2
即得泊松方程 1. 写出在空气和丄的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

2. 解空气和理想导体分界面的边界条件为
n E =0
n H = J s
根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式
E — H . -E . J s r J ms
即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件
n H =0
n E - J ms
式中，J ms 为表面磁流密度。

1. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式
2.
D
D
口H d .（J 丁） dS ' H 7 石
E dl B dS I E 二一B ]
■s ;:t ;t
1. 试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件
2. 答边界条件为
y ^HH X
4 n 2t
E
- HH
Dm 二;?s n D i 二：?
s i •试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。

2.答 \、计二j ；讥E •「: E = -j ；.〔■ ■- H •• $ = 0 V D =0 i •试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点 2.答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。

圆极化的特点E xm =Em ，且E xm ,E ym 的相位差为一一，
2
直线极化的特点E xm , E m 的相位差为相位相差0,二 椭圆极化的特点丘刘HE ym ，且E xm , E y m 的相位差为土扌或0卫，
1.能流密度矢量（坡印廷矢量）S 是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的?
2.答能流密度矢量（坡印廷矢量）S 定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。

坡印廷定理的表达式为 d n — — — d 卡 (E H) dS 盲他 W m ) P 或 s dt 恒和转换关系。

dt 卯汁）dS 喘（奔+艸M+严击反映了电磁场中能量的守 1•试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大） 2.答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减； 电场和磁场不同相；以平面波形式传播。

2•时变场的一般边界条件 D 1n -D 2n Y 、E 1^ E 2t 、H 1t -H 2t =J s 、B 1n = B 2n 。

（写成矢量式乩（5 - D 2） *、 n （营-百）=0、n （韦-戌）J 、牡畧-B 2）
=o —样给5分） 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。

2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为I H J E = -生，「B =0,「D =匸（表明了电磁场和它们 圧 C t
的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。

1.写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件
2.时变场的一般边界条件D2n =：；、E2t =0、H2t=J s、B2n =0。

（写成矢量式比氏2=：；、n 1=0、n H2=J s、n_B2 =o 一样给5分）1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。

2..答矢量位B八A、A = o ；动态矢量位E =」或E -r。

库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制A
c t 盘
的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。

1.描述天线特性的参数有哪些？
2.答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。

1.天线辐射的远区场有什么特点？
2.答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能
量向外辐射。

1.真空中有一导体球A,内有两个介质为空气的球形空腔B和C 其中心处分别放置点电荷二和气，试求空间的电场分布
2.对于A球内除B C空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。

对A球之外，由于在A球表面均匀分布
"的电荷，所以A球以外区域
'（方向均沿球的径向）
（'［为B内的点到B球心的距
离）
（:为C内的点到C球心的距离）
对于A内的B C空腔内，由于导体的屏蔽作用则
1.如图所示，有一线密度/ 一［匚的无限大电流薄片置于」一平面上，周围
媒质为空气。

试求场中各点的磁感应强度。

2.根据安培环路定律，在面电流两侧作一对称的环路。

则
由
dJ=J
y> 0 y< 0
2.设电缆带有电流一
贝V
1. 已知同轴电缆的内外半径分别为J 和上,其间媒质的磁导率为T ，且电缆长度：….],忽略端部效应，求电缆单位长 度的外自感。

怪二『怦S 二容1压 财1 丄用 P\
1. 在附图所示媒质中，有一载流为「的长直导线，导线到媒质分界面的距离为二。

试求载流导线单位长度受到的作用力
2. 镜像电流
镜像电流在导线处产生的B 值为
单位长度导线受到的作用力
卢二加-1.8以
力的方向使导线远离媒质的交界面
=0
mi 2 凭b- h+
1. 图示空气中有两根半径均为a,其轴线间距离为d ： ; ，-的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为+「和L ，若忽略端部的边缘效应，试求
(1)圆柱导体外任意点P的电场强度芒的电位/的表达式；
(2)圆柱导体面上的电荷面密度‘4与'IT，.值。

2.
Q)力二斫王h二+
1.图示球形电容器的内导体半径匕八二，外导体内径，其间充有两种电介质I
与匚，它们的分界面的半径为
二匚：□。

已知I与二的相对介电常数分别为二一，_■ 0 求此球形电容器的电容
以y轴为电位参考点，则
1 _______ 1
a+h-b b+h+a
+
P
:.Q = aS 附 8.85x10" C/m
£2 =― 兮（3 <r <6）
/二［乂 dr+j^ 心
Q 10' .1 L C IO 2 X L
=（―— -J _
（一 _ 一）
4砖3 1
4砖 6 3 0 102 1
1、 9xlO u
4 吒 3 6
2
i. 一平板电容器有两层介质，极板面积为匸二',一层电介质厚度；—•：」，电导率T 」，相对介电常数＜4-
,
另一层电介质厚度s …-⑺，电导率.■ ：； -1:
■" ■■■■■|。

相对介电常数；，当电容器加有电压】工丄I ‘、时，求
电介质中的电流；
两电介质分界面上积累的电荷； 电容器消耗的功率 2.
T 二 T 二 丁 二 %耳_
1
人如如
:.1= JS 二旳竝用25x1广A
1
2
上;线上、下对称。

1:.P=^_ = 25xl0-u W
7?
有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场中的磁感应强度分布（B线）。

已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为: F叮厂和匚—一求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。

2
8二肚
-會成（jCOS旣t+炖）一丐易扼）合成波为右旋圆极化波。

1.图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距离为d，两板分
a 别带有电荷量丨J与•，现将厚度为d、相对介电常数为1,边长为a的正方形电介质插入平行板电容器内至二处，试问该
电介质要受多大的电场力？方向如何?
2. （1）解当电介质插入到平行板电容器内a/2处，则其电容可看成两个电容器的并联sxa 気(a-x) 3
~~d~
a3 C = C^C2= ~-(^i+ 3-£二単■[匕-1)*+ a]
静电能量
Q2d
M =——
2 C2^[(e r-l)j +旨]
1r怎-1) '
L 2^[(片-1)才+召][
a
j= 一
当二时,
其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。

-^COSdUT
1. 长直导线中载有电流」，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互位置如图所示。

设二」时，线框与直导线共面匕门时，线框以 均匀角速度工」绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势
2. 长直载流导线产生的磁场强度
:时刻穿过线框的磁通
①二出d 头必伫血 h
2r A T
感应电动势
d ① e--—— df
[(—)a 4-
2
参考方向：一时为顺时针方向。

1. 无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为
e^O. 3cos(15j!y)sir(6^xl09 A/r
试求⑴ 厂的值;(2) 电场强度瞬时矢量"4 ■和复矢量(即相量卩；。

2. (1)
2兀 斗
■iadCQSiD t
城）'+护=
BxlO B ）a
1
2
证明设线极化波
故得
^（^/）= ifvxirdt= —!（£；—+^—）x^d^ 吊 J J * dy
-右9阳mi rd. 5砂）cos （6^xl05 f- 577是\
+弓3畀兀8 詛5创呂址6城乂1孑f-57^rjr ） V/ra
J? ◎二 q9庇ir{l5奶芒丽-e r 3^7 方co£L5;zy ）/E
证明任一沿：传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加。

其中：
比◎匕血（q-记）L 炉
2
£2 （£二如@+阀）&蜕
2
匸-和匸二分别是振幅为二的右旋 和左旋圆极
化波。

1.
图示由两个半径分别为；和】的同心导体球壳组成的球形电容器，在球壳间以半径：匕为分界面的内、外填有两种不
同的介质，其介电常数分别为匚 】【和〔-'.!'，试证明此球形电容器的电容
4社 为
两导体球壳间的电压为
（证
1
⑴ 在上述⑵ ⑶
2
⑴
⑵
的平均值
⑶
14
399 A
£
~
U
4
蛊
z- 4. E-
|』=,/2312?+452+812 = 296.121 A/ir
1=281.25^-45^+81^
：皿+
2.证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q 则
已知r
:-7； ■ ■ / :r. I ■ ■ -I ■求
穿过面积在"丄方向的总电流 面积中心， .|r_ -：
I 二 j J ds= j J
=[35y 6.2s - 3・
在上述面上■的平均值。

2.设线框［带有电流」，线框的回路方向为顺时针。

线框［产生的B为
□I
I虫I
5
*
2
假二扌@+倔+尿+俗丿11nj p pL 6789
lotr 123q
1
5
£
= I _ 399
-任278）（3二2） = 17阂285 A/V
1.两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中1…- 1。

略去端部效应，试求两线圈间的互感
I 2 农S+q）（S+爲）
1.用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点I的拉普拉斯方程的差分格式和内点一的泊松方程的差分格式
-4ft + ft +衍+ 附 + 旳=A a(—-)
£
1.已知F _ —•：.；:」：，今将边长为庁的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿二；、门和匚方
向
时，求框中的感应电动势。

2. (1)线框的法线沿.时由
得
其中：、；为常数，求位移电流密度人
⑵ 线框的法线沿S 时
线框的法线沿E 时
1. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度"乜： 为；
H (i; t)= sir (4.r)cosCut — ffy) + cos (4 r)sir(a?t^ ffy) A/m
2. 因为 ./
由
占 JT By
dz
4 sir （4 孟0 A 2 COS （4
=-J 4?^COS （4 T ） cos （fii t-
+ e r 4 A z sir （4JF ） sir （（uT-
-c x A^s ir （4 x ） sirfojf- /3y ） A/D 2
1. 利用直角坐标系证明' （f6= c G （ f ）G
，
2. 证明左边=''、• （fA ）*（傀g+fAyg + fAzg ）（=辿1+迪4+込！
ex
b y
d z
I
I
★辿& . A ：
：
（f ）
& . f ：：（A y ）& A ：：
（f ）e y
x
y -
x :x :y
:y
.f -：
仏）& . A ：（f ）&
cz cz
吕
costcut-'一）］+孔 costojt-
f costw^f + j3^） + cos0rf
两极板上的电荷量分别为与-Q 。

若忽略端部的边
缘效应，试求
(1)此电容器内电位移与电场强度的分布; ⑵ 电容器的电容及储存的静电能量。

a .
d
dz' ^ln 10
4 二 l
1.求无限长直线电流的矢量位A 和磁感应强度B 。

2. 解直线电流元产生的矢量位为
亠 一 } z 4二{
[r 2 (z -z')2]12}
积分得
■.卩o l ,
dz'
A 二ez — { 2
212
}
1 [r (z-z')]
2
M I
_ ________________ -|L
£』ln[(z'-z) .(z'-z)2 r 2] 2
"2
J
卩 I (£—z) +[(»—z)2 +r 2]12 ez^lnk 2
l }
4二-(^ z) [(i z)2 r 2]12
2 2
e z 如丄
4 二 r
当丨r -' , A r .附加一个常数矢量C = e ；
则AY^lnL
e z 讪
• r
则由 B = ； A =』=e
°
— _
r
4二 r
1.图示极板面积为S 间距为d 的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S 厚度为a 介电常数为；的介质板。

设左右
：：(A x )e X
工[f
x x
f 次 A ：:( f )e y
A y ；
：
(Ay )e y
■y A ：:(f) 十A y ■y fl :
z
y
] ■y A If
=右边
E i
2) C i =Q
U
Q S^ E'd -a)
d -a
Q Q Ss
C 2
U 2 E 2 a a
C 1C 2
2
w=m ；o
a
；（d-a ）Q 2 2 C 2 S 他
1. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为
- _
_ j （20
吃
E 二a x
10鼻e —j20
「z
a y
10*e
2
（v/m ）
求（1）平面波的传播方向；
（2） 频率；
（3） 波的极化方式； （4） 磁场强度；
（5）
电磁波的平均坡印廷矢量S av 。

2. 解（1）平面波的传播方向为+z 方向
(2)频率为 f =k 0
3 109
Hz
2兀
（3） 波的极化方式因为E xm - E ym =10： ' x " ：
y =0
，故为左旋圆极化.
2 2
（4） 磁场强度
H.Ta E —z a<10" j^z ajo'e”
■- 0 0
（5） 平均功率坡印廷矢量
；
o
E 2
1 2 120 二
1 [
2 10^]a z
(A x )龙 f ：：(A y )e
y f ：：
(A z )&
=[T
T
T
tx tv cz
：：(f )e y ：：( f) A y y
A y-
刁
:y
_ d 4
■:
y
y ] ][A x
■(f)e x
:
x
S av =^Re[E H *]=長[凶0，ja y 10，)e"z
—(^y 10- - ja x 10")e
j20_z
2 0 0
=0.265 10J 0
a Z
(W/m 2
)
1. 利用直角坐标，证明i (fA) = A ■ A 人f
2. 证明左边八,fA )八(fA^e X fA y e y
fA z g )
f(fA x )e< UfA y )^
：：
(fA z )& :
x jy
；z
De X A ：:(f )& . f ：©)& A ：:(f )e y
X % ：x :y y
:y
S )e z . A ：:(f)e z
:
z
；z
=右边
1. 1求矢量A =gx • e ^x 2 ■ e z y 2z 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相 重合。

再求' A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2. 解
e
e
y
e z
* A =
= e x
2yz + e z
2x
ex
cz
2
2
x x y z
所以
2 2
A[d S = JJ (e x 2yz + e z 2x)Ue z d xd y = 8
S
0 0
r dr d :
dr
)=0
rln
b a
(3)单位长度的漏电流为10=2二r
rln b In b
1.同轴线内外半径分别为a和b，填充的介质=0 ,具有漏电现象，同轴线外加电压U，求
(1)漏电介质内的「；
(2)漏电介质内的E、J ；
(3)单位长度上的漏电电导。

2•解(1)电位所满足的拉普拉斯方程为
由边界条件r二a, —U ;r ：：=0所得解为
则漏电媒质的电流密度为J二
.b
r In
a
单位长度的漏电导为G0 =5= 2 .
U . b In -
a
1.如图所示，长直导线中载有电流i二I m cos t，一矩形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势。

2.解载流导线产生的磁场强度的大小为
J P L
2二r
穿过线框的磁通量
故有
(2)电场强度变量为
c -a
* = [ B.dS
c
c 2二r
%bl m C0S，t 1 c a
In ------
2 二 c
线框中的感应电动势
d*
3 =-——
dt
%bl m- si nt c a
In
2 二 c
参考方向为顺时针方向。

1.空气中传播的均匀平面波电场为E@E e %，已知电磁波沿z轴传播，频率为f。

求
I
(1)磁场H ；
(2)波长■;
丄
(3)能流密度S和平均能流密度S av;
(4)能量密度W。

2•解
二_E「2；°U°
（E + w°）d
二上二-;°E
2 o U°（；；o）
P 二（―°）E /°
（_o）U o
G
⑷ W =- ；oE2
2
1.平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。

电容器的一半厚度（oL|d/2）用介电常数为g的电介质填充, （1）板上外加电压u0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
（2）若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；
（3）求电容器的电容量。

2.（1）设介质中的电场为E =e z E，空气中的电场为E°= e z E o。

由D = D。

，有
；E = ；0E o
又由于
E d E°d - U°
2 2
由以上两式解得
2 pU。

（；；o）d
E° = - 2U°
C ；°）d
故下极板的自由电荷面密度为
上极板的自由电荷面密度为
电介质中的极化强度
故下表面上的束缚电荷面密度为
上表面上的束缚电荷面密度为
⑵由
得到Q 2 ；o U ab C.亠:0)d
'-xE =kz 二
4- 「rad
8 6
（；-；0）Q
；ab
（3）电容器的电容为
Q _ 2 ；0；ab
C
U (g + E0)d
1.频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（-z ）方向传播，介质的特性参数为；r=4、丿r=1 ,
1
=0。

设电场沿x方向，即丘二鸟乂巳；当t = 0，z二-m时，电场等于其振幅值10^V / m。

试求
8
（1）H（z,t）和E（z,t）；
（2）波的传播速度；
（3）平均波印廷矢量。

2.解以余弦形式写出电场强度表示式
E（乙t）虫E x（z,t）
二&E m COS（，t -kz - XE）
把数据代入E m=104V/m
k =.丄；=2 二f、. 4 丄0；0 = - rad /m
3
E(z,t)二e x
10°cos(2二 108
t ——)V/m 3 6 H (z, t) =e y
H y =&.空=e y
〒^^10厶 cos (2 仃 xi°8
t
r
'$■；匚 3
4 二
6)
比-^10，cos(2二 1081 -- z )A/m
3 6
60
二
(2)波的传播速度
L=4=1.5 108m/s
(3)平均坡印廷矢量为S av
冷Re[E H *]
冷Re ［e z 里込
e
r^ e z 2z
验证散度定理。

S =l Re ［白0鼻e 」导申胡 丄e"导日］
av
x y
2
60兀
60 二
_8
2
—W/m 120 ■:
1.
在由r=5、z=0和z = 4围成的圆柱形区域，对矢量A
2. 解在圆柱坐标系中
A
r~-.
l 、
1 2
■■- LA (rr ) —(2z) =3r 2
r a cz
所以
4
2
二 5
'■■U Ad 二 dz d (3r 2)rdr =1200二
T
0 0
「Al_d S
i|(
e 「r 2 e z 2z)」e r d S r e
e z dS z )
S
S
4 2
二
5 2
二
=
52
5d dz 亠 I i 2 4rdrd =1200二
0 0
0 0
故有
严 L A d i =1200兀=I^A L d S
工S
2 2 2 2 2
3 1.求（1）矢量A=e x X e y X y e z 24x y z 的散度；门）求\|_A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此 立方体表面的积分，验证散度定理。

2.
解⑴
'出—：：
(x 2) ；：(x 2y 2) r(24x 2y 2z 3)
；:x
2 2 2 2 =2x 2x y 72x y z 故有
\ L A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为
1 2 1 2 1 2
■ |_Ad . = (2x 2x 2y 72x 2y 2z 2)d xd y dz =
-i'2』2丄2
A 对此立方体表面的积分
[ALd S = 1212 1212
I 2 I 2
(-)dydz_ (_F )dydz
12 12 + J2 J2 1 24
12 1 2
2 1 2 2 1 2
2x ( ) dxdz - 2x (-)dxdz
2 _4'2 J2 2
1212 12 12
亠 i i 24x 2y 2(丄)3dxdy I i 24x 2y 2(-」)3d xdy
J 2 J 2 2 」2」2 2
丄
~24
1.计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求：i_r 对球体积的积分
2•解
2兀 兀
』rLfa s = f r_e r dS = J d © Jaa 2si=4兀 a 3 S y o
o
又在球坐标系中
、Lr 1「（r 2r ） =3 r :r
所以
e x .x e y :y 2
x e z
cz
2
y z =e x 2yz e z 2x
.x x e y
y
y
e z
=0
（3）
A = eA x e y A y e A z
2 二二 a
v Ud = 3r sin vdrd vd =4. a
T 0 0 0
1.求矢量A =e x x e y X 2 e z y2z 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重 合。

再求' A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

2.
2 2 2 2
廿 A|_d I 二 xdx — xdx 亠 i22dy — 0dy=8
所以
2 2
JV« A[d S = j J （e x 2yz + e z 2x^Je z dxd y =8
S 0 0
故有
1. 证明（1） l|_R =3 ; （2）
' R =0 ； （3）
'（A R ）= A 。

其中 R =e x x e y y e z z ，A 为一常矢量。

2. 解（1）
— n =3 ox by cz
Al_R 二 A x x A y y A z z
故
1.两点
电荷q E _ qi r _ r 「 E 1 4二；e x 4 -e z 4 二;0 (4.2)3
电荷q 2在(4,0,0)处产生的电场为
q
2 1 e x 4 - e y 4
4 二；
0 二;0 (4 2)3
故(4,0,0)处的电场为 E 二 E 1 E 2 二 e x e y -e z 1 2
32、2 0
1.两平行无限长直线电流11和丨2,相距为d ，求每根导线单位长度受到的安培力F m 。

2. 解无限长直线电流11产生的磁场为
B 1 二 e^l 1
直线电流12每单位长度受到的安培力为
01 11
2 F m12 二 12e z B d z = -82
0 式中e 12是由电流11指向电流12的单位矢量。

同理可得，直线电流11每单位长度受到的安培力为
F m21 二 _F m12 =。

12 "oh 1 2 (A|_R )二e x (A x X A y y A z Z) e y (A x X A y y A z Z) x _y
二e x A x e y A y 小=A
二VC 位于y 轴上y=4处，求(4,0,0)处的电场强度。

2•解 电荷q i 在(4,0,0)处产生的电场为
Q
2
4ira 当球体以均匀角速度「绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r =巳a 点处的电流面密度为
D r r3Ar2 a5
Aa4(“a)
(r - a)
J s - v - 3 r -e z e r a
oQ
e右
将球面划分为无数个宽度为dl二ad，的细圆环，贝y球面上任一个宽度为dl二adr细圆环的电流为
d I = J s dl sin rd -
4n
细圆环的半径为b=asin日,圆环平面到球心的距离d = a cos日,利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为
d B %b2dl 卩声Qa2si n'^d日
d B=
e z 2 2\32 =e z 2・2・ 2 2 3 2
2(b d ) 8 (a sin a cos )
% Qsin3)d)
=e z _
8兀a
故整个球面电流在球心处产生的磁场为
3 二％'Qsi n r d t 0
8： a
1.半径为a的球体中充满密度P(r)的体电荷，已知电位移分布为
其中A为常数，试求电荷密度'(r)。

2•解由［D = ■■'",有
1 d
r(r)「LD 二--r-(r2D r)
r d r
故在r a区域
- d 2 3 2 2
'(r)二；。

二[r (r Ar )]二；0(5r 4Ar)
r d r
在r a区域
「(r) =；0 —I L E 丸」；(r 2E)]f 12 r dr r dd (r 2r 4
)]=6®
dr a 3
r 4
a 2Q
4 二
a =2 ；0
/
5 八 4、 (a Aa )] 2 ] r
1. 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。

已 知球内部的电场为E =e r （r ,「a ）4，设球内介质为真空。

计算（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

2•解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为
（2）球体内的总电量Q 为
a 3
r 2 2
Q - 「d = 6；0飞4二「dr =4二；0a T
0 a
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以球壳外表面上的总电荷为
2Q ，故球壳 外表面上的电荷面密度为
1. 中心位于原点，边长为L 的电介质立方体的极化强度矢量为
P = F 0（e x X e y y e z Z ）。

（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。

2. 解（1）订二-LP -3F 0
二 p （x = 2）= n|_P XzL2 二 e x _p | X 』2 = 2卩0
二 P （X = ~2）= n|_P x-丄 2 = -e x _p | x-_L2 二?卩0
同理
5 =》）=bp （y =-》）=s （z = 2）〜心=_；） = 2 P 。

3 2 二p dS - -3F 0L 6L P 。

= 0
T S 20
2.解由
可得到
[D|_d S = q
4 二
r D 4： r D 1 ?r D 1 -r
,匕：
3 ；r ；0 3 ；「p
D 2 D 1
；0 3 o r 2
（r :::
R o ）
p
科
3 fj o s- f
J o (o
2 4 R o
4二 r D 2 - T （ r R ）
3
故中心点的电位为
1. 一个半径为R 的介质球，介电常数为；，球内的极化强度P 二e r K 「r ，其中
K 为一常数。

（
1）计算束缚电荷体密度和面 密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。

2•解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为
订「'LP = -2§（『上 r dr r
在r -R 的球面上，束缚电荷面密度为
（2）由于D 二；o E P ，所以
v L D 二；0\ _E J _P 二壬 L D •、_P d
+ r d 2 2
-<P =
■0 'P
（；- ；二 e
（r R ）
r （-
dr ；
dr
（心R ）
由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
总的自由电荷量
(3)介质球内、外的电场强度分别为
（r ：： R ） q 名RK E 2 e r 4二；°r 2 $ ；。

( ； 一 ；o )r 2 介质球内、外的电位分别为
R ::
1 = EUdl 二 E^r Ezdr
r
r R K , R K In
;-;o r p （ ； - p ） RK | RK 2 二 E 2dr
2 dr (r _ R)
r r ®o)r s (E — %)r 1 •如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U Q ， 求槽内的电位函数。

2•解根据题意，电位(x, y)满足的边界条件为
①:(Oy卜「a y司0
U o
两边同乘以sin（n-：x
a）
并从0到a对x积分，得到
a
「si n(
asinh(n二b a) 0
2U
o X)dx a
2U o
(1 — cos n
巧n二sinh(n二b a)
f 4U o
W n：
sinh(n 二b a)'门n =2,4,6,川
故得到槽内的电位分布
(x,y^4U n「y、. ，n「x 二n=1,3,5,i.|
nsinh(rrba)Sinh(T顾盲)
②（x, 0> 0
③（x,b）二H
根据条件①和②，电位:（x, y）的通解应取为
□0
(x, y) = ' A n sinh( )sin( )
nA a a
由条件③，有
QO
=、'Asinh( )sin( )
n 4 a a
1.两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y = d到y = b （-：： ::: z ：：：：：）。

上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从y = o到y=d，电位线性变化，®（Q y =u°y/d。

2.解应用叠加原理，设板间的电位为
（x,y）=气（兀y）2（x, y）
其中，l（x,y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U Q）的电位，即\（x, y^U o y b ；\（x, y）是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为
①；（x,0） = 2（x,b） =0
②；（x,y）二0 （x）
U 。

U 。

I
訂一卫
③
2
(0, y)八(0, y) - l(0,y )二
d b
I.. U 0 U r y
(d < y mb)
根据条件①和②，可设\（x, y ）的通解为
2
（x ，y ）八代sin （亍）e ^
由条件③有
了sin(〒)
U 。

U 。

一y-一y d b ..u 。

吩書y
(d < y < b)
两边同乘以sin （n 二y .b ），并从0到b 对y 积分，得到
A^=2^d
(^1
)ysin(^y)dy
b 0
d b
b b
b
(1
d
2U 0
b n 二d
—2严〒) 一（n 二）
d
n 「d n ： y
-T
q
h % “
£
o
题 4.24 图（a ）
故得到
(x, y) 讐 ' ^sin (¥)s"(专)占"
b d 二 n 生 n b b
1. 如题（a ）图所示，在z ::: 0的下半空间是介电常数为；的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q 。

求
（1）
z 0和z ：：：0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像
电荷q 。

2. 解（1）在点电荷q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。

根据镜像法可 知，镜像电荷分布为（如题图（b ）、（C ）所示）
4
二;c
p =
n
z
卫
cz
cz
(；-
；o)hq 2二(；；o )(r 2
h 2)
32
r
----- dr
2
、32 川
；-；0
q 二-——q ，位于z 二_h
:.亠帀
上半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q ■共同产生，即
4：；0
R 4 二;0
R
；-；o
r 2
(z -h)2
；
；o . r 2 (z h)2
下半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q”共同产生，即
；_q q _ q
2
4二;R 2 2( J 、『(z_h)2
（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
YR - P 2 )z=Q = ；0(E iz -E 2Z ) z£
极化电荷总电量为
1. 一个半径为R 的导体球带有电荷量为Q ，在球体外距离球心为D 处有一个点电荷q 。

（1）求点电荷q 与导体球之间的静电力; （2）证明当q 与Q 同号，且
Q RD 3
_ R q （D 2
-R 2
）2
D
成立时，F 表现为吸引力。

2.解（1）导体球上除带有电荷量Q 之外，点电荷q 还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。

根据镜像法，像电荷q 和。