2018-2019学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校高二年级上学期第二次联考数学(理)试题 解析版

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福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校2018-2019学年高二年级上学期第二次联考数学（理)试题
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标是（）
A．（，0 ）B．（0，）C．（，0）D．（0，）
【答案】D
【解析】
根据抛物线标准方程可得：，所以焦点坐标为
2．下列说法错误的是（）
A．对于命题,则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若命题为假命题，则都是假命题
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”
【答案】C
【解析】
试题分析：对于A,全称命题的“非”是存在性命题，且否定结论，即A正确；
对于B，时，成立，但反之，时，，所以B正确；
对于C,，命题为假命题，说明至少有一为假命题，所以C错；
对于D，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，D正确，故选C．
考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题．
【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
3．某个班有45名学生,学校为了了解他们的身体发育状况,决定分成男生、女生两部分分层抽样,若每个女生被抽取的概率为0.2,抽取了3名女生,则男生应抽取( )
A．3名B．4名C．5名D．6名
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分层抽样的特点进行解题，不论男生，女生每个个体被抽到的机会是均等的，即可得解.
【详解】
设女生共有x名，则男生有45-x名，依题意，有0.2x=3，解得x=15,所以男生有30名，则男生应抽取300.2=6名.
故选D.
【点睛】
本题考查了分层抽样，抓住每个个体被抽到的机会均等即可解题,属于基础题.
4．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）
A．1 B．C．D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知，，，因为与互相垂直，所以
，即，，．故选D．
考点：两向量垂直．
5．“” 是“方程表示的曲线为椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
易知“”时，方程表示的曲线为椭圆成立，充分性成立
但当方程表示的曲线为椭圆时，或，必要性不成立.
所以“” 是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.
故选A.
6．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
14 B ．8π C ．12 D ．4
π 【答案】B
【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为
2
a
，正方形的面积为2a ，圆的面积为2
4a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面
积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是
221248
a a ππ⋅
=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .
7． 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A ．46，45，56
B ．46，45，53
C ．47，45，56
D ．45，47，53
【答案】A
【解析】
由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A.
点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.
8．已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（）A．(2,5,0) B．(-4,-1,-6)或(2,5,0) C．(3,4,1) D．(3,4,1) 或(-3,-2,-5）
【答案】B
【解析】
设
∵，
∴
∵且
∴或
∴或
∴或
∴点的坐标为或，故答案选B
9．已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
已知双曲线（m>0,n>0）的离心率为，则得到
椭圆的离心率为
故答案为：D。

点睛：这个题目考查的是椭圆的离心率的求法；将正弦定理和圆锥曲线联系到一起。

求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。

10．如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为,,又已知,则甲、乙两人相距()
A．50 m B．m C．60 m D．70 m
【答案】D
【解析】
【分析】
把向量拆分为,再平方可得|。

【详解】
因为,
所以||2==||2+||2+||2+2()
=302++402+2(0+0+30·40·cos60°)=4900,于是||=70m,
故甲、乙两人相距70m.选D.
【点睛】
线段长度，即向量模常用方法是用平方处理，如本题通过向量分拆再用平方可求得向量模||。

11．已知双曲线的左焦点为F，圆M的圆心在Y轴的正半轴，半径为2a,若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线MF与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆心的坐标，利用直线与圆相切，建立条件关系，求出的关系即可得到结果
【详解】
设圆心，双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线的一条渐近线垂直，
则，即
则圆心的坐标
圆与双曲线的两渐近线均相切，
圆到直线的距离
整理可得：
则
即
则
故选
【点睛】
本题主要考查的是离心率的求解，直线和圆的位置关系的应用，根据条件求出圆心的坐标以及的关系是解决此题的关键。

12．抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足
,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）
A．2 B．C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，，连接，，由抛物线定理可得，由余弦定理可得，然后根据基本不等式，求得的取值范围，即可得到答案
【详解】
设，，连接，
由抛物线定义可得，
在梯形中，
余弦定理可得：
配方可得：
又
即的最大值为
故选
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质，结合抛物线定义运用余弦定理找出各长度之间的关系，再运用不等式进行求解，本题较为综合，有一定难度。

第II卷（非选择题)
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二、填空题
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为___________
【答案】4
【解析】
由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，满足判断框的条件，故跳出循环程序．
故输出的n的值为4．
故答案为：4。

14．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
由表中数据，求得线性回归方程为，根据回归方程，预测加工70个零件所
花费的时间为________分钟．
【答案】102
【解析】
【分析】
根据表格中数据，利用平均数公式，求出样本中心的坐标，可确定回归方程，再将
代入回归方程即可得结果.
【详解】
由表格中数据，
利用平均数公式可得，
将中心点代入线性回归方程
可得，
所以线性回归方程为，
当时，，故答案为．
【点睛】
本题主要考查回归方程的性质以及回归分析的应用，属于简单题.回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
15．已知两点坐标、，若，则点P轨迹方程为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，即点P到两个定点A，B的距离之和等于定值，得到点P的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x轴上，写出椭圆的方程．
【详解】
因为、，∵10>8，∴点P到两个定点的距离之和等于定值，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a=10，2c=8，∴b=3，所以椭圆的标准方程
是.
故答案为.
【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法，椭圆定义的应用，属于基础题.
16．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，
的面积分别为，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线的离心率推出b＝a，线段MN所在直线的方程为y＝(x+a)，点P在线段MN上，可设P(m，（m+a）), 其中m∈[-a，0]，由F1（-c，0），F2（c，0），通过斜率的数量积求出的最值，然后求解结果．
【详解】
由已知e＝=2得c=2a，b＝a，故线段MN所在直线的方程为y＝(x+a)，又点P在线段MN上，可设P(m，（m+a）)，其中m∈[-a，0]，由F1（-c，0），F2（c，0），得＝(−2a−m，−（m+a）),(2a−m，−（m+a）)),则4m2+6am−，由m∈[-a，0]，可知当m＝-a时，取得最小值，此时S1＝×2c×（-a+a）=ac，当m=0时，取得最大值，此时S2＝×2c×a=
ac，所以.
故答案为.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．
17．已知，:,:．
（I）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围
【答案】（I）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1），是的充分条件，是的子集，所以
；（2）由题意可知一真一假，当时，，分别求出真
假、假真时的取值范围，最后去并集就可以．
试题解析：
（1），∵是的充分条件，∴是的子集，
，∴的取值范围是．
（2）由题意可知一真一假，当时，，
真假时，由；
假真时，由或．
所以实数的取值范围是．
考点：含有逻辑联结词命题真假性．
三、解答题
18．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（I）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；
（Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m、n，求事件“概率．
【答案】（Ⅰ）29；（Ⅱ）0．6
【解析】
试题分析：（Ⅰ）问中认为成绩大于或等于60且小于80合格，那么根据分组说明就是第二组和第三组都是及格，加和即可得到结果；（Ⅱ）若使|m﹣n|＞10，那么所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取，如果是在[50，60）中，最大的分数是59，最小为50，那么不满足|m﹣n|＞10，所以满足所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取的概率即可。

试题解析：（Ⅰ）根据所问即为第二组和第三组都是及格的人，由直方图得到一共有频率为0．058的人数及格，又因为一共有50名同学，所以及格的人数为
人。

（Ⅱ）若使|m﹣n|＞10，那么所抽取的两个学生必须在两个集合中抽取。

由直方图知，成绩在的人数是人，假设两人的成绩为，成绩在
的人数是人，设三人的成绩为，令，那么进行分组讨论：
若都在A集合中抽取，那成绩分别为；若都在B集合中抽取，成绩可能为；若在不同的集合抽取，成绩可能为。

所以一共有10种基本事件，而符合|m﹣n|＞10的事件有，所以。

考点：1．频率分布直方图；2．古典概率
19．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，分别为的中点，且.
（1）证明：平面ABC；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）通过证明线线垂直即可得线面垂直.(2)建立空间直角坐标系，求出两平面法向量的坐标，求其夹角即可.(3)为平面的一个法向量,点B到平面SCM的距离
d=即可得解.
【详解】
（1）证明：取线段的中点，连接.
因为，，所以且SO⊥AB，
所以平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系,则,
为平面的一个法向量.
由（1）得：，.
设为平面的一个法向量，则
即
取，则
所以
由图可知：二面角是锐角二面角，
所以二面角的余弦值为.
（3）由（1）（2）可得：，为平面的一个法向量.
所以，点到平面的距离
20．如图，在四棱柱中，平面，，，，
，为的中点.
（Ⅰ）求CE与DB所成角的余弦值；
（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由平面，，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，得出与的坐标，即可求得CE与DB所成角的余弦值；（Ⅱ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．
【详解】
（Ⅰ）由平面，，可得，，两两垂直，所以分别以，，
所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，.
，，，
（Ⅱ）所以，，，.
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得.
设，其中，
则，
记直线与平面所成角为，
则，
解得（舍），或. 所以，
故线段的长度为.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理及线面角，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．
21．设F为抛物线的焦点，A,B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点. （Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；
（Ⅱ）当时，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）直线的方程与抛物线联立得，设点
，，，结合韦达定理求解即可；
（Ⅱ）设，，由，得，进而得，直接带入求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）由题意，得，则直线的方程为.
由消去，得.
设点，，
则，且，，
所以.
（Ⅱ）因为是抛物线上的两点，所以设，，
由，得，
所以，即.
则点的坐标为.
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
22．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率
，椭圆上的点到焦点的最短距离为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设T为直线上任意一点，过的直线交椭圆C于点P,Q，且为抛物线，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由离心率和a,b,c的等量关系即可求得a,b，方程即可得出;(2) T为直线上任意一点，设，则，当时，直线的方程为，也符合方程
．当时，直线的斜率为，直线的方程为；将直线的方
程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理及弦长公式即可得出从而求得的表达式求最小值.
【详解】
解：（1）而又，得，
故椭圆的标准方程为
（2）由（1）知，∵，故，设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程．当
时，直线的斜率为，直线的方程为；设，，将直线的方程与椭圆C的方程联立，得消去，得：，，
，，
，
，
当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，弦长的计算，注意特殊情况的讨论，计算的准确性，属于中档题.。