2018-2019学年高一数学必修一学业分层测评：第二章 函数(5)

学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·青海平安县一中高一月考)已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为() A．0个B．1个
C．2个D．0个或多个
【解析】∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f(2)与2对应，即函数f(x)的图像与直线x＝2的交点仅有1个．
【答案】 B
2．(2016·南安市高一期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()
【解析】A项中函数定义域为[－2,0]，D项中函数值域不是[0,2]，C项中对任一x都有两个y与之对应，不是函数图像．故选B.
【答案】 B
3．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
x D ．f (x )＝x 2－9
x －3
，g (x )＝x ＋3
【解析】 选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同． 【答案】 B 4．函数f (x )＝x ＋1
|x |－x
的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[－1，＋∞) C ．(0，＋∞)
D ．[－1,0)
【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，
|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义
域为[－1,0)．
【答案】 D
5．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]
【解析】 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝
x ＋1的值域为[0，＋∞)．
【答案】 B 二、填空题
6．已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________． 【解析】 由题意m <2m ＋1，解得m >－1. 【答案】 m >－1
7．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.
【解析】 由数表可知y ＝2,3,4,5.故函数值域为{2,3,4,5}． 【答案】 {2,3,4,5}
8．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________. 【解析】 由A ＝{x |y ＝
x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B
＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．
【答案】 [1，＋∞) 三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 2＋x －1. (1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ；
(2)若f (x )＝5，求x 的值．
【解】 (1)f (2)＝22
＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2
x 2.
(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5， ∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. 10．求下列函数的定义域．
(1)f (x )＝x
x 2－x －2
；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4.
【解】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
x ≠－1，且x ≠2，所
以x ≥0，且x ≠2.
故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠2}．
(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧
3x －1≥0，1－2x ≥0，
解得13≤x ≤1
2.
故函数的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13，12.
[能力提升]
1．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正实数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．2
【解析】 f (－1)＝a －1，∴f (f (－1))＝a (a －1)2－1＝－1，∴a (a －1)2＝0，∵a >0，∴a ＝1.
【答案】 A
2．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) 【导学号：04100017】 A ．f (x )＝x 2－4
x －2与g (x )＝x ＋2
B ．f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x (x ＋1)
C ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1
D ．f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)．
【解析】 A 中f (x )的定义域中不含有元素2，而g (x )定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．
B 中f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．
C 中尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．
D 中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此不是同一函数． 【答案】 C
3．已知g (x )＝2－3x ，f (g (x ))＝
3x x 2－1
，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝________.
【解析】 令g (x )＝2－3x ＝12，解得x ＝1
2， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×1
2
14－1＝32
－34＝－2.
【答案】 －2
4．如图2-2-1，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑
)
图2-2-1
(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图像．
【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2
＝h 2
＋2h (m 2
)．
(2)定义域为{h |0＜h ＜1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1.8)求得． 由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0＜A ＜6.84.
故值域为{A |0＜A ＜6.84}．
(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图像仅是抛物线的一部分，如图所示．。