新人教版高中数学必修第二册 第8章 8.5.3 平面与平面平行

8．5.3平面与平面平行
考点学习目标核心素养
平面与平面平行的判定
理解平面与平面平行的定义，会用图
形语言、文字语言、符号
语言准确描述平面与平面平行的判定
定理，会用平面与平面平
行的判定定理证明空间面面位置关系
直观想象、逻辑推理
平面与平面平行的性质
理解并能证明平面与平面平行的性质
定理，能利用平面
与平面平行的性质定理解决有关的平
行问题
直观想象、逻辑推理
问题导学
预习教材P139－P142的内容，思考以下问题：
1．面面平行的判定定理是什么？
2．面面平行的性质定理是什么？
1．平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面
平行
符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
图形语言
(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
2．平面与平面平行的性质定理
文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平
行
符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言
■名师点拨
(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()
(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()
(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()
答案：(1)×(2)√(3)×
若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()
A．一定平行B．一定相交
C．平行或相交D．以上判断都不对
答案：C
下列命题正确的是()
A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥β
B．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面α
C．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面α
D．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行
答案：D
如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG.
同理EH∥FG.
所以四边形EFGH的形状是平行四边形．
答案：平行四边形
平面与平面平行的判定
如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1.
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
【证明】(1)因为B1B═∥DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，
B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD＝D，
所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD ∥B 1D 1， 得BD ∥平面EB 1D 1. 取BB 1的中点G ， 连接AG ，GF ， 易得AE ∥B 1G ， 又因为AE ＝B 1G ，
所以四边形AEB 1G 是平行四边形， 所以B 1E ∥AG .
易得GF ∥AD ，又因为GF ＝AD ， 所以四边形ADFG 是平行四边形， 所以AG ∥DF ，所以B 1E ∥DF ， 所以DF ∥平面EB 1D 1. 又因为BD ∩DF ＝D ， 所以平面EB 1D 1∥平面FBD .
[变条件]把本例(2)的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝1
4A 1A ”，求F
在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?
解：当F 满足CF ＝1
4CC 1时，两平面平行，下面给出证明：
在D 1D 上取点M ， 且DM ＝1
4DD 1，
连接AM ，FM ， 则AE ═
∥D 1M ， 从而四边形AMD 1E 是平行四边形． 所以D 1E ∥AM . 同理，FM ═
∥CD ，
又因为AB═∥CD，所以FM═∥AB，
从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF.
即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，
D1E⊄平面FBD，
所以D1E∥平面FBD.
又B1B═∥D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD，
又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，
从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，
所以平面EB1D1∥平面FBD.
证明面面平行的方法
(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
已知四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平
行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝
BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，
所以NQ∥平面PBC，
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，
所以MQ∥BC.
而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PBC.
面面平行性质定理的应用
如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，
连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.
又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.
所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，
且AM
MB＝
CN
ND，其他不变．
证明：MN∥平面α.
证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．
因为α∥β且平面AEDC 与平面α，β的交线分别为ED ，AC ，所以AC ∥ED ，所以四边形AEDC 为平行四边形，作NP ∥DE 交AE 于点P ，
连接MP ，BE ，于是CN ND ＝AP
PE
.
又因为AM MB ＝CN ND ，所以AM MB ＝AP
PE ，所以MP ∥BE .
而BE ⊂α，MP ⊄α，所以MP ∥α.同理PN ∥α. 又因为MP ∩NP ＝P ，所以平面MPN ∥平面α. 又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.
2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A ，B ，C 和D ，E ，F ，求证：AB BC ＝DE
EF
.
证明：连接AF 交平面β于点M .
连接MB ，ME ，BE ，AD ，CF ，因为α∥β， 所以ME ∥AD . 所以DE EF ＝AM MF .
同理，BM ∥CF ， 所以AB BC ＝AM MF ，
即
AB BC ＝DE EF
.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒] 面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在
α与β之间)，直线PB 、PD 分别与α、β相交于点A 、B 和C 、D .
(1)求证：AC ∥BD ；
(2)已知P A ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长．
解：(1)证明：因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，所以AC ∥BD .
(2)由(1)得AC ∥BD ，所以P A AB ＝PC CD ，所以45＝3
CD ，
所以CD ＝15
4
(cm)，
所以PD ＝PC ＋CD ＝27
4
(cm)．
平行关系的综合问题
在正方体ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1中，如图．
(1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；
(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并
证明：A 1E ＝EF ＝FC .
【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ═
∥B 1C 1， 所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形， 所以AB 1∥C 1D .
又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD . 所以AB 1∥平面C 1BD . 同理B 1D 1∥平面C 1BD .
又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD . (2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接A 1C ，连接AO 1与A 1C 交于点E .
又因为AO 1⊂平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内，所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；
连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．证明A 1E ＝EF ＝FC 的过程如下：
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，
所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
解决平行关系的综合问题的方法
(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD
上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
因为MP∥BB1，
所以CM
MB1＝CP PB.
因为BD＝B1C，DN＝CM，
所以B1M＝BN，所以
CM MB1＝DN NB
，
所以CP PB ＝DN NB ，
所以NP ∥CD ∥AB . 因为NP ⊄平面AA 1B 1B ， AB ⊂平面AA 1B 1B ， 所以NP ∥平面AA 1B 1B .
因为MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ， BB 1⊂平面AA 1B 1B . 所以MP ∥平面AA 1B 1B .
又因为MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ， MP ∩NP ＝P ，
所以平面MNP ∥平面AA 1B 1B . 因为MN ⊂平面MNP ， 所以MN ∥平面AA 1B 1B .
1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A ．平面α内有一条直线与平面β平行
B ．平面α内有两条直线与平面β平行
C ．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D ．平面α与平面β不相交
解析：选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
2.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，
α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △
A ′
B ′
C ′∶S △ABC 等于(
)
A ．2∶25
B ．4∶25
C ．2∶5
D ．4∶5
解析：选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ， 所以AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ， 易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，
S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝4
25
.
3．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1， 所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ， 且MN ∥CD 1， 所以N 为AB 的中点，
所以该截面为等腰梯形MNCD 1， 因为正方体的棱长为2，
易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5， 所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝
（
5）2－
⎝⎛⎭
⎫222
＝322.
所以截面面积为12(2＋22)×322＝9
2.
答案：9
2
4.如图，已知AB 与CD 是异面直线，且AB ∥平面α，CD ∥平面α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝G ，BC ∩α＝H .求证：四边形EFGH 是平行四边形．
证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，
平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，
因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD，
平面ABD∩平面α＝FG，
所以AB∥FG，所以EH∥FG，
同理由CD∥平面α可证EF∥GH，
所以四边形EFGH是平行四边形．
[A基础达标]
1．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交
C．平行或相交D．可能重合
解析：选C.若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A.如图，因为EG∥E1G1，
EG⊄平面E1FG1，
E1G1⊂平面E1FG1，
所以EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，
所以平面E1FG1∥平面EGH1.
3.有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平
面A′C′，要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，有N
种锯法，则N 为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
解析：选B.过P 、B 、C 三点有且只有1个平面．
4．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ②
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；
③
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥γβ∥γ⇒a ∥β. 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．②
D ．①③④
解析：选C.①α与β有可能相交；②正确；③有可能a ⊂α；④有可能a ⊂β.故选C. 5．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )
A ．16
B ．24或24
5
C ．14
D ．20
解析：选B.由α∥β得AB ∥CD .分两种情况： 若点P 在α，β的同侧，则P A PC ＝PB
PD ，
所以PB ＝165，所以BD ＝24
5
；
若点P 在α，β之间，则有P A PC ＝PB
PD
，所以PB ＝16，所以BD ＝24.
6．对于不重合直线a ，b ，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有________．(填写所有正确的序号)．
①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ； ③a ∥α，a ∥β；④a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β.
解析：对于①，当γ⊥α，γ⊥β时，α与β相交，或α与β平行； 对于②，当α∥γ，β∥γ时，根据平行平面的公理得α∥β； 对于③，当a ∥α，a ∥β时，α与β相交，或α与β平行；
对于④，当a ∥b 时，若a ⊥α，则b ⊥α，又b ⊥β，所以α∥β； 综上，能推出α∥β的是②④. 答案：②④
7．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；
②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若a ∥α，a ∥β，则α∥β；
④若a ⊂α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b . 其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．
答案：④
8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝2
3
BD 1.则以下四个说法：
①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .
其中说法正确的是____________． 解析：①MN ∥AC ，连接AM ，CN ，
得AM ，CN 交于点P ，即MN ⊂平面P AC ，所以MN ∥平面APC 是错误的； ②平面APC 延展，可知M ，N 在平面APC 上，AN ∥C 1Q ， 所以C 1Q ∥平面APC ，是正确的；
③由BP ＝2
3BD 1，以及②知△APB ∽△D 1PM ，
所以A ，P ，M 三点共线，是正确的；
④直线AP 延长到M ，则M 既在平面MNQ 内，
又在平面APC 内，所以平面MNQ ∥平面APC ，是错误的． 答案：②③
9．如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点，求证：平面AD 1C ∥平面BPQ .
证明：因为D 1Q 綊12CD ，AB 綊1
2CD ，所以D 1Q 綊AB ，
所以四边形D 1QBA 为平行四边形，所以D 1A ∥QB . 因为D 1A ⊄平面BPQ ，BQ ⊂平面BPQ ， 所以D 1A ∥平面BPQ .
因为Q ，P 分别为D 1C 1，C 1C 的中点，所以QP ∥D 1C . 因为D 1C ⊄平面BPQ ，QP ⊂平面BPQ ， 所以D 1C ∥平面BPQ ，又D 1A ∩D 1C ＝D 1， 所以平面AD 1C ∥平面BPQ .
10．(2019·湖南师大附中检测)如图(甲)，在直角梯形ABED 中，AB ∥DE ，AB ⊥BE ，AB ⊥CD ，F ，H ，G 分别为AC ，AD ，DE 的中点，现将△ACD 沿CD 折起，如图(乙)．求证：平面FHG ∥平面ABE .
证明：因为F ，H ，G 分别为AC ，AD ，DE 的中点，所以FH ∥CD ，HG ∥AE . 又AB ⊥CD ，AB ⊥BE ，所以CD ∥BE ，所以FH ∥BE . 因为BE ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ，所以FH ∥平面ABE .
因为AE⊂平面ABE，HG⊄平面ABE，所以HG∥平面ABE.
又FH∩HG＝H，所以平面FHG∥平面ABE.
[B能力提升]
11．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
解析：选D.如图，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，
此时AB的中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E，连接
CE、C′E、AA′、BB′.
则CE∥AA′，所以CE∥α，
C′E∥BB′，所以C′E∥β.
又因为α∥β，所以C′E∥α.
因为C′E∩CE＝E，
所以平面CC′E∥平面α.所以CC′∥α.
所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
12.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，
F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给
出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②直线P A∥平面BDG；
③直线EF∥平面PBC；
④直线EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；P A∥平面
BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．
答案：①②③
13.用一个截面去截正三棱柱ABC-A 1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC
分别于E，F，G，H，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以为________(把
你认为可能的结果的序号填在横线上)．
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
解析：由题意知，当截面平行于侧棱时，所得截面为矩形，当截面
与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即EF∥HG且EH不平行于FG.
答案：②⑤
14．(2019·广饶期末)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CM N与平面P AD交于PE.
(1)求证：MN∥平面P AD；
(2)求证：MN∥PE.
证明：(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
因为N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQ∥PD.
因为NQ⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，
所以NQ∥平面P AD.
因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD.
又MQ⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，
所以MQ∥平面P AD.
因为MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面P AD.
因为MN⊂平面MNQ，
所以MN∥平面P AD.
(2)因为平面MNQ∥平面P AD，
平面PEC ∩平面P AD ＝PE ， 所以MN ∥PE .
[C 拓展探究]
15.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．
解：点E 为AB 的中点时DE ∥平面AB 1C 1，证明如下：
法一：取AB 1的中点F ，连接DE 、EF 、FC 1，
因为E 、F 分别为AB 、AB 1的中点， 所以EF ∥BB 1且EF ＝1
2BB 1.
在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， DC 1∥BB 1且DC 1＝1
2
BB 1，
所以EF ═∥DC 1，四边形EFC 1D 为平行四边形， 所以ED ∥FC 1.
又ED ⊄平面AB 1C 1，FC 1⊂平面AB 1C 1， 所以ED ∥平面AB 1C 1. 法二：取BB 1的中点H ， 连接EH ，DH ，ED ，
因为E ，H 分别是AB ，BB 1的中点， 则EH ∥AB 1. 又EH ⊄平面AB 1C 1， AB 1⊂平面AB 1C 1， 所以EH ∥平面AB 1C 1，
又HD ∥B 1C 1，同理可得HD ∥平面AB 1C 1， 又EH ⊂平面EHD ，HD ⊂平面EHD ，EH ∩HD ＝H ，
因为ED⊂平面EHD，
所以ED与平面AB1C1无交点，所以ED∥平面AB1C1.。