高三数学第二次(5月)综合练习(二模)试题 理(含解析) 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校区2021届高三数学第二次〔5月〕综合练习〔二模〕试题 理〔含解析〕
一、选择题〔本大题共8小题，共40.0分〕 1.集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B =( )
A. {|
0}x x >
B. {|12}x x <<
C. {|12}x x ≤<
D. {|
0x x >且1}x ≠
【答案】A 【解析】 【分析】
根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可．
【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x ＜2}， 又有A={x|x ＞1}，那么A∪B={x|x＞0}． 应选：A ．
【点睛】此题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题． 2.复数i 〔1+i 〕的虚部为〔 〕
B. 1
C. 0
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】∵i〔1+i 〕=-1+i ，
∴i〔1+i 〕的虚部为1． 应选：B ．
【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的根本概念，是根底题．
3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如下列图．执行该程序框图，输出s 的值为〔 〕 A. 4 B.
8 3
C.
5215
D.
304
105
【答案】C 【解析】 【分析】
根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】第一次，4,1,3s k k ==≥否，
第二次，48
4,2,333s
k k =-
==≥否， 第三次，8452
,3,33515
s k k =+==≥是，
程序终止，输出s=52
15
，
应选：C ．
【点睛】此题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决此题的关键．比较根底．
4.在△ABC 中，6
B π
=
，c=4，cosC =
，那么b=〔 〕
A.
B. 3
C.
32
D.
43
【答案】B 【解析】 【分析】
由利用同角三角函数根本关系式可求sinC 的值，根据正弦定理即可计算解得b 的值．
【详解】∵6
B π
=
，c=4
，cosC =
，
∴2sin 3
C
==
， ∴由正弦定理sin b c
sinB C
=
，可得：412
23
b =
，解得：b=3．
应选：B ．
【点睛】此题主要考查了同角三角函数根本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于根底题．
5.等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，那么“139,,a a a 成等比数列〞 是“1a d =〞的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139
,,a a a 成等比数列〞和
“1
a d
=〞的关系，综合即可得答案．
【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ， 假设139,,a a a 成等比数列，那么2
3
19a a a =，即〔a 1
+2d 〕2
=a 1
•〔a 1
+8d 〕，变形可得：a 1
=d ，
那么“139,,a a a 成等比数列〞是“a 1=d 〞的充分条件； 假设a 1=d ，那么a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，那么有2
319a a a =，那么“139,,a a a 成等比数列〞是“a 1
=d 〞
的必要条件；
综合可得：“139,,a a a 成等比数列〞是“1a d
=〞的充要条件；
应选：C ．
【点睛】此题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于根底题．
6.函数f 〔x 〕=2,,x
x a
x x a ≥⎧-<⎨⎩
，假设函数f 〔x 〕存在零点，那么实数a 的取值范围是〔
〕
A.
(),0-∞
B.
(),1-∞
C.
()1,+∞
D.
()0,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
画出函数的图象，利用数形结合推出a 的范围即可．
【详解】函数f 〔x 〕=2,,x x a
x x a
⎧≥⎨-<⎩，函数的图象如图：
函数f 〔x 〕存在零点，那么实数a 的取值范围是：〔0，+∞〕． 应选：D ．
【点睛】此题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力． 7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -
中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足
1CE A F =，那么四边形1D FBE 所围成的图形〔如下列图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三
个面上的正投影的面积之和〔 〕
A. 有最小值
3
2
B. 有最大值
52
C. 为定值3
D. 为定值2
【答案】D 【解析】 【分析】
分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可． 【
详
解
】
依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，那么四边形D1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．
所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE，
所以四边形D 1FBE 所围成的图形〔如下列图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和
S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 应选：D ．
【点睛】此题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题． 8.在同一平面内，A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2
ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，那么
AQ 在BC 方向上投影的最大值是〔
〕
A.
1
3
B.
12
C.
33
D.
23
【答案】C 【解析】 【分析】
先建系，由三点共圆得点A 的轨迹方程为2
2
3163x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝
⎭，那么213x ≤，那么303x -≤<，再由
AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得解．
【详解】
建立如下列图的平面直角坐标系，那么B 〔-12，0〕，C 〔12
，0〕，P 〔0，0〕， 由BAC
3
π
∠=
可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为
3π
，所以圆心角为23
π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC
的距离为1
2tan 3
BC
π=
(0,6
，半径为
3
=. 所以点A
的轨迹方程为：2
2
13x y ⎛+= ⎝⎭
，那么213x ≤
，那么03
x -
≤< ， 由
AQ 在BC 方向上投影的几何意义可得：AQ 在BC 方向上投影为|DP|=|x|， 那么
AQ 在BC
方向上投影的最大值是
3
，
应选：C ．
【点睛】此题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题． 二、填空题〔本大题共6小题，共30.0分〕 9.33log ,ln 3,log 2a
e b c ===，那么a ，b ，c 中最小的是______．
【答案】c 【解析】 【分析】
由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又2＜e ＜3，所以log 32＜log 3e ＜1，即c ＜a ＜b ，得解． 【详解】b=ln3＞1， 又2＜e ＜3， 所以log 32＜log 3e ＜1， 即c ＜a ＜b ，
故a ，b ，c 中最小的是c ．
故答案为：c
【点睛】此题考查了对数值大小的比较，属简单题．
10.点M 〔1，2〕在抛物线C ：y 2
=2px 〔p ＞0〕上，那么点M 到抛物线C 焦点的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】
将点的坐标代入抛物线方程，求出p=2，求得焦点F 〔1，0〕，利用抛物线的定义，即可求点M 到抛物线C 焦点的距离．
【详解】由点M 〔1，2〕在抛物线C ：y 2
=2px 〔p ＞0〕上，可得4=2p ，p=2， 抛物线C ：y 2
=4x ，焦点坐标F 〔1，0〕， 那么点M 到抛物线C 焦点的距离是：1+1=2， 故答案为：2．
【点睛】此题考查抛物线的HY 方程及抛物线的定义，考查计算能力，属于根底题．
11.圆,1x cos C y sin θθ=⎧=+⎨⎩：〔θ为参数〕上的点P 到直线12,1x t l y t =+⎧=-+⎨⎩
：〔t 为参数〕
的距离最小值是______．
1
【解析】 【分析】
化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．
【详解】由1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩
得x 2
+〔y-1〕2
=1，由，12,
1x t y t =+⎧=-+⎨⎩得x-2y-3=0，
圆心〔0，1〕到直线x-2y-3=0的距离d
=
=
1．
1．
【点睛】此题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
12.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
能说明“假设z x y =+的最大值是4，那么1,3x y ==〞(,)x y 值是
_________. 【答案】
()2,2〔答案不唯一〕
【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．
【详解】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：
能说明“假设z=x+y 的最大值为4，那么x=1，y=3”x，y 〕值是〔2，2〕． 故答案为：〔2，2〕．
【点睛】此题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．
13.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有______个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有______个． 【答案】 (1). 60 (2). 36 【解析】 【分析】
对于第一空：分2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有3种情况，②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，由分步计数原理计算可得答案；
对于第二空：按个位数字分3种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答
案．
【详解】根据题意， 对于第一空：分2步分析：
①要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况， ②在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有2
520A =种情况，
那么有3×20=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分3种情况讨论：
①，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数； ②，当其个位为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有3×4=12个符合题意的三位数；
③，当其个位为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5，百位数字有4种情况，此时有5×4=20个符合题意的三位数；
那么有4+12+20=36个符合题意的三位数； 故答案为：60，36．
【点睛】此题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于根底题．
14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 〔0，0〕，M 〔-4，0〕，N 〔4，0〕，P 〔0，-2〕，Q 〔0，2〕，H 〔4，2〕．线段OM 上的动点A 满足()()01
OA OM
λλ=∈，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，那么k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______〔填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个〕上． 【答案】 (1). 1
4
(2). 双曲线 【解析】 【分析】
根据向量关系得到A ，B 的坐标，再根据斜率公式可得kk′=1
4
；设P 〔x ，y 〕，根据斜率公式可得P 点轨迹方程．
【详解】∵()()01
OA OM λλ=∈，；∴A〔-4λ，0〕，又P 〔0，-2〕，∴21
42k λλ
=-=-； ∵HB
HN
λ=．∴B〔4，2-2λ〕，∴22(2)'402
k λλ
---=
=-
-，∴kk′=
1
4
， 设L 〔x ，y 〕，那么22
22224
,','00y y y y y k k kk x x x x x
+-+--==∴=⋅=--， ∴
22
414y x -=，即22
1416
y x -=． 故答案为：
1
4
，双曲线． 【点睛】此题考查了圆锥曲线的轨迹问题，属中档题． 三、解答题〔本大题共6小题，共80.0分〕
15.函数
()22f x sinxcosx x =+
〔1〕求函数f 〔x 〕的最小正周期；
〔2〕当312x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，时，求证：()f x ≥ 【答案】〔1〕π；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
〔2〕利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
【详解】〔1〕
()22f x sinxcosx x =+22sin x x +=223sin x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭.
所以f 〔x 〕的最小正周期2T
π
π
ω
==．
〔2〕证明：因为312x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，，即2332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，
所以f 〔x 〕在312ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦，上单调递增．
当23
3
x π
π
+
=-
时，即3
x π
=-
时，
()min f x =
所以当312x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，时，()f x ≥ 【点睛】此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于根底题型． 16.
〔1〕求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
〔2〕从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E 〔X 〕与E 〔Y 〕的值；
x 1x 和观众评分的平均数2x ，用
122x x +x 与12
2
x x
+的大小关系．
【答案】〔1〕10.3,
2；〔2〕见解析；〔3〕12
2
x x x +＜. 【解析】 【分析】
〔1〕由频率和为1可得a 的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率； 〔3〕由两组数据的比重可直接作出判断.．
【详解】〔1〕由图知10.20.50.3a =--=，某场外观众评分不小于9的概率是
1
2
．
〔2〕X 的可能取值为2，3．P 〔X =2〕=21413535C C C =；P 〔X =3〕=343
52
5
C C =． 所以X 的分布列为
所以E 〔X 〕=2×
3555+⨯=． 由题意可知，132Y B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭～，
，所以E 〔Y 〕=np =32
． 〔3〕12
2
x x x +＜
．
【点睛】此题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题． 17.在三棱柱111ABC A B C -中，底面
ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．D ，E 分别是边BC ，
AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =
〔
1〕求证：EG ∥平面1AB D ； 〔2〕求证：1BC ⊥平面1AB D ； 〔3〕求二面角
1A B C B --的余弦值．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析；〔3. 【解析】 【分析】
〔1〕证明EG∥AB 1．然后利用直线与平面平行的判定定理证明EG∥平面AB 1D ．
〔2〕取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1．建立空间直角坐标系D-xyz ，通过向量的数量积证明BC 1⊥DA，BC 1⊥DB 1．然后证明BC 1⊥平面AB 1D ．
〔3〕求出平面B 1CB 的一个法向量，平面AB 1C 的一个法向量，设二面角A-B 1C-B 的平面角为θ，利用空间
向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．
【详解】〔1〕证明：因为E 为AC 中点，G 为B 1C 中点．所以EG ∥AB 1． 又因为EG ⊄平面AB 1D ，AB 1⊂平面AB 1D ， 所以EG ∥平面AB 1D ．
〔2〕 证明：取B 1C 1的中点D 1，连接DD 1．
显然DA ，DC ，DD 1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D -xyz ， 那么D 〔0，0，0〕
，()0
A
，，B 〔0，-2，0〕
，(1
02B -，
，(1
02C ，
，)0
E ，，
C 〔0，2，0〕．
所以(
1
02DB =-，，()2
DA ，
=，(1
04BC =，
．
又因为12
30040
0BC DA ⋅=
+⨯+⨯=，
()1100240BC DB ⋅=⨯+-⨯+=，
所以BC 1⊥DA ，BC 1⊥DB 1．
又因为DA ∩DB 1=D ，所以BC 1⊥平面AB 1D ．
〔3〕解：显然平面B 1CB 的一个法向量为1n =〔1，0，0〕． 设平面AB 1
C 的一个法向量为：2n =〔x ，y ，z 〕，
又
(
)0
AC =-，，(1
04B C ，
，=-， 由22100n AC n B
C ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩，，得2040y y ⎧
-+=⎪⎨-=⎪⎩，
．
设x =1，那么
y =z =(213n =，
．
所以121212
110
n n cos n n n n ＜，＞
⋅==
=
．
设二面角A -B 1C -B 的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，
所以cos θ=
【点睛】此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力． 18.函数
22()(24)ln 4(f x ax x x ax x a R =+--∈且a≠0〕
． 〔1〕求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程； 〔2〕假设函数f 〔x 〕的极小值为1
a
，试求a 的值．
【答案】〔1〕--4y a =；〔2〕2a =-.
【解析】 【分析】 〔1〕由题意可知
'()4(1)ln ,(0,)f x ax x x =+∈+∞．'(1)0, (1)--4f f a ==，由此能求出曲线
y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程．
〔2〕当a ＜-1时，求出
132
1ln()f a a a a
a ⎛⎫-=+-=
⎪⎝⎭，解得1
1a
e
=->-，不成立；②当a=-1时，
'()f x ≤0在〔0，+∞〕上恒成立，f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减．f 〔x 〕无极小值；当-1＜a ＜0时，极
小值f 〔1〕=-a-4，由题意可得1
4a a
--=，求出2a =；当a ＞0时，极小值f 〔1〕=-a-4．由此能求出a 的值．
【详解】〔1〕函数f 〔x 〕=〔2ax 2
+4x 〕ln x -ax 2
-4x 〔a ∈R ，且a ≠0〕． 由题意可知
'()4(1)ln ,(0,)f x ax x x =+∈+∞．'(1)0, (1)--4f f a ==
∴曲线y =f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程为--4y a =．
〔Ⅱ〕①当a ＜-1时，x 变化时
'(), ()f x f x 变化情况如下表：
此时
132
1ln()f a a a a
a ⎛⎫-=+-=
⎪⎝⎭，解得1
1a
e
=->-，故不成立．
②当a =-1时，'()f x ≤0在〔0，+∞〕上恒成立，所以f 〔x 〕在〔0，+∞〕单调递减． 此时f 〔x 〕无极小值，故不成立． ③当-1＜a ＜0时，x 变化时
'(), ()f x f x 变化情况如下表：
此时极小值f 〔1〕=-a -4，由题意可得4a a
--=，
解得2a
=-或2a =-．
因为-1＜a ＜0，所以2a
=．
④当a ＞0时，x 变化时
'(), ()f x f x 变化情况如下表：
此时极小值f 〔1〕=-a -4，由题意可得4a a
--=，
解得2a
=-或2a =-，故不成立．
综上所述2a
=-．
【点睛】此题考查切线方程的求法，考查极值的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19.椭圆:C 22
2
1x y a +=(>1)a 的离心率为3
.
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证
明直线BD 过x 轴上的定点.
【答案】〔1〕2
213
x y +=；
〔2〕见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕由离心率列方程可求得椭圆方程；
〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，直线BD 过点〔2，0〕．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y=k 〔x-1〕，联立方程组，消去y 整理得：〔1+3k 2
〕x 2
-6k 2
x+3k 2
-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点．
【详解】〔1
〕解：由题意可得2221
3b c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=
⎨⎪=+⎪⎩,
解得1a b ==，
所以椭圆C 的方程为2
213
x y += ．
〔2〕直线BD 恒过x 轴上的定点N 〔2，0〕．证明如下 〔a 〕当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，
不妨设A 〔1
，
3
〕，B 〔1
，3
-
〕，D 〔3
，
3
〕．
此时，直线BD 的方程为：y
=
3
〔x -2〕，所以直线BD 过点〔2，0〕．
〔b 〕当直线l 的斜率存在时，设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，直线AB 为y =k 〔x -1〕，D 〔3，y 1〕．
由()122
33y k x x y =-⎧⎪+=⎨⎪⎩
得：〔1+3k 2
〕x 2
-6k 2
x +3k 2
-3=0．
所以x 1
+x 2
=22631k k +，x 1
x 2
=22
33
31
k k -+．……〔*〕 直线BD ：y -y 1=
21
23
y y x --〔x -3〕，只需证明直线BD 过点〔2，0〕即可.
令y =0，得x -3=()1221
3y x y y --
-，所以x =2112121333y y y x y y y --+-=212213y y x y y --=212
21
43x x x x x ---
即证
212
21
432x x x x x --=-，即证()211223x x x x +-=.
将〔*〕代入可得()22221122
22123393
23313131
k k k x x x x k k k -++-=-==+++. 所以直线BD 过点〔2，0〕
综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点〔2，0〕．
【点睛】此题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题．
20.对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合S 〔A 〕={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S 〔A 〕的元素个数为d 〔S 〔A 〕〕．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合T 〔A 〕=A∪S〔A 〕． 〔1〕假设A={0，1，2}，求S 〔A 〕，T 〔A 〕；
〔2〕假设集合A 有n 个元素，证明：“d〔S 〔A 〕〕=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列〞；
〔3〕假设A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T 〔T 〔A 〕〕，求元素个数最少的集合A ．
【答案】〔1〕{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；
〔2〕见解析；〔3〕{}1,5,8 【解析】 【分析】
〔1〕根据定义直接进行计算即可
〔2〕根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 〔3〕首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】〔1〕假设集合A ={0，1，2}，那么S 〔A 〕=T 〔A 〕={0，1，2，3，4}． 〔2〕令
{}12,,n A x x x =．不妨设12n x x x <<
<．
充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列． 那么111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤
且2
2i j n +．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d 〔S 〔A 〕〕=2n -1．
必要性：假设d 〔S 〔A 〕〕=2n -1． 因为1122,(1,2,
,1)i
i i i x x x x j n ++<+<=-．
所以S 〔A 〕中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+
任意i j x x +〔1≤i ，j ≤n 〕 的值都与上述某一项相等．
又1212i
i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-．
所以212i
i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．
〔3〕首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S 〔A 〕，
因此1∉T 〔A 〕，1∉S 〔T 〔A 〕〕，故1∉T 〔T 〔A 〕〕，与{1，2，3，…，25，26}⊆T 〔T 〔A 〕〕矛盾，因此1∈A ．
设A 的元素个数为n ，S 〔A 〕的元素个数至多为C 2n +n ，从而T 〔A 〕的元素个数至多为C 2
n +n +n =
()32
n n +．
假设n =2，那么T 〔A 〕元素个数至多为5，从而T 〔T 〔A 〕〕的元素个数至多为58
2
⨯=20， 而T 〔T 〔A 〕〕中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,
,A a a =，且2318a a <<，
那么1，2，3223,
1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，
从而1，2，3，4∈T 〔T 〔A 〕〕．假设25a >，T 〔T 〔A 〕〕中比4大的最小数为2a ，那么5∉T 〔T 〔A 〕〕，与
题意矛盾，故2a ≤5．
集合T 〔T 〔A 〕〕．中最大数为34a ，由于26∈T 〔T 〔A 〕〕，故34a ≥26，从而3a ≥7，
〔i 〕假设A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T 〔A 〕，那么有8+14=22，2×14=28∈T 〔T 〔A 〕〕，在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T 〔T 〔A 〕〕．中，不满足题意．
〔ii 〕假设A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T 〔A 〕，那么有16+9=25∈T 〔T 〔A 〕〕，
假设26∈T 〔T 〔A 〕〕，那么16+22a =26或16+〔8+2a 〕=26， 解得2a =5或2a =2．
当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T 〔T 〔A 〕〕．不满足题意． 当A ={1，2，8}时，
T 〔T 〔A 〕〕={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，
24，25，26，29，32}，满足题意． 故元素个数最少的集合A 为{1，5，8}
【点睛】此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。