2020届内蒙古呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学（理）试题

2020届内蒙古呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学
（理）试题
一、单选题 1．复数满足
，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】试题分析：由得，所以复数在复平面内对
应的点在第一象限，故选A.
【考点】1.复数的运算；2.复数的几何意义.
2．已知集合{}
2
|60A x x x =--<，集合{}|10B x x =->，则A
B =（ ）
A ．()1,3
B ．()2,3-
C ．()1,+∞
D ．()2,-+∞
【答案】D
【解析】化简集合A,B ，根据并集的定义运算即可. 【详解】
由条件得{}|23A x x =-<<，{}|1B x x =>， 所以{}|2A B x x =>-，即：A B =()2,-+∞.
故选：D 【点睛】
本题主要考査了集合之间的基本运算，不等式的解法，解题关键在于正确求解不等式，并用数轴表示集合之间的关系，属于容易题. 3．在同一直角坐标系中，函数
且
的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】 当时，函数
过定点
且单调递减，则函数
过定点且单调递增，函数
过定点
且单调递减，D 选项符合；当时，函数
过定点
且单调递增，则函数
过定点
且单调递减，函数
过定点
且单调
递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
4．设sin2sin αα=-，且α是第二象限的角，则tan2α的值是（ ） A 3B ．23C ．3±D ．3±【答案】A
【解析】由二倍角公式可得1
cos 2
α=-，根据同角三角函数关系求出tan α，再利用正切函数的二倍角公式即可. 【详解】
由sin2sin αα=-得
2sin cos sin ααα=-，
因为α是第二象限的角， 所以sin 0α≠， 所以1cos 2α=-
，3sin α=， 所以tan 3α=
所以2
2tan tan 21tan α
αα
==- 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的二倍角公式、特殊角的三角函数值，属于中档题. 5．函数sin y x =和tan y x =的图像在[]2,2ππ-上交点的个数为（ ） A ．3 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】函数图象交点的个数可转化为方程sin tan x x =根的个数，解方程即可求解. 【详解】
由sin tan x x =得sin sin cos x
x x
=
， 所以()sin cos 10x x -=，亦即sin 0x =或cos 1x =，
当sin 0x =时，x 的值在[]2,2ππ-内可以为2π-，π-，0，π，2π， 当cos 1x =时，x 的值在[]2,2ππ-内可以为2π-，0，2π，
所以()sin cos 10x x -=在[]2,2ππ-的根为2π-，π-，0，π或2π， 故选:B 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变形、三角函数求值,考查了转化思想，属于中档题. 6．已知函数()f x 满足()()4f x f x =-，()5
2
4f x dx =⎰
，则()5
1
f x dx -⎰等于（ ）
A ．0
B ．2
C ．8
D ．不确定
【答案】C
【解析】根据条件()()4f x f x =-可知函数关于2x =对称，根据对称性可知
()()2
51
2
4f x dx f x dx -==⎰
⎰，利用定积分性质()()()525
112
f x dx f x dx f x dx
--=+⎰⎰⎰即可求解. 【详解】
由()()4f x f x =-得()f x 关于2x =对称. 所以()()2
5
124f x dx f x dx -==⎰
⎰，
所以
()()()5
2
5
1
1
2
8f x dx f x dx f x dx --=+=⎰⎰⎰，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了函数的对称性、定积分的几何意义,定积分的运算性质，属于中档题. 7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）
A ．()1
621n +-
B ．()2621n
-
C
．6
3n
-
D ．(
)
621n
-
【答案】A
【解析】根据数列为等比数列可得2
2q =，可证明3523,,,n a a a +⋅⋅⋅是以36a =为首项，
22q =为公比的新等比数列{}n b ，根据等比数列前n 项和计算即可.
【详解】
∵22313a a q q =⋅=，44513a a q q =⋅=，∴24
13533321a a a q q ++=++=，
整理得4260q q +-=及(
)(
)
2
2
230q q -+=解得2
2q =或-3（舍）,
对于3523n a a a +++⋅⋅⋅+， 设21n n b a +=，
则13b a =，25b a =，123n n b a ++=
其本质是以36a =为首项，2
2q =为公比的新等比数列{}n b 的前1n +项和,
∴()()11352361262112
n n n a a a +++-++⋅⋅⋅+==--
故选：A 【点睛】
本题主要考查了等比数列通项公式与前n 项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题.
8．已知0>ω，若()2
2cos
sin cos f x x x x ωωω=+在区间72,123ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调时，ω的取值集合为A ，对()2,x ∀∈+∞不等式9
02
x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】化简函数()()sin 2f x A x ωθ=+，由题意知
2763121222T ππππωω-=≤=⇒≤，从而可知(0,6]A ⊆，由不等式902
x x ω+->-恒成立，分离参数可知9
2
x x ω+
>-恒成立，可求出()0,8B =，由充分条件、必要条件的定义即可判断“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件. 【详解】
()22cos sin cos f x x x x ωωω=+1cos 211
2sin 2cos 2sin 21222
x x x x ωωωω+=⋅
+=++()sin 2A x ωθ=+，可知函数
周期22T ππ
ωω=
=，由题可知函数在区间72,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故该区间长度需小于等于半个周
期，及
2763121222T ππππωω
-=≤=⇒≤，∴(0,6]A ⊆， 对于不等式9
02
x x ω+
->-，()2,x ∈+∞；设2x t -=，()0,t ∈+∞，2x t =+； ∴不等式等价于9
20t t
ω++
->恒成立，及min 92t t ω⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，
对于()0,t ∈+∞
，96t t +
≥=， ∴8ω<，及集合()0,8B =， ∴A B ⊆，
“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数单调区间求解，不等式恒成立问题，基本不等式、充分必要条件的判断,属于难题.
9．在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()2,0B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为（ ） A ．-2 B ．0
C ．-3
D ．-4
【答案】C
【解析】设点()0,E y ，点()0,2F y +，y R ∈,可得()2
13AE BF y ⋅=+-，利用二
次函数求最值即可. 【详解】
设点()0,E y ，点()0,2F y +，y R ∈，则()1,AE y =，()2,2BF y =-+， ∴()()122AE BF y y ⋅=⋅-+⋅+()2
22213y y y =+-=+-； 当1y =-时，AE BF ⋅的最小值为-3， 故选：C 【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算、数量积及函数最值问题，属于中档题. 10．等差数列的{}n a 公差d 不为0，n S 是其前n 项和，给出下列命题： ①若0d <，且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项； ②给定n ，对一切()*
k N
k n ∈<，都有2n k n k n a a a -++=；
③若0d >，则{}n S 中一定有最小项； ④存在*k N ∈，使得1k k a a +-和1k k a a --同号. 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】①中38S S =可推导60a =，结合0d <，可知数列前5项为正，第6项为0，即可判断结论正误②根据等差数列中下标之和相等则项的和相等的性质，可判断正误③0d >时，不论首项的符号，都能判断{}n S 中一定有最小项④根据等差数列的定义可知1k k a a +-和1k k a a --分别为,d d -，即可判断正误. 【详解】
对于①若0d <，38S S =，可得150a d +=，即60a =，所以5S 和6S 都是{}n S 中的最大项，①正确；②根据等差中项性质可知，所以②是正确的；③根据等差数列求和公式可知，2122n d d S n a n ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭，当10a ≥时，1S 是最小值；当10a <，12a d n d -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
或121a d n d -⎡⎤
=±⎢
⎥⎣⎦
时取最大值；④1k k a a d +-=-和1k k a a d --=，因为0d ≠，所以
1k k a a +-和1k k a a --异号，故④是错误的.
【点睛】
本题考查等差数列的定义，通项公式和前n 项和的性质，属于中档题. 11．已知函数()f x 满足()()1
'x
f x f x e +=
，且()01f =，则函数()()()21
32g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．0个
【答案】B
【解析】根据()()1'x f x f x e
+=
，可得()'1x e f x ⎡⎤=⎣⎦，即有()x
e f x x c =+，可推出()1x x f x e +=，解方程()0g x =，得()0f x =或()
1
6
f x =，判断零点个数即可. 【详解】
()()()()1''1x x
x f x f x e f x e f x e
+=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，∴()x e f x x c =+，()x x c f x e +=
，∵()01f =代入，得1c =，∴()1
x
x f x e +=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()1
6
f x =， ()1001x x f x x e +=⇒
=⇒=-；()()111
6166
x x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，
函数x
y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()1
6
f x =
的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.
12．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（）
A．9 B．13 C．16 D．18
【答案】C
【解析】根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；其中数字组合3、3，7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共14个，因此可表示的两位数为16个.
【详解】
根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；
数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，⨯=个两位数；
则可以表示2714
⨯=个两位数；
数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212
+=个两位数.
则一共可以表示14216
故选:C
【点睛】
本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题.
二、填空题
13．已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值为________.
【答案】5
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，
由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩
， 将3z x y =+变形为3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，
由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时， 直线在y 轴上的截距最大，
所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．如图，在等腰梯形ABCD 中，1
2
DC AB =
，BC CD DA ==，DE AC ⊥于点E ，如果选择向量AB 与CA 作基底，则DE 可用该基底表示为______.
【答案】
1122
AB CA + 【解析】由题意可知E 为AC 的中点，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】
由题意可得E 为AC 的中点， 所以111
222
DE DC CE DC CA AB CA =+=+
=+. 故答案为：11
22
AB CA + 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算，涉及向量的加、减法则，属于中档题.
15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 【答案】
【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则
（a 3+a 4+a 5）×=a 1+a 2，即，解得a 1=，d=．最小一份为a 1，
故答案为：．
16．已知常数0a >，函数()22x
x f x ax =+的图像过点4,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,9n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若
()
32251m n mn
f +=
，则a 的值是______. 【答案】
12
【解析】将点代入函数解析式，联立可得2
2
32m n
a mn +=，结合
()
32251m n
mn f +=，化简
得()2162325
a mn
a mn +=，解方程即可求解.
【详解】
由条件4,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，则24
25
m m am =+，
即()4225
m
m
am =
+，所以24m am =① 8,9Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，则28
29
n n an =+， 即()8229
n
n
an =
+，所以28n an =② ①×②得2232m n a mn +=，
又()()162322
515
m n a mn
mn f ++==③
所以()2162325
a mn
a mn +=
④
由①，②显然可知m ，n 均不为0，因为()01f =， 故上式④可化为()2
10200a a a --=>，
解之得：12
a =
. 故答案为：12
【点睛】
本题主要考查函数的性质及其运算.，需要有很强的代数变形能力和运算求解能力，属于难题.
三、解答题
17．已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝
=⎪⎭，()22sin 2x g x =.
（1）若α是第二象限角，且()f α=
，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值.
【答案】（1）()95g α=
（2）()()f x g x +的最大值为3，此时()2
23
x k k Z ππ=+∈
【解析】（1）利用三角函数恒等变换化简()f x =x =
，
()2
2sin 1cos 2x g x x ==-，由()5
f α=求sin α，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知()()f x
g x +=2sin 16x π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
，根据正弦函数性质求解即可. 【详解】
（1）()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫
⎛
⎫-
+- ⎪ ⎝
⎭⎝
=⎪⎭ sin cos
cos sin
cos cos
sin sin
6
6
3
3
x x x x π
π
π
π
=-++
11cos cos 2222
x x x x =
-++
x =，
()2
2sin 1cos 2
x
g x x ==-，
则()5
f αα==
，则3sin 5α=，
∵α是第二象限角，∴4cos 5
α=-
， ∴()49
155
g α⎛⎫=--
= ⎪⎝⎭.
（2）()()cos 1f x g x x x +-+
2sin 16x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭.
当sin 16x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭时，()()f x g x +取得最大值3，
此时()26
2x k k Z π
π
π-
=
+∈，即()2
23
x k k Z ππ=+∈. 【点睛】
本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.
18．已知函数()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=
⎪⎭
. （1）求函数()f x 在()()
0,0f 处的切线方程；
（2）判断函数()f x 的导函数()'f x 在,23ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的单调性；并求出函数()f x 在
,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值. 【答案】（1）1y =（2）()f x 在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；()max 1f x =
【解析】（1）根据导数的几何意义可知(0)k f '=，点斜式即可求出切线方程（2）导数
()1''cos 2f x x =
-在,23ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭上为正，所以()'f x 单调递增，当,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，
()''0f x <，()'f x 单调递减,同时()'00f =，可知()f x 在,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，即可根据极值求函数的最大值(0)f . 【详解】 （1）()2211
sin cos 424
f x x x x x π⎛⎫=
++=+ ⎪⎝⎭， ()1
'sin 2
f x x x =
-，()'00k f ==，切点()0,1， 所以切线方程为1y =. （2）()1''cos 2f x x =
-，令()1''cos 02
f x x =-=得3x π=-，
当,23x ππ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝
⎭时，()''0f x >，()'f x 单调递增； 当,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()''0f x <，()'f x 单调递减；且()'00f =，
所以()f x 在,03π⎛-
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，
所以()()max 01f x f ==.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断原函数的单调性，函数在闭区间上的最值问题,属于中档题.
19．（1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan
2
sin
α
α
α
-=
；
（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、
C 、
D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tan
tan tan tan 2222
A B C D
+++的值.
【答案】（1）证明见解析（2410
【解析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22
sin sin A B
+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解. 【详解】
（1）证明
2
1cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222
α
α
ααααα-⋅
-==⋅⋅tan 2α=.
（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，
cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知： tan
tan tan tan 2222
A B C D
+++ 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C D
A B C D ----=
+++
22
sin sin A B
=
+
连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得：
22536cos 256y A +-=
⨯⨯，2
916cos 234y C +-=⨯⨯， 2369cos 263x B +-=
⨯⨯，2
2516cos 254
x D +-=⨯⨯， 解得2
81919x =
，2
2477y =， 那么3cos 7A =
，1
cos 19
B =，
sin 7A =
sin 19B =
.
所以原式3
=. 【点睛】
本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题. 20．已知函数2()22ln f x x x a x =-+，若函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，而且12x x <.
（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123
()()ln 202
f x f x +++>. 【答案】(1) 1(0,)4
(2)见证明
【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a 的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f （x 1）+f （x 2）的解析式，根据函数的单调性证明即可． 【详解】
（1）因为函数()f x 在定义域()0,+∞上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， 所以()2'220a
f x x x
=-+
=在()0,+∞上有两个根1x ，2x ，且12x x <， 即20x x a -+=在()0,+∞上有两个不相等的根1x ，2x . 所以140
0a a ∆=->⎧⎨
>⎩
，
解得104a <<
，即a 的取值范围为10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（2）证明：由题可知，1212,(0)x x x x <<是方程20x x a -+=的两个不等的实根， 所以12121x x x x a
+=⎧⎨
=⎩，其中1
04a <<.
故()()2
2
1211122222ln 22ln f x f x x x a x x x a x +=-++-+
()()()2
12121212222ln x x x x x x a x x =+--++
2ln 21a a a =--，
令()2ln 21g a a a a =--，其中1
04
a <<
.故()'2ln 0g a a =<， 所以()g a 在10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，则()13ln242g a g ⎛⎫
>=--
⎪
⎝⎭
，即()()123
ln202
f x f x +++
>. 【点睛】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
21．给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为
12，公比为1
2
的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；
（2）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n c 满足：{}n c 与{}n a 接近，且在()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅这100个值中，至少有一半是正数，求d 的取值范围. 【答案】（1）数列{}n a 与{}n b 是接近的，详见解析（2）()2,-+∞ 【解析】（1）写出{}n a 与{}n b 的通项公式，计算
1
111111222n n n
n n b a +⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=-+=-< ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
即可证明（2）由题意()11n a a n d +-=，分公差0d >，公差0d =，20d -<<，公整2d ≤-分类讨论，分别取满足条件n c ，
利用{}n c 与{}n a 接近的定义，计算()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中所含的正数. 【详解】
（1）数列{}n a 与{}n b 是接近的.理由如下：
因为{}n a 是首项为12公比为12的等比数列，所以12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 1
11112n n n b a ++⎛⎫
=+=+ ⎪
⎝⎭
，所以1
111111222n n n
n n b a +⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=-+=-< ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，*n N ∈， 即数列{}n a 与{}n b 是接近的.
（2）因为{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n c 满足：{}n a 与{}n c 是接近的， 可得()11n a a n d +-=，
①若公差0d >，可取n n c a =，可得110n n n n c c a a d ++-=-=>， 则()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中有100个正数，符合题意； ②若公差0d =，取11
n c a n
=-
，则11111n n c a a a n n -=--=<，*n N ∈，
111
01
n n c c n n +-=
->+， 则()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中有100个正数，符合题意； ③若公差20d -<<，可令21211n n c a --=-，221n n c a =+，
()2212211120n n n n c c a a d ---=+--=+>，
则()11,2,3,,50k k c c k +-=⋅⋅⋅中有50个正数，符合题意； ④若公整2d ≤-，若存在数列{}n c 满足：{}n a 与{}n c 是接近的， 即为11n n n a c a -≤≤+，11111n n n a c a +---≤≤+， 可得()111120n n n n c c a a d ++-≤+--=+≤， 则()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中无正数，不符合题意； 综上：d 的取值范围是()2,-+∞. 【点睛】
本题主要考查了对新定义类问题，涉及等差数列的通项公式，绝对值不等式的性质，对
运算推理论证能力要求较高，属于难题. 22．在极坐标系中，直线l 过点2,
2P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，且与直线()3
R π
θρ=
∈垂直.
（1）设直线l 上的动点M 的极坐标为(),ρα，用ρ表示cos 3πα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
； （2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y φφ
=⎧⎨
=+⎩（φ为参数），若曲线C 与直线()3R π
θρ=∈交于点Q ，求点Q 的极
坐标及线段PQ 的长度.
【答案】（1）3
cos 3παρ
⎛
⎫
-
= ⎪
⎝
⎭（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】（1）点M 的极坐标为(),ρα代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q 的极坐标，利用两点间距离公式求PQ 的长度即可. 【详解】
（1）由已知条件可得：
直线l 的极坐标方程为：3sin cos 230ρθρθ+-=， ∵动点(),M ρα在直线l 上， ∴cos 33πρα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， ∴3cos 3πα⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭.
（2）曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=， 联立曲线C 与直线()3
R π
θρ=
∈解得：3,3Q π⎫⎪⎭或()0,0Q ，
∴①当3,
3Q π⎛⎫
⎪⎝
⎭
时：()
2
2
23
223cos
16
PQ π
=+-⨯⨯⨯=，
②当()0,0Q 时：2PQ =. ∴1PQ =或2PQ =. 【点睛】
本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题. 23．已知函数()1f x x x =+-.
(1)若()1f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
(2)记(1)中的m 最大值为M ，正实数a ，满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥. 【答案】(1)2；(2)详见解析.
【解析】（1）根据绝对值解不等式求出f （x ）的最小值为1，从而得出|m ﹣1|≤1，得出m 的范围；
（2）两边平方，使用作差法证明． 【详解】
(1)由()21
01
01211
x x f x x x x -+≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
得()1min f x =，要使()1f x m ≥-恒成立，只要11m ≥-， 即02m ≤≤，实数m 的最大值为2； (2)由(1)知222a b +=，又222a b ab +≥ 故1ab ≤，
()
2
222222424a b a b a b ab a b +-=++-
()()222242121ab a b ab ab =+-=--+，
01ab <≤，()()()2
22421210a b a b ab ab ∴+-=--+≥ 2a b ab ∴+≥.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．。