合肥三模数学及参考答案.docx

合肥市2013年高三第三次教学质量检测
数学试题（理）
（考试时间：120分钟满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在薈翠辔占书写，要求字体工整、笔
迹清晰•作图题可先用铅笔在答厚寧规定的位置绘希衣斋再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号矗霜宗的答题区域作答，厚単薈零孚據予冬也爹專不枣，车活厚卷、亭頰线£筝档不农.
4.纟试•结•束•，昴必•将•答•题•卡•和•答•题•卷一并上交.
第I卷（满分50分）
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1•设集合M=\x e R\x2 <4\ ,N= \ -1,1,2},则M AJV=（）
A. | -1,1,2|
B. 1-1,21
C. |1,2|
D. | -1,1|
2.已知（1 +i）（a-2i）=b-ai（其中a,6均为实数,i为虚数单位），则a+b = （）
A. -2
B.4
C.2
D.O
3.等比数列I a讣中宀=2,®■，则a?=（）
是“函数/（x） =x2-x+-J- m 存在零点”的（）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5. 右边程序框图，输出a 的结果为（ ） A.初始值a
B.三个数中的最大值
C.三个数中的最小值
D.初始值c
x +2yM2
6. 已知《3%-y-6wO ，且z=x 2
+ y 2,则z 的最小值是（
）
2x - 3y +3 MO
4 A. 4
B. 1
C. 18
D. y
7. P 是正六边形ABCDEF 某一边上一点,AP=xAB+yAF, 则x+y 的最大值为（ ） A. 4
B.5
C.6
D.7
&右图为一个简单组合体的三视图，其中正视图由 一个半圆和一个正方形组成，则该组合体的表面 积为（
）
A. 20 + 1777
B. 20 + 16盯
C. 16 + 1777
D. 16 + 16TT
9. 五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作， 每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五, 且甲，乙不相邻的概率是（
）
2
~5
10.
定义域为尺的函数/U ）的图像关于直线X = 1对称，当
xe[o,l]时JU ） 且对任意 i/（x ）（x^0）
兀丘/?都有/（兀+2） = -/（x ） ,g （x ） = J ，则方程 g （%） -g （ -x ） =0
I -Iog20l3（ -X ）（X <0） 实数根的个数为（ ）
B. 1007
C.2012
D.2014
高三数学试题（理）第2页（共4页）
A. 1006
弟5题
第8題
第u 卷（满分100分）
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11. 已知抛物线的准线方程是x= y,则其标准方程是 ____________ • 12. 关于乂的不等式log 2 I 1 - x I > 1的解集为
/.
13.曲线C 的极坐标方程为:p=2cosO,曲线T 的参数
{X = — f + 1
“2冲（'为参数），则曲线C 与「的
公共点有 _____ 个.
14.如图，一栋建筑物，4B 髙（30-1073） m,在该建筑
物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地
面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是 测得对塔顶C 的仰角为30。

,则通信塔CD 的高为 ___________ m. 15.如图,正方体ABCD-A^.C.D,的棱长为2,P 、Q 、R 分
①过4,C,且与CD,平行的平面有且只有一个；
A
且EF + GH = 1，则三棱锥E - FCH 体积的最大值是吉; ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点0在正 方体表面上运动，则• ON 的取值范围是[0,2].
其中真命题的序号是 __________ （写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）
已知函数/(x) =4sin(ow+p) ,(®>0,4 >0,卩 w 部分图像如图所示.
（1 ）求函数/（乂）的解析式；
（n ）已知 a e （0,y-），且 cosot ■，求/（a ）.
15。

和60。

，在楼顶人处 别是棱BC 、CD 、D0的中点.下列命题: ②平面PQR 截止方体所得截面图形是等腰梯形; ®4C,与平面P"所成的角为60。

；
④线段EF 与GH 分别在棱仏Q 和CC 「上运动, M
D
第14題
D
第15题
17. (本小题满分13分)
如图,BB,,CC,,Z)D,均垂直于正方形AB t C,D t 所在平面,A 、B 、C 、Q 四点共面.
(I )求证：四边形ABCD 为平行四边形； (H )若£、尸分别为人已、卩G 上的点，
AB, =CC] =2BB] =4,AE =D,F = 1.
(i) 求证：CQ 丄平面QEF ； (ii) 求二面角D-EC, -D,的余弦值.
18.
（本小题满分12分）
已知/（乂）=log a % - x + l （a>O,J§.a#l ）. (I) 若a=e,求/(*)的单调区间；
平一心
(U)若/(") >0在区间(1,2)±恒成立，求实数a 的取值范围. 19. (本小题满分13分)
根据上级部门关于开展中小学生研学旅行试点工作的要求，某校决定在高一年 级开展中小学生研学旅行试点工作.已知该校高一年级10个班级，确定甲、乙、丙三 条研学旅行路线•为使每条路线班级数大致相当，先制作分别写有甲、乙、丙字样的签 各三张，由高一(1) ~高一(9)班班长抽签,再由高一(10)班班长在分别写有甲、乙、 丙字样的三张签中抽取一张.
(I )设“有4个班级抽中赴甲路线研学旅行”为事件4,求事件A 的概率P(A); (II)
设高一(1)、高一(2)两班同路线为事件B,高一(1)、高一(10)两班同路线为事 件C,试比较事件B 的
概率P(B)与事件C 的概率P( C)的大小；
(m )记(n )中事件B 、c 发生的个数为&求随机变量£的数学期望砖. 20. (本小题满分12分)
平面内定点M(l,0),定直线l ：x=4,P 为平面内动点，作PQ 丄2,垂足为Q, 且呵I =2\PM\. (I )求动点P 的轨迹方程；
(U )过点M 与坐标轴不垂直的直线,交动点P 的轨迹于点、B,线段的垂直平分 线交x 轴于点H,试判断牆^是否为定值. 21. (本小题满分13分)
设数列｛ a” ｝的前n 项和为S” ,且对任意的n w N •，都有a” >0,S” = 血+a/+ •••+a/. (I )求5宀的值； (H)求数列｛%｝的通项公式a”； (ID)证明：ln2Wa” ・ln(l + 右)< ln3.
E
B,
第17题
合肥市2013年高三第三次教学质量检测
数学址题（理）参考答案及评分标准
―、选择题：本大題共10小題.母小題5分，共50分.在毎小題给出的四个选项中，只有一项 是苻合題目娶求的. 题号
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
答案 D
C A
C D A
I)
B D
二、 填空题： 11.
= -2x 12. ( -30 , - l)u(3, + 30 ) 13. 2 14. 60 15.(D (3X5)
三、 解答题
16.解：(1)由函数最大值为2.知.4 =2.
............ 2分
-f ）=于，于是,3=2.又3 •青+厂号+ 2E （*“）,
并注意到 X （0 号）.解得 = .-./（X ）=2sin （2x+^>
(11 )'-* t-osot =〒•口 at e (0 .千).sinot = 于是，sin2a =2 X 亍 X = 4 cos2cr = 2cos~tlt —
.............. 12分
17.解：（1 丄面 i 丄面 ABCD,:. BB^/CC 、.又 ,而.48] 为面
4/?/?,内两相交直线.DG.CG 为面CC 、DJ ）内两相交直线.故面4B/?,//面CC2J ）.同
理.面 ADD,//面 BB , G C. ••• A 、B 、C 、D 四点共面.故 AU//CD. BC//AD .即四边形.4BCD 为 平行四边形. ..... 4分
（U
题意.EF 丄平面所以EF 丄CD.另一方面.因为AD = HC .所以容易得
髙=数学（理）试题答案 第1页（共4页）
由图象知
(6)
( at ) = 2sin (2a + y- ) = 2
sin2aeos -y- + cos2asin 号
到DD X = 2 ,又由计算可得，DF =JS^CF = 5 ,CD = AB =OF2 + DC2 = FC2 ,
所以CD丄OF,而CD丄EF.DFCEF = F.故CD丄平面DEF. ...... 9分(ii)过点0 作卩"丄KC,于点〃.连接/)//.'. DD t丄平面故。

〃丄EQ ,
厶DHD、为二面角D-EC, -D x的平面角.在正方形AR.C.D,中.sin厶D、C、E =寺,
4 IA
DJI = D,C, • sin^D.C.E =4 x 于=晋.在Rt^DD,〃中，又知DD, =2,
故tan^D/ZD,=务,<心厶0〃卩=*摻©.即二面角D - EC X -D,的余弦值为彎等
..............13分18-解：(1 )a =e B 寸 /(工)=Inx - x + 1 .x e ( 0. + 8 )/(x) = ------------------------ -- 1 ,
X
令r(x) >0 •知o <X<1 •故/(£)的单i周增区问为(0.1)；同理JXx)的单调减区问为(1 , + 8 ). .. -6 分
:・fg >0在(1.2〉上恒成立<r>— >x-l在(1,2〉上恒成立而x e (1.2) B寸ln.v > 0 ,x — 1 >0 O < a < 1不合题意
a > I
A 7D£>X-1在(1.2)上恒成立Qlna <丄耳在(1.2)上恒成立Ina x — 1
. —(x — 1 ) — Int
令F(x)=牛则F r(x)= ——严一<0在(I .2］上恒成立
X - I (X - I )
/. F(巧在(1 ,2］上单调减.Fg"(x) =F(2) =ln2
Ina W ln2
aW2
综上得aed.2j
12分
髙=数学（理）试题答案第2页（共4页）
19.解：（1 ）P （.4＞ =P （ 10班抽中甲路线）=亍
（III 花的所有可能取值为0」2
"(£ =2) ="(1,2,10 二班同路线)=/»(») • Y = A"
/»（右=| ） =/＞（ I ,2班同路线但10班不在此路线）+/*（ I 、2班不同路线但10班迭中I 班所在路
线）
2 I 5
"（B ）・亍+（1 - ”（"）〉・ 丁 二舌,
7 I
=0) =P( 1 x 2不同路线£L 10班 未选中1班所在路线〉=(1 -P(/O)・Y = 2
............. II 分
1
5
I 7
Eg = 2 x p-y + 1 x +0 x — =
............. 13 分
20.解：(1 )设 P(x w y),因为 l7\5l =2I/<WI,
艮卩 4 PM' = P<52<=>4 [ ( 1 -x)2 +/] =(4-*)2 樂理彳导务+ 耳=]
............. 5分
(U )由条件.直线.43斜率必存在(II 不为0),可设4«：y =A(x -1 )(*^0),
2 2
代人青 +壬=I 得(3 +Ak~)x- _8宀 +* -12=0.
所以,Afi 的垂直半分线为y - 3 =一十（乂 一 3 14A-儿
而 I AB I = J 1 ♦ + k‘ I X] — x 2
為三敎学＜ 理）试題吝案
冷3页（共4页）
••册宁为定值• ………d 分
(U >P(«)=
= T-P(c >=f--
mu x,
x 2
* - 1 2 二
3 +4尸
若中点为D 、知x n = 3
2・Y D
-3k
令 y = O 得 x… = 3
-
1 ,,A/I
k 2
3(1 +巧 3 +4A 2
12 ( 1 +A--)
3 +4A 2
21.解：(1 )解：半n = 1 时.有①=S| = ^4.
由于①>0,所以①=1.
当n = 2 时.有Sj = Ja\ +a；.即 6 + 化=Ja\ +a；,
将5=1代入上式，由于«, >0,所以①=2. ............. 3分
(11 )解：由S* = /； +a；+ …a：,
得a；+«2 + …+ a]=(佝+5 + …+ a” 尸，(D 则有“：+a；+ …+ a： + a：* ] = (d] + 化+ …+a” +a“ *]尸②
②-1).得a： ,i = («i +6 + …+ 6 + 6* 1 尸 ~ («i +«2+ …+ «« )2
由于a” >0 .所UZ «*, 1 =2 ( a f+ «2 + …+a… ) +a”+”③
同样有a： =2(«| + a, + …+a”-J +a«( ”32),④
③-④，得云+ 1 -云=«».i +«»-
所以«. ,1 -= 1 (n>2).
由于〜= 1 .即当"Ml时都有a…-“” =1 ,所以数列a」足首项为1，公差为】的等差数列.
故叫=n- ............. 7分。